BT the tich hinh chop co ban

Tính theå tích vaø dieän tích toaøn phaàn cuûa hình choùp.[r]

A

B

C

S

a 5

a 2

a

BT thể tích hình chóp (giải)

1) Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) , SA=a 2, đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh AB=a; AC=a 3 Tính VSABC =?

AC AB =a 2

+ Diện tích đáy Sđáy = 1

2BA.BC =

2

2 + Thể tích hình chóp : Vh/chóp = 1

3h.Sđáy =

1

3SA.Sđáy

=1

3a 2

2

3 a 3

2) Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) , SA=a 3, đáy ABC là tam đều cạnh a Tính VSABC =?

Giải : Đáy là tam giác đều cạnh a; + Diện tích đáy Sđáy =

2

4 + Thể tích hình chóp : Vh/chóp = 1

3h.Sđáy =

1

3SA.Sđáy

=1

3a 3

2

3 a 4

3) Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) , SA=a 5, đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh AB=a; AC=a 2 Tính VSABC =?

Giải:

+ Diện tích đáy Sđáy = 1

2AB.AC =

2

2 + Thể tích hình chóp :

Vh/chóp = 1

3h.Sđáy =

1

3SA.Sđáy=

1

3a 5

2

2

=

3

a 10

6

4) Cho hình chóp S.ABC có SB  (ABC) , SB=2a, đáy ABC là tam giác vuông tại C, cạnh AB=a 3; AC=a Tính VSABC =?

AC AB =a 2

a 2

A

S

C

a

a 3

B

A

B

C

S

a 2

+ Diện tích đáy Sđáy = 1

2CA.CB =

2 + Thể tích hình chóp : Vh/chóp = 1

3h.Sđáy =

1

3SB.Sđáy =

1

32a.

2

3

3

5) Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) , SA=a 2, đáy ABC là tam

giác có BAC = 600, cạnh AB=a; AC=a 3 Tính VSABC =?

Giải : + Diện tích đáy Sđáy = 1

2AB.AC sin BAC =

1

2a.a 3.

3

2 =

2 3a 4 + Thể tích hình chóp : Vh/chóp=1

3h.Sđáy =

1

3SA.Sđáy =

1

3a 2.

2 3a

4 =

3

4

đều cạnh a Tính VSABC =?

Giải : Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABC)

Vì S.ABC là hình chóp đều => H là trực tâm tam giác ABC

SH  mp(ABC)

+ AH = 2

3đường cao =

2 3

a 3

2 =

a 3 3 +SA = a 2 => SH = 2 2

SA AH =

2

2 3a 2a 9



Hay SH = a 15

3 ; + Diện tích đáy Sđáy =

2

4 + Thể tích hình chóp : Vh/chóp= 1

3SH.Sđáy =

1 3

a 15

3 .

2

3

12

7) Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a; cạnh bên

SA tạo với đáy một góc 300 Tính VSABC ?

Giải : Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABC)

Vì S.ABC là hình chóp đều => H là trực tâm tam giác ABC

SH  mp(ABC)

+ AH = 2

3đường cao =

2 3

a 3

2 =

a 3 3 + Diện tích đáy Sđáy =

2

4

A

B

C

S

300

B

A

C

S

D

 Hình chiếu của SA lên mp (ABC) là HA => góc tạo bởi cạnh bên SA và đáy là góc tạo bởi SA và HA là góc SAH =300

=> SH = AH.tan SAH =a 3

3 .

1

3=

a 3 + Thể tích hình chóp : Vh/chóp= 1

3SH.Sđáy =

1 3

a

3.

2

3

36

8) Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) , SA=a 2, đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc bằng 600 Tính VSABC =?

Giải : Gọi M là trung điểm BC

Vì  ABC cân tại A => BC  AM

Mà BC  SA ( vì SA  (ABC)

Suy ra : BC  (SAM) => BC  SM

+ Góc tạo bởi mp(SBC) và đáy (ABC) là góc tạo

bởi SM và AM ( cùng vuông góc giao tuyến BC)

là góc SMA =600

=> AM= SA 0

tan 60 =

a 2

3 ; BC =2AM=

2a 2 3 + Diện tích đáy Sđáy =1

2AM.BC=

2 2a 3 + Thể tích hình chóp : Vh/chóp= 1

3SA.Sđáy =

1

3a 2

2 2a

3 =

3 2a 2 9

9) Cho hình chóp S.ABCD có SA(ABCD) , đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA=BD Tính VS.ABCD ?

