Một số phương pháp tính thể tích hình chóp

1.Cơ sở lí luận: - Các tính chất của quan hệ vuông góc, quan hệ song song trong không gian, các công thức tính diện tích tam giác, tứ giác: - Một số dạng tính thể tích khối chóp: Dạng 1

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I LỜI MỞ ĐẦU

Trong chương trình Hình học 12 thì phần thể tích khối đa diện, trong

đó có bài toán tính thể tích khối chóp là một phần rất quan trọng Các năm

gần đây, ở các đề thi tốt nghiệp THPT và các đề thi Đại học, Cao đẳng thường

xuyên có một câu về tính thể tích khối đa diện và chủ yếu là tính thể tích khối

chóp

Tuy nhiên thời lượng học chương trình này lại rất ít Ở chương trình

chuẩn chỉ có 2 tiết, chương trình nâng cao cũng chỉ có 3 tiết Bên cạnh đó nội

dung trong sách giáo khoa chưa phân được các dạng toán cụ thể Chẳng hạn

để tính thể tích khối chóp, ở chương trình SGK nâng cao Hình học lớp 12, chỉ

đưa ra được một ví dụ minh họa đó là: “Tính thể tích của khối tứ diện đều có

cạnh bằng a” SGK chỉ dừng lại ở ví dụ trên mà không có thêm bất cứ một ví

dụ nào khác, cũng như không nêu rõ các bước giải toán khi mà hình chóp

không phải là hình chóp đều Điều này đã gây khó khăn lớn với hầu hết học

sinh khi làm bài tập tính thể tích các khối chóp khác nhau

II.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

1.Thực trạng:

Thực tế, qua nhiều năm giảng dạy ở trường THPT Đặng Thai Mai, với

phần đa số là học sinh thuộc trung bình, tôi nhận thấy rằng phần lớn các em

đều không hứng thú học hình không gian trong đó có phần tính thể tích khối

chóp Các em gần như bỏ qua phần này hoặc chỉ học mang tính chất đối phó

Điều đó dẫn đến các em không đạt yêu cầu khi giải các bài toán về thể tích

khối chóp

2.Kết quả của thực trạng

Tôi đã cho tiến hành khảo sát ở ba lớp12 năm học 2009 - 2010: 12C1,

12C2, 12C3 tại trường THPT Đặng Thai Mai về bài tính thể tích khối chóp

ngay sau bài thể tích khối đa diện với bài toán sau:

“Tính thể tích khối chóp S.ABC trong đó SA, AB, AC đôi một vuông

góc và có độ dài đều bằng a”

Kết quả thu được như sau:

Lớp Sĩ số Vẽ hình

đúng

Xác định được đường cao

Tính đúng thể tích

Trình bày đúng

12C1 45 15(33,3%) 13(28,9%) 10(22,2%) 7 (15,6%)

12C2 47 11(23,4%) 9(19,1 %) 6(12,8%) 4 (8,5%)

12C3 43 12(27,9%) 7(16,2%) 5(11,6%) 3 (7 %)

Từ bảng trên ta thấy có đến hơn 67% không vẽ đúng hình, trên 71%

học sinh không xác định được đường cao của hình chóp, trên 77% không tính

được thể tích và trên 84% không biết trình bày hoặc lập luận chưa chính xác

Từ thực trạng trên, để giúp các em có thể tiếp thu dễ dàng hơn các bài

toán tính thể tích khối chóp, tôi đã tìm tòi, nghiên cứu, sắp xếp, phân loại các

dạng toán tính thể tích khối chóp gần giống với các dạng toán trong Đại số

qua sáng kiến kinh nghiệm :

“Một số phương pháp tính thể tích khối chóp”

Với sáng kiến kinh nghiệm này tôi mong muốn rằng học sinh được

trang bị một cách tương đối đầy đủ và toàn diện về phương pháp tính tính thể

tích của khối chóp Giúp học sinh để có một cái nhìn sâu hơn về bài toán tính

thể tich khối chóp nói riêng và các bài toán thể tích khối đa diện nói chung,

đáp ứng được yêu cầu ngày càng cao trong các kì thi tốt nghiệp THPT và

tuyển sinh Đại học, Cao đẳng

B.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1.Cơ sở lí luận:

- Các tính chất của quan hệ vuông góc, quan hệ song song trong không

gian, các công thức tính diện tích tam giác, tứ giác:

- Một số dạng tính thể tích khối chóp:

Dạng 1: Tính thể tích khối chóp dựa vào công thức V=1 .

