Chuyên đề số chính phương

Một số bài toán về số chính phươngKiến thức bổ trợ 1.. Định nghĩa Số nguyên a được gọi là số chính phương nếu nó là bình phương của một số nguyên, tức là a b 2, trong đó b là một số ngu

Trang 1

Một số bài toán về số chính phương

Kiến thức bổ trợ

1 Định nghĩa

Số nguyên a được gọi là số chính phương nếu nó là bình phương của một số nguyên, tức là a b 2, trong đó b là một số nguyên

2 Một số tính chất

a) Nếu a là số chính phương, p là số nguyên tố, nếu a p a p 2

Ví dụ: Cho a là một số chính phương

- Nếu a chia hết cho 2 thì a chia hết cho 4

………

b) Nếu a2 chia hết cho p và p là một số nguyên tố thì a chia hết cho p

(Tính chất a) và b) suy ra từ tính chất nếu ab chia hết cho p và p

là số nguyên tố thì a chia hết cho p hoặc b chia hết cho p)

c) Nếu tích hai số a và b là một số chính phương thì các số a và b có dạng

2, 2

a mp b mq 

d) Nếu a, b là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và a.b là một số chính phương thì a và b đều là các số chính phương (hãy chứng minh tính chất này)

e) Hai số chính phương a a2,( 1)2được gọi là hai số chính phương liên tiếp Giữa hai số chính phương liên tiếp không có số chính phương nào

f) Chú ý

 Chữ số tận cùng của một số chính phương chỉ có thể là một trong các số 0,1,4,5,6,9

2

a b a  ab b

2

a b a  ab b

Trang 2

 a2 b2 (a b a b )(  )

Một số bài tập

1 Chứng minh rằng

a) Chứng minh số 1234567890 không phải là số chính phương

b) Chứng minh rằng nếu một số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không phải là số chính phương

c) Chứng minh số : n = 20042+ 20032 + 20022- 20012 không phải là

số chính phương

d) Nếu alẻ thì a2 chia 8 dư 1

e) Nếu alà số chính phương thì achia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1

(Như vậy một số chia 3 dư 2 thì số đó không phải là số chính phương, tuy nhiên nếu a chia cho 3 dư 0 hoặc 1 thì chưa khảng định được a là số chính phương)

f) Chứng minh một số có tổng các chữ số là 2006 không phải là số chính phương

g) Chứng minh rằng tổng của ba số chính phương liên tiếp không thể là

số chính phương

h) Chứng minh tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2005 không phải

là số chính phương

i) Chứng minh số : n = 20044+ 20043 + 20042+ 23 không là số chính phương

2 Cho a b là các số lẻ Chứng minh rằng, a2 b2 không thể là một số chính phương

3 Chứng minh rằng các số dạng

5n2,5n2,7n1,7n2,7n3 Không thể là số chính phương

4 Chứng minh rằng tổng của các số lẻ đầu tiên là một số chính phương

5 Xác định số nguyên dương nhỏ nhất ksao cho tổng của 19 số nguyên dương liên tiếp k k, 1, ,k18 là một số chính phương

6 Có hay không một số chính phương mà tổng các chữ số của nó bằng 2004?

7 Gọi p p p p 1 2 n là tích của n số nguyên tố đầu tiên với nlà số

nguyên lớn hơn 1 Hỏi p1 có thể là số chính phương được không?

Trang 3

8 Chứng minh rằng tổng của năm số chính phương liên tiếp khác 0, không thể là số chính phương

9 Chứng minh rằng số A444 4 (2003 chữ số 4) không phải là số chính phương

10.Hãy tìm tất cả các số chính phương có 4 chữ số có dạng A aabb

11 Hãy tìm số chính phương có 4 chữ số, có chữ số tận cùng là 9 và nó chia hết cho 147

12 Giả sử 2n1,3 1n là các số chình phương Chứng minh rằng 5n3

là hợp số

13 Số tự nhiên A gồm 1999 chữ số 1, một chữ số 2 và một chữ số 0 Hỏi

A có thể là số chính phương được không?

14 Chứng minh rằng n! 2003 không thể là số chính phương với mọi



n

15 Chứng minh rằng các số sau đây là các số chính phương

2

11 1 22 2

A 

b) 11 155 5 1

2

11 1 44 4 1

11 1 11 1 66 6 8

E



16 Tìm tất cả các số có hai chữ số ab sao cho 2.ab1 và 3.ab1 đều là các số chính phương

17 Số A có 1997 chữ số, trong đó có 1996 chữ số 5 và một chữ số a khác

5 Hỏi A có thể là số chính phương không?

18 Chứng minh rằng : Nếu m, n là các số tự nhiên thỏa mãn

(m - n)(4m + 4n + 1)=m2 thì m - n và 4m + 4n + 1 đều là số chính phương

19.Tìm số tự nhiên n để n2+ 2n + 2004 là số chính phương

Định dạng
Số trang	3
Dung lượng	156,46 KB