Giải : + Đáy là hình vuông Sđáy = a2

+ Đường chéo AC=BD=a 2

=> SA= a 2

+ Thể tích hình chóp: VS.ABCD = 1

3SA.Sđáy

VS.ABCD = 1

3SA.Sđáy=

1

3a 2 a

2 =

3

3

A

B

C

S

a 2

60 0

M

10) Cho hình chóp S.ABCD có SA(ABCD) , đáy ABCD là hình chữ nhật , AB=a , AD= a 2 và SA=BD Tính VS.ABCD ?

Giải : + Đáy là hình chữ nhật Sđáy =AB.AD= a2 2

AB AD =a 3 => SA= a 3 + Thể tích hình chóp: VS.ABCD = 1

3SA.Sđáy

VS.ABCD = 1

3SA.Sđáy=

1

3a 3 2 a

2

2 =

3 2a 3 3

11) Cho hình chóp S.ABCD có SA(ABCD) , đáy ABCD là hình vuông cạnh a và cạnh SC tạo với đáy một góc bằng 450 Tính VS.ABCD ?

Giải : SC chiếu lên mp(ABCD) là AC

=> Góc tạo bởi SC và mp(ABCD) là góc tạo

bởi SC và AC là góc SCA =450

=> SA=AC =a 2

+ Đáy là hình vuông Sđáy = a2

+ Thể tích hình chóp:

VS.ABCD = 1

3SA.Sđáy=

1

3a 2 a

2 =

3

3

12) Cho hình chóp S.ABCD có SB(ABCD) , đáy ABCD là hình thoi cạnh a ; BAC = 600

và SA=a 5 Tính VS.ABCD ?

Giải :Vì BAC=600

Và ABCD là hình thoi

Suy ra ABD là tam giác đều ;

cạnh BD =a

AC = 2 đường cao tam giác ABD

=> AC = a 3

+ Diện tích đáy Sđáy = BD.AC = 2

+ Đường cao : SB = 2 2

SA AB =2a + Thể tích hình chóp: VS.ABCD = 1

3SA.Sđáy=

1

3.2a.

2

a 3 =

3 2a 3 3

13) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng b Tính thể tích khối chóp ?

B

A

C

S

D

450

A

B

D

S

C

B

D

600

Giải: Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABCD)

Vì SA=SB=SC=SD => HA=HB=HC=HD

=> H là tâm của hình vuông

+ HA= a 2

2 ; SH=

SA HA =

2

2 a b 2

 + Đáy là hình vuông Sđáy = a2

+ Thể tích hình chóp:

VS.ABCD = 1

3SH.Sđáy=

1

3.

2

2 a b 2

 a2

14) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy bằng 300 Tính thể tích khối chóp theo a ?

Giải :Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABCD)

Vì tính chất hình chóp đều => H là tâm của hình vuông

Gọi M là trung điểm CD

+ Tam giác SCD cân => SM  CD

+ Tam giác HCD cân => HM  CD

+ Góc tạo bởi mặt bên (SCD) và đáy (ABCD)

Là góc tạo bởi SM và HM => SMH =300

Với HM =a

2; SH =HM.tan30

0 = a

2 3 + Đáy là hình vuông Sđáy = a2

+ Thể tích hình chóp: VS.ABCD = 1

3SH.Sđáy=

1

3.

a

2 3.a

2 =

3 a

6 3

15) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng 2a, góc tạo bởi cạnh bên và đáy bằng 600 Tính thể tích hình chóp S.ABCD ?

Giải Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABCD)

Vì tính chất hình chóp đều => H là tâm của hình vuông

+ Hình chiếu của cạnh SA lên mp đáy là HA

+ Góc tạo bởi cạnh bên SA và đáy (ABCD)

Là góc tạo bởi SA và HA => SAH =600

Với HA =a 2

2 ; SH =HA.tan60

0 =a 6 2 + Đáy là hình vuông Sđáy = a2

H

A

C

S

D

B

b

a

H

A

C

S

D

B

300

M

H

A

C

S

B

60 0

2a

+ Thể tích hình chóp: VS.ABCD = 1

3SH.Sđáy=

1

3.

a 6

2 .a

2 =a 6 6

16) Cho tứ diện ABCD có AB,AC,AD đôi một vuông góc nhau, biết AB=a; AC=a 2; AD=a 3 Tính thể tích VABCD ; Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (BCD) Tính AH

Giải :+ Từ giả thiết : AD  AB; AD  AC

=> AD  mp(ABC)

+ Diện tích đáy : SABC = 1

2AB.AC=

2

2 + Thể tích hình chóp : VABCD = 1

3AD.SABC

VABCD =1

3a 3.

