CHỦ ĐỀ THỂ TÍCH HÌNH CHÓP HÌNH HỌC 12 CÓ ĐÁP ÁN

CHỦ ĐỀ THỂ TÍCH HÌNH CHÓP HÌNH HỌC 12 CÓ ĐÁP ÁNTổng hợp Công thức tính thể tích khối chóp các trường hợp cực hay Dạng 1:Tính thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy Dạng 2:Tính

Trang 1

CHỦ ĐỀ THỂ TÍCH HÌNH CHÓP HÌNH HỌC 12 CÓ ĐÁP ÁN

Tổng hợp Công thức tính thể tích khối chóp các trường hợp cực hay

Dạng 1:Tính thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

Dạng 2:Tính thể tích khối chóp có hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy

Dạng 3:Tính thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy

Dạng 4:Tính tỉ số thể tích hai khối chóp

Phương pháp tính thể tích hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

Phương pháp tính thể tích hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy

Phương pháp tính thể tích khối đa diện đều cực hay

Phương pháp tính tỉ số thể tích của hai khối chóp cực hay

Phương pháp tính thể tích các khối đa diện cực hay

Trang 2

* Để xác định được chiều cao của hình chóp ta cần xác định:

• Chóp có cạnh bên vuông góc chiều cao chính là cạnh bên

• Chóp có hai mặt bên vuông góc đáy đường cao là giao tuyến của hai mặt bênvuông góc đáy

• Chóp có mặt bên vuông góc đáy chiều cao của mặt bên vuông góc đáy

• Chóp đều chiều cao hạ từ đỉnh đến tâm đa giác đáy

• Chóp có hình chiếu vuông góc của một đỉnhlên xuống mặt đáy thuộc cạnh mặtđáy đường cao là từ đỉnh tới hình chiếu

Chú ý: Các công thức tính diện tích đa giác

a) Tam giác:

Trang 3

b) Hình vuông cạnh a: S = a2(a: cạnh hình vuông)

c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước)

d) Hình bình hành ABCD: S = đáy x cao = AB AD

e) Hình thoi ABCD: S= AB AD

f) Hình thang: (a,b: hai đáy, h: chiều cao)

g) Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc:

Dạng 1: Tính thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

A Phương pháp giải & Ví dụ

Chú ý khi giải toán

+ Một hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy thì cạnh bên đó chính làđường cao

+ Một hình chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc với đáy thì cạnh bên

là giao tuyến của hai mặt đó vuông góc với đáy

Trang 4

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân ở B, AC=a√2,

SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = a Tính thể tích khối chóp S.ABC

Hướng dẫn:

ABC là tam giác vuông cân ở B, AC=a√2 nên

SA vuông góc với mặt phẳng ABC nên SA là đường cao

Bài 2: Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA = 4; AB = 6; BC = 10

và CA = 8 Tính thể tích V của khối chóp S.ABC

Trang 5

Hướng dẫn:

Nửa chu vi của tam giác là: p = 12

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a SA vuông góc

với mặt phẳng (ABC) Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng30º.Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC

Hướng dẫn:

Do SA ⊥ (ABC) nên AB là hình chiếu vuông góc của SB lên mặt phẳng (ABC)

⇒ Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) là

Xét tam giác SAB vuông tại A có:

∆ABC đều cạnh a nên

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a, AD = a.

Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy, góc giữa SC và mặtphẳng S.ABCD bằng 60º Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

Trang 6

Hướng dẫn:

SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD)

Do đó, góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là

Trang 7

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy và AB = a, AC =

2a, góc BAC = 120º Mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60º Tính theo a thểtích khối chóp S.ABC

Hướng dẫn:

Gọi F là hình chiếu vuông góc của A lên BC

(SBC) ∩ (ABC) = BC

Vậy góc giữa (SBC) và (ABC) là góc SFA = 60º

Xét tam giác ABC, AB = a, AC = 2a, góc BAC = 120º có:

Trang 8

Xét tam giác ABF vuông tại F có:

B Bài tập vận dụng

Bài tập thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

Bài 1: Cho khối chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tại B, AB =

a; AC=a√3 Tính thể tích khối chóp biết rằng SB=a√5

Trang 9

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

ΔSAB vuông tại A có:

Trang 10

Bài 2: Cho khối chóp S.ABC có ABCD là hình vuông cạnh a; SA ⊥ (ABCD),.