3B h

( B là diện tích đáy, h là chiều cao)

Dạng 2: Tính thể tích khối chóp dựa vào tỉ lệ giữa các cạnh của nó

với các cạnh của khối chóp khác đã biết thể tích và công thức:

' ' ' ' ' '

.

SA B C SABC

V SA SB SC

V  SA SB SC (A’,B’,C’ lần lượt nằm trên các cạnh SA,SB,SC của hình chóp S.ABC)

Dạng 3: Tính thể tích khối chóp dựa vào phương pháp tọa độ và công

thức thể tích khối chóp ABCD: V=1 ,

3 uuur uuur uuurAB AC AD

2.Các biện pháp để tổ chức thực hiện:

Bài giảng được thực hiện qua các tiết dạy bồi dưỡng học sinh, tự chọn,

ôn tập hoặc phụ đạo nhằm khắc phục thời lượng hạn chế theo Phân phối

chương trình

Cung cấp cho học sinh các dạng toán tính thể tích khối chóp (phương

pháp, ví dụ minh họa và bài tập áp dụng giúp học sinh tự rèn luyện, ôn tập) :

Dạng 1: Tính thể tích khối chóp dựa vào công thức V=1 .

3B h (1)

( B là diện tích đáy, h là chiều cao)

Dạng này được sử dụng ở các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Khối chóp có cạnh bên nằm trên đường thẳng

vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy

b

b S

- Xác định đường cao (chính là cạnh bên vuông góc với đáy)

- Tính đường cao và diện tích đáy Từ đó và áp dụng công thức (1)

để tính thể tích khối chóp

Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA vuông góc với mặt phẳng

(ABC).SA=a, tam giác ABC vuông tại B và BA=BC= b Tính thể tích khối

1 3

1

ab b

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA vuông góc với mặt phẳng

(ABC), SA=a, tam giác ABC có A= và AB=b, AC=c Tính thể tích khối

1 3

1

abc bc

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a,

SA vuông góc với đáy.Góc giữa SC và đáy bằng 600

Tính thể tích khối chóp S.ABCD

AC là hình chiếu vuông góc của SC

trên mặt phẳng (ABCD) nên góc giữa SC

và mặt phẳng (ABCD) là góc SCA

Suy ra SCA =600 và SA=AC.tanSCA=a 2.tan600=a 6

Diện tích đáy ABCD bằng SABCD=AB2=a2

Thể tích khối chóp S.ABCD bằng:

V=

3 2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc

với mặt đáy.Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết:

a) Cạnh AB= a, AD=2a, SA=3a

b) Cạnh đáy AB=a 3, AD=a, góc giữa AC với mặt phẳng (SBC) bằng 300

(chính là cạnh chung của hai mặt bên cùng vuông góc với mặt đáy)

- Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng công thức (1)

để tính thể tích khối chóp

Một số ví dụ minh họa

A

D

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có hai mặt bên (SAB), (SAD) vuông góc

với đáy SA =a, đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc A=1200

Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Lời giải:

Vì (SAB) và (SAD) cùng

vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

nên SA vuông góc với mặt phẳng

(ABCD) hay SA là đường cao của

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông cạnh a

Các mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy, cạnh bên SC

tạo với đáy một góc 300 Tính thể tích khối chóp

Lời giải:

Vì (SAB) và (SAD) cùng vuông

góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA

vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hay

SA là đường cao của hình chóp

Ta có: SABCD=AB2=a2,

2

AB BC a SAAC (vì SA(ABCD) ), suy ra AC là hình chiếu

vuông góc của SC xuống mặt phẳng (ABCD) nên góc SCA bằng 300

Xét tam giác SAC vuông tại A có SA=AC.tanSCA = 0 6

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác vuông cân tại

B, AB=BC=2a Các mặt phẳng (SAB), (SAC) cùng vuông góc với mặt

phẳng(ABC).Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song

với BC, cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600

Tính thể tích khối chóp S.BCMN

Lời giải:

Vì (SAB) và (SAD) cùng vuông

góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA vuông

góc với mặt phẳng (ABCD) hay SA là

đường cao của hình chóp S.BCMN

Vì ABBC (giả thiết) nên

SBBC (định lí ba đường vuông góc)

Và góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc SBA

Suy ra SA=AB.tan SBA = 2a.tan600 = 2 3a

Mặt khác MN// BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC và

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,

AC=a, hai mặt phẳng (SAC) và (SAB) cùng vuông góc với đáy.Góc tạo bởi

SC và mặt đáy bằng 600.Tính thể tích khối chóp

60 0

I A

B S

Trường hợp 3: Khối chóp có hai mặt phẳng đi qua đỉnh (không

chứa mặt bên) cùng vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy

Phương pháp:

- Xác định đường cao (nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng

cùng vuông góc với mặt đáy)

- Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng công thức

(1) để tính thể tích khối chóp

Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A ,

AB=AD=2a, CD =a, góc giữa SC và (ABCD) bằng 600.Gọi I là trung điểm

cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với đáy Tính

thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Lời giải:

Vì (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SI vuông

góc với mặt phẳng (ABCD) hay SI là

đường cao của hình chóp S.ABCD

IC là hình chiếu vuông góc của SC

Xuống mặt phẳng (ABCD) nên góc

giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc SCI

Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi

M là trung điểm của AB, hai mặt phẳng (SMC) và (SMB) cùng vuông góc

60 0

N M

A

B S

S

O

với mặt phẳng (ABCD) Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng

450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Lời giải:

Vì (SBI) và (SCI) cùng vuông góc

với mặt phẳng (ABCD) nên SI vuông

góc với mặt phẳng (ABCD) hay SI là

đường cao của hình chóp S.ABCD

Gọi N là trung điểm của BC ta có

MN là đường trung bình của hình

vuông ABCD nên MN BC suy ra SN BC và góc giữa hai mặt phẳng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc

BAD=1200 Gọi O là giao điểm của AC và BD, hai mặt phẳng (SAC) và

(SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Góc giữa hai mặt phẳng SA

và (ABCD) bằng 600

Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Lời giải:

Vì (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SO vuông

góc với mặt phẳng (ABCD) hay SO là đường cao của hình chóp S.ABCD

AO là hình chiếu vuông góc của SA

xuống mặt phẳng (ABCD) nên

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.Gọi M, N lần

lượt là trung điểm của AB và AD H là giao điểm của CN và DM Biết SH

vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH=a.Tính thể tích khối chóp

S.CDMN

Trường hợp 4: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy

Phương pháp:

- Xác định đường cao (hạ từ đỉnh xuống cạnh đáy là giao giữa

mặt bên đó với mặt đáy )

- Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng công thức

(1) để tính thể tích khối chóp

Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có đáy

lớn là AB = 2a, AD =CD =a và hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) vuông góc

với nhau, tam giác SAB đều Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của AB khi đó SH AB suy ra SH (ABCD) hay

SH là đường cao của hình chóp.SH=SA.sin600

=2 3 3 2

a a Gọi K là hình chiếu vuông góc của D trên AB khi đó

H A

C

B S

D K

N

M A

C

B S

Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a

SA=a,SB=a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy Gọi M, N lần lượt là

trung điểm của các cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN

Lời giải:

Gọi H là hình chiếu của S trên AB ta có SH(ABCD) hay SH là đường

cao của hình chóp S.BMDN

Mặt khác tam giác SAB có

SA2 +SB2=AB2 (a2+3a2=4a2)

Nên vuông tại S suy ra

2

a SH

Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a

SA=SB và mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy Góc giữa SC và mặt đáy

bằng 450

Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

Lời giải:

I A

C

B S

D

Gọi I là trung điểm của AB suy ra SI AB và SI (ABCD)

hay SI là đường cao của hình chóp S.ABCD

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên

(SAB) vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết

a) AB=2a, AD=2a, tam giác SAB đều

b) AB=2a, AD=a và tam giác SAB cân tại S, góc giữa SC và mặt đáy

bằng 450

Trường hợp 5: Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với hai

đường thẳng cắt nhau thuộc mặt đáy

Phương pháp:

- Xác định đường cao (chính là cạnh bên đó )

- Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng công thức (1)

để tính thể tích khối chóp

Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 13: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, AC đôi một vuông góc,

SA=AB=AC=a Tính thể tích khối chóp S.ABC

Lời giải:

AB SA

1 3

1

a a

Ví dụ 14:

Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, AC đôi một vuông góc, SA=a,

AB=AC= b Tính thể tích khối chóp S.ABC

Lời giải:

AC SA

AB SA

2

2

AC AB

1 3

1

ab b

Bài tập áp dụng:

Cho hình chóp S.ABC trong đó SA,AB,AC đôi một vuông góc, SA=a,

AB=b, AC=c.Tính thể tích khối chóp S.ABC

Trường hợp 6: Khối chóp đa giác đều

Phương pháp:

- Xác định đường cao (hạ từ đỉnh xuống tâm của đa giác đáy )

- Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng công thức (1)

M A

C

B S

O

M

C D

S

O

Ví dụ 15:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC biết cạnh bên bằng a 2 ,góc tạo bởi

cạnh bên và mặt đáy bằng 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC

Lời giải:

Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có SO(ABC)

nên SO là đường cao của hình chóp Xét tam giác SOA vuông tại O có góc

giữa SA và mặt phẳng (ABC) là góc

SAO =450.Suy ra AO=SA.cosSAO=a ,

SO=SA.sin SAO=a Gọi M là trung điểm

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD biết cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi mặt

bên và mặt đáy bằng 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

Lời giải:

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, khi đó SO vuông góc với mặt phẳng

(ABCD) hay SO là đường cao của hình chóp Gọi M là trung điểm của

D' B'

Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

Dạng 2: Tính thể tích khối chóp dựa vào tỉ lệ giữa các cạnh của nó

với các cạnh của khối chóp khác đã biết thể tích và công thức:

Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V Gọi B’ và D’ lần lượt là trung điểm

của AB và AD Mặt phẳng (CB’D’) chia khối tứ diện thành hai phần Tính thể

D' S

Ví dụ 18: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA

vuông góc với mặt đáy và SA =2a Gọi B’,D’ lần lượt là hình chiếu của A

trên SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’ Tính thể tích khối chóp

S.AB’C’D’

Lời giải: Ta có AB’SB và AB’CB (CB(SAB) suy ra AB’SC

Tương tự AD’SC suy ra SCAC’

5, đường chéo AC =4, đoạn thẳng SO=2 2(O là tâm của hình thoi) vuông

góc với đáy.Gọi M là trung điểm của cạnh SC Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt

SD tại N Tính thể tích khối chóp S.ABMN

Dạng 3: Tính thể tích khối chóp dựa vào phương pháp tọa độ và công

thức thể tích khối chóp ABCD: V=1 ,

3 uuur uuur uuurAB AC AD (2)

Phương pháp: - Chọn hệ trục tọa độ Đề các vuông góc Oxyz phù hợp

- Tọa độ hóa bài toán

- Áp dụng công thức (2) để tính thể tích khối chóp

H

F A

C D

B E

Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 19:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=a 2,

SA=a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M và N lần lượt là trung

điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC Tính thể tich khối tứ diện

ANIB

Lời giải:

Dựng hệ trục tọa độ Oxyz

Sao cho O trùng với A,Ox

Trùng với tia AD,Oy trùng

với tia AB,Oz trùng với tia

Thể tích khối tứ diện ANIB :

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B

AB=a, AA’=2a, A’C=3a Gọi M là trung điểm của A’C’ và I là giao điểm của

AM và AC Tính thể tich khối tứ diện ABCI

H

P N

Lời giải: Xét hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O trùng với B, Ox trùng với tia

BC, Oy trùng với tia BA,Oz trùng với tia BB’.Khi đó ta có A(0;a;0),

B(0;0;0),C(2a;0;0).Do A’M=1 2AA ' 4

a

ACIH   Kẻ HN//BC và HP//AB khi đó

Thể tích khối tứ diện ABCI:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a M, N, P lần lượt là trung điểm

của các cạnh AB, AD và A’D’ Tính theo a thể tích khối chóp C’.MNP