2

3

6 + Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (BCD)

Ta có AH  (BCD) Kéo dài DH cắt BC tại M

Vì AH  BC, AD  BC => (DAH)  BC màAM  (DAH)=> BC  AM

C 1: Tính đường cao AM : 1 2

1

1

AC => AM =

a 2 3

AD AM =a 11

3 ; BC =

AB AC =a 3

SBCD = 1

2DM.BC =

1 2

a 11

3 .a 3=

2

a 11 2

Thể tích : VABCD = 1

3AH.SBCD <=> AH =

ABCD

BCD

3V

3

2

2

2

=a 6 11

C 2 : Tính AM = a 2

3 Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông DAM có

AH là đường cao : 1 2

1

1

11 6a => AH=

a 6 11

Chú ý :Khi AB,AC,AD đôi một vuông góc nhau VABCD =1

6AD.AB.AC

B

A

D

C

a

H

M

M

S

K

N

Gọi M,N,K là các điểm trong mp(ABC) sao cho A là trung điểm MN; B là trung điểm NK; C là trung điểm MK Chứng minh SM,SN,SK đôi một vuông góc nhau Tính VSABC?

Giải:

Theo cách dựng MN=2BC=2a 2 ; NK =2AC=2a 5 ; MK =2AB=4a + Xét tam giác SMN có SA là trung tuyến và SA =1

2MN (cùng = BC)

=> tam giác SMN vuông tại S hay SM  SN

+ Xét tam giác SNK có SB là trung tuyến và SB =1

2NK (cùng= AC)

=> tam giác SNK vuông tại S hay SN  SK

+ Xét tam giác SMK có SC là trung tuyến và SC =1

2MK ( cùng =AB)

=> tam giác SMK vuông tại S hay SM  SK

Vậy SM,SN,SK đôi một vuông góc nhau

Aùp dụng Pi tago : SM2 +SN2 =MN2 = 8a2

SN2 +SK2 =NK2 = 20a2

SK2 +SM2 =MK2= 16a2 Cộng vế theo vế : SM2 +SN2 +SK2 = 22a2

Suy ra : SK2 =14a2 <=> SK =a 14 ;

SM2 =2a2 <=> SM= a 2

SN2 = 6a2 <=> SN =a 6

Và SABC = 1

4SMNK , hình chóp S.ABC và S.MNK có cùng đỉnh

B

A

S

N

K

A

B

C

D

a

=> VS.ABC = 1

4VS.MNK =

1

4.

1

6SM.SN.SK=

1

24a

3

168

18) Cho tứ diện đều cạnh bằng a Tính thể tích của tứ diện

Giải : Cho tứ diện đều ABCD

Gọi H là hình chiếu của D lên mp(ABC)

Vì ABCD là tứ diện đều => H là trực tâm tam giác ABC

DH  mp(ABC)

+ AH = 2

3đường cao =

2 3

a 3

2 =

a 3 3 + DA = a => DH = 2 2

2

2 3a a 9



Hay DH = a 2

3 ; + Diện tích đáy Sđáy =

2

4 + Thể tích hình chóp : VABCD= 1

3DH.Sđáy =

1 3

a 2

3 .

2

3

12

19) Cho hình chóp tứ giác đều có các cạnh đều bằng a Tính thể tích của khối chóp

Giải: Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABCD)

Vì SA=SB=SC=SD => HA=HB=HC=HD

=> H là tâm của hình vuông

+ HA= a 2

2 ; SH=

SA HA =

2

2 a a 2

2 + Đáy là hình vuông Sđáy = a2

+ Thể tích hình chóp:

VS.ABCD = 1

3SH.Sđáy=

1

3.

a 2

2 .a

2 =

3

6 20) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a

a) Tính thể tích của khối chóp AB’CD’

b) Tính thể tích khối chóp A.B’C’D’