Góc giữa mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng 30º Tính thể tích khối chópS.ABCD

Hiển thị đáp án Đáp án : C

Trang 11

Giải thích :

Từ A kẻ AH vuông góc với BD, H∈ BD ⇒ BD ⊥ (SAH)

Mà H là trung điểm của AC suy ra

Bài 3: Cho khối chóp S.ABC có ABCD là hình thoi, cạnh bằng a√3; SA ⊥

(ABCD), góc BAD=120º Tính thể tích khối chóp S.ABC biết rằng góc giữa mặtphẳng (SBD) và (ABCD) bằng 60º

Trang 12

Hiển thị đáp án Đáp án : D

Trang 13

Bài 4: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B Hai

mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy Biết AD=2BC=2a vàBD=a√5 Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết rằng góc giữa SB và (ABCD)bằng 30º

Hiển thị đáp án Đáp án : A

Giải thích :

Trang 14

Bài 5: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hai mặt phẳng

(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ABC biếtrằng SC=a√3

Trang 15

Hiển thị đáp án Đáp án : B

Giải thích :

Trang 16

Bài 6: Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật; AC=2AB=2a ; SA

vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết rằng SD=a√5

Giải thích :

Trang 17

Bài 7: Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật tâm O; AC=2AB=2a;

SA vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết góc giữa

SC và (ABCD) bằng 45º

Giải thích :

Trang 18

Bài 8: Cho khối chóp S.ABC đáy ABC là tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh

BC=a√2, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt bên (SBC) tạo với mặtphẳng đáy một góc bằng 45º Thể tích khối chóp S.ABC bằng V Gía trị 6V/a^3 là:

Giải thích :

Trang 19

ΔABC vuông cân tại A có BC=a√2 ⇒ AB=AC=a

Gọi M là trung điểm của BC

Ta có:

Do đó, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc giữa AM và SM

Trang 20

Bài 9: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hai mặt

phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCDbiết rằng góc giữa SC và (ABCD) bằng 45º

Giải thích :

Trang 21

Bài 10: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hai mặt

phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCDbiết rằng góc giữa SM và (ABCD) bằng 60º , với M là trung điểm BC

Giải thích :

Trang 22

Ta có:

Dạng 2: Tính thể tích khối chóp có hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy

1 Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là một

đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau

2 Kết quả: Trong hình chóp đều:

+ Đường cao hình chóp qua tâm của đa giác đáy

+ Các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau

+ Cắt mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau

Trang 23

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AD = 2a, AB = a Gọi

H là trung điểm AD, biết SH vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khốichóp S.ABCD biết SA=a√5

Hướng dẫn:

Bài 2: Cho khối chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = 3a, AC = 6a.

Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc đoạn AB sao cho AH =2HB Biết SC hợp với (ABC) một góc bằng 60º Tính thể tích khối chóp S.ABC

Hướng dẫn:

Trang 24

Tam giác ABC vuông tại B, AB = 3a, AC = 6a

AH = 2HB; AB = 3a ⇒ HB = a

Có: SH⊥(ABCD) nên góc giữa SC và (ABC) là góc giữa SC và HC

Trang 25

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a,

BC=a√3, H là trung điểm của cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SHC) và (SHD) cùngvuông góc với mặt đáy, đường thẳng SD tạo với đáy một góc 60º Tính thể tíchcủa khối chóp theo a

Hướng dẫn:

HD là hình chiếu vuông góc của SD lên mặt phẳng (ABCD) Do đó góc giữađường thẳng SD và đáy là góc giữa HD và SD

Trang 26

Bài 4: Cho khối chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a√3 Tính thể tích khối chóp

S.ABCD biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60°

Hướng dẫn:

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD khi đó SO⊥(ABCD)

suy ra góc SDO =(SD,(ABCD))=60º

Lại có đáy ABCD là hình vuông cạnh a√3

Trang 27

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có góc giữa SC và mặt đáy bằng 45º , đáy ABC là

tam giác vuông tại A có AB = 2a, góc ABC =60º và hình chiếu của S lên mặtphẳng (ABC) là trung điểm của AB Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC

Hướng dẫn:

Gọi H là trung điểm của AB

Tam giác ABC vuông tại A có AB = 2a, góc ABC = 60º

Trang 28

HC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD), do đó, góc giữa SC

và (ABCD) là góc giữa HC và SC

Bài 1: Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a Gọi H là trung

điểm AB, biết SH vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích của khối chópS.ABCD biết tam giác SAB đều

Giải thích :

Trang 29

Tam giác SAB đều cạnh 2a nên SH=a√3

Bài 2: Cho khối chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a Tính thể tích khối chóp

S.ABC biết cạnh bên bằng 2a

Trang 30

Giải thích :

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC suy ra SH ⊥ (ABC)Gọi M là trung điểm của BC ta có

Lại có

Trang 31

∆ABC đều cạnh a nên

Bài 3: Cho khối chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a Tính thể tích khối chóp

S.ABC biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 45º

Giải thích :

Trang 32

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC suy ra SH ⊥ (ABC)

Gọi M là trung điểm của BC ta có

HA là hình chiếu vuông góc của SH lên mặt đáy (ABC)

Do đó, góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy là góc giữa AH và SA

Trang 33

Bài 4: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a Gọi H là

trung điểm AB, biết SH vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chópS.ABCD biết góc giữa SC và (ABCD) bằng 60º

Giải thích :

Trang 34

Ta có: HC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD), do đó góc giữa SC và(ABCD) là góc giữa SC và HC

Xét tam giác SCH vuông có:

ABCD là hình vuông cạnh 2a n ên SABC = 4a2

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là:

Trang 35

Bài 5: Cho khối chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a Mặt bên hợp với đáy

một góc 60º Tính thể tích khối chóp S.ABC

Giải thích :

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD khi đó SO ⊥ (ABCD)

Ta có: OA là hình chiếu vuông góc của SA lên mặt phẳng (ABCD)

Trang 36

Khi đó, góc giữa cạnh bên SA và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SA và OA

⇒ ∠(SAO) = 60º

Lại có: ABCD là hình vuông cạnh 2a, O là giao điểm của hai đường chéo

Bài 6: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng 2a.

Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H thuộc đoạn AO Gócgiữa mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 60º Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Giải thích :

Trang 37

Gọi M là hình chiếu vuông góc của H lên CD.

Trang 38

Bài 7: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D;

AB=AD=2a;CD=a Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60º Gọi I làtrung điểm của AD Biết 2 mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặtphẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Giải thích :

Trang 39

Lấy E là điểm đối xứng với D qua C, suy ra tứ giác ABED là hình vuông Gọi K

là giao điểm của IE và BC

Mặt phẳng (SIK) vuông góc với BC là giao tuyến của (SBC) và (ABCD), đồngthời cắt 2 mặt phẳng này tại các giao tuyến SK và IK, suy ra

Trang 40

Ta có:

Đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB=AD=2a;CD=a nên

Bài 8: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B Hai

mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy Biết AD = 2BC = 2a và

Trang 41

BD=a√5 Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết rằng góc giữa SB và (ABCD)bằng 30º

Trang 42

Bài 9: Cho khối chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a√3 Tính thể tích khối chóp

S.ABC biết mặt bên là tam giác vuông cân

Giải thích :

Trang 43

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC suy ra SH ⊥ (ABC)Gọi M là trung điểm của BC ta có AM = 3a/2

∆ABC đều cạnh a√3 nên SABC = (3a2)/4

Trang 44

Bài 10: Cho khối chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a√3 Tính thể tích khối

chóp S.ABCD biết mặt bên là tam giác đều

Giải thích :

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD khi đó SO ⊥ (ABCD)

Trang 45

∆SBC đều cạnh a√3 nên SC = a√3

Lại có: ABCD là hình vuông cạnh a√3, O là giao điểm của hai đường chéo

Dạng 3: Tính thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy

Để xác định đường cao hình chóp, ta vận dụng định lí sau:

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC =

4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB=2a√3 và

∠(SBC)=30º Tính thể tích khối chóp S.ABC

Trang 46

Kẻ SH vuông góc với BC

Xét tam giác SHB vuông tại H có:

Trang 47

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a Mặt bên

(SAB) là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD Tính thểtích khối chóp S.ABCD

Gọi H là trung điểm của AB

∆SAB đều nên SH ⊥ AB

Trang 48

(SAB) ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ (ABCD)

Vậy H là chân đường cao của khối chóp

Ta có: ∆SAB đều cạnh a nên SH = a√3/2

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều, BCD là tam giác vuông cân tại

D (ABC) ⊥ (BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60º, AD = a Tính thể tích của

tứ diện ABCD

Gọi H là trung điểm của BC Ta có tam giác ABC đều nên AH ⊥ BC

Trang 49

Ta có: HD là hình chiếu vuông góc của DA lên mặt phẳng (BCD)

Do đó, góc giữa HD và mặt phẳng (BCD) là góc giữa AD và DH

⇒ ∠(ADH) =60º

Xét tam giác AHD vuông tại H có:

BCD là tam giác vuông cân tại D có DH là trung tuyến nên

BC=2DH=a

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, gọi M là trung điểm

của AB Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy

Trang 50

(ABCD), biết SD=2a√5, SC tạo với mặt đáy (ABCD) một góc 60º Tính theo a thểtích của khối chóp S.ABCD

Tam giác SAB cân tại S có M là trung điểm của AB nên SM ⊥ AB

MC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD) nên góc giữa SC vàmặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và MC

⇒ ∠(SCM) = 60º

Trong tam giác vuông SMC và SMD có:

Do ABCD là hình vuông nên MC = MD

Trang 51

Lại có:

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = 2a.

Mặt phẳng (SBC) vuông góc với đáy, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo vớimặt phẳng đáy góc 60º Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

Trang 52

Gọi H là hình chiếu của S lên BC; E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC.

Khi đó, ta có: góc giữa (SAB) và (SAC) với mặt đáy (ABC) lần lượt là các góc

∠(SEH ) và ∠(SFH )

⇒∠(SEH)=∠(SFH) = 60º

Xét các tam giác vuông SHE và SHF có:

Do HE = HF nên AH là phân giác của góc BAC

Trang 53

Trang 54

Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC vuông cân tại

S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC) Tính thể tích khối chóp S.ABC

Giải thích :

Gọi H là trung điểm của BC Do tam giác SBC vuông cân tại S nên SH ⊥ BC

Ta có:

Trang 55

Tam giác SBC vuông cân tại S, BC = a, SH là trung tuyến

⇒ SH=a/2

Tam giác ABC đều cạnh a nên

Bài 2: Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai

mặt phẳng vuông góc với nhau, biết AD = a Tính thể tích tứ diện

Giải thích :

Trang 56

Gọi H là trung điểm của BC Do tam giác ABC đều nên SH ⊥ BC.

Trang 57

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có ∠(BAC)=90º; ∠(ABC)=30º SBC là tam giác

đều cạnh a là nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích khối chópS.ABC

Giải thích :

Trang 58

Gọi H là trung điểm của BC Do tam giác SBC đều nên SH ⊥ BC.

Ta có:

Xét tam giác ABC có ∠(BAC)=90º; ∠(ABC)=30º; BC = a nên:

Trang 59

SH là đường cao của tam giác đều cạnh a

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a SAB là tam giác

vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa cạnh SC vàmặt phẳng (ABCD) bằng 60º, cạnh AC = a Tính theo a thể tích khối chópS.ABCD

Hiển thị đáp án

Trang 61

Ta có: MC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD) nên góc giữa

SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa MC và SC

⇒ ∠(SCM)=60º

Xét tam giác vuông SMC có:

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi Tam giác SAB đều và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với đáy Biết AC = 2a, BD = 4a Tính theo a thể tíchkhối chóp S.ABCD

Giải thích :

Định dạng
Số trang	128
Dung lượng	2,37 MB