Giải :

a) Tứ diện AB’CD’ có AB’=AC=AD’=CD’=CB’=B’D’=a 2

Suy ra AB’CD’ là tứ diện đều cạnh a 2

H

A

C

S

D

B

a

a

Aùp dụng bài tập 18 ta có : VAB’CD’ =a 2 2

3 a 3

Cách khác : gọi O là giao của AC và BD

Ta có : VAB’CD’= VA OB’D’ + VC.OB’D’

Hình chóp A.OB’D’ có đường cao AO, đáy OB’D’

Hình chóp C.OB’D’ có đường cao CO, đáy OB’D’

Mà SOB’D’ =1

2OO’.B’D’ =

1

2a.a 2 =

2

2 + VA OB’D’ =1

3AO.SOB’D’ =

1

3.

a 2

2 .

2

3 a 6 + VC.OB’D’ =1

3CO.SOB’D’ =

1

3.

a 2

2 .

2

3 a 6 Vậy VAB’CD’= VA OB’D’ + VC.OB’D’ =

3 a 3 b) Thể tích VA.B’C ’D’ = 1

3h.SB’C’D’

Mà h = AA’ =a và SB’C’D’ = 1

2SA’B’C ’D’ =

1

2a

2

Vậy : VA.B’C ’D’ = 1

3a.

1

2a

2 =

3 a 6

21) Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) và tam giác SBC đều cạnh a, góc BAC =1200

tính thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp

Giải : SA  (ABC)

Và SB=SC => AB=AC

Hay tam giác ABC cân tai A

và BC=a ; BAC =1200

+ Kẻ đường cao AM , M là trung điểm BC

+ Góc ABM =300 ; AM = BM.tan300 =a

2.

1

3=

a

2 3 + Tam giác SBC đều => SM= a 3

2

C B

A

C’ B’

A’

a

a

D’

D

O

S

a

B

a

M

A

M

120 0

Suy ra SA= 2 2

4 12 =

a 2 3 + Diện tích đáy SABC = 1

2AM.BC =

1 2

a

2 3.a=

2 a

4 3 + Thể tích hình chóp : Vh/chóp = 1

3SA.SABC =

1 3

a 2

3 .

2 a

4 3 =

3

36

22) Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) và tam giác SBC đều cạnh

a 3, SA= a Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp

Giải : SA  (ABC) và SB=SC => AB=AC

Hay tam giác ABC cân tai A

+ Gọi M là trung điểm BC => AM  BC

+ Tam giác SBC đều cạnh a 3

=> SM= (a 3) 3

3a 2

SM SA =

2 2 9a a

a 5 2 + Diện tích đáy SABC = 1

2AM.BC =

1 2

a 5

2 .a 3 =

2

a 15 4 + Thể tích hình chóp : Vh/chóp = 1

3SA.SABC =

1

3a.

2

a 15

3

a 15 12

+ AB=AC = a 2 ; SSAB = SSAC =1

2.SA.AB =

2

2 ; SSBC =

a 32 3 4 + Stp = SSAB + SSAC + SSBC + SABC = a2 2 +

2 3a 3

2

a 15 4

23) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a SA=h và vuông góc với đáy Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC Chứng minh HK  (SBC) và tính thể tích tứ diện HKBC theo a và h

Giải : + Kéo dài AH cắt BC tại M, M là trung điểm BC

+ BC  AH , BC  SA => BC  SM

Vì K là trực tâm tam giác SBC => S,K, M thẳng hàng

S

B

a

M

a 3

a 3

Suy ra BC  (SAM) và HK  (SAM) => HK  BC (1)

+ CH  AB , CH  SA => CH  SB

Mà K là trực tâm => CK  SB

Suy ra : HK  SB (2)

Từ (1) và (2) Suy ra HK  (SBC)

AM = a 3

2 ; HM =

1 3

a 3

2 =

a 3

6 ;

2

2 3a h 4



 SAM đồng dạng  HKM => SA

HK =

SM

HM=

AM KM Suy ra HK= SA.HM

2

ha 3 3a

6 h

4



; KM =AM.HM

2

2 2

a 3a

4 h

4



Diện tích SKBC = 1

2KM.BC=

1 2

2

2 2

a 3a

4 h

4

 a=

3

2 2

a 3a

8 h

4



VHKBC =1

3.HK.SKBC =

1

2

ha 3 3a

6 h

4



3

2 2

a 3a

8 h

4



=

4

2 2

a h 3 3a

144 h

4





S

B

h

M

a

K

H