Dễ dàng nhận thấy đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI cũng chính là đường tròn ngoại tiếp tứ giác OIKN, suy ra tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI nằm trên đường trung trực của K[r]
Trang 1ĐỀ SỐ 3.
SỞ GD & ĐT ĐỀ THI TUYỂN VÀO THPT
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 120 phút ( không kể giao đề )
Bài 1: ( 1,5 điểm )
Bài 2: ( 1,5 điểm )
Chứng minh rằng n nguyên dương, đều có:
chia hết cho 91
Bài 3: ( 2 điểm )
a) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: Tính giá trị lớn nhất của:
b) Chứng minh rằng với mọi a, b, c là các số nguyên không âm:
Bài 4: ( 2 điểm )
a) Giải phương trình khi a=1
b) Tìm a để phương trình có 4 nghiệm Khi đó tồn tại hay
không giá trị lớn nhất của:
Bài 5: ( 3 điểm )
Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự ấy, (O) là đường tròn đi qua B,C Kẻ
từ A các tiếp tuyến AE và AF đến (O) (E, F là các tiếp điểm) Gọi I là trung điểm của BC, N là trung điểm của EF
a) Chứng minh E, F nằm trên 1 đường tròn cố định khi (O) thay đổi
b) Đường thẳng FI cắt (O) tại E’ Chứng minh EE’ // AB
c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOI nằm trên đường thẳng cố định khi (O) thay đổi
Trang 2ĐÁP ÁN
ĐỀ SỐ 3
B
ài 1 Ta rút gọn x:
Ta có:
a)
b)
c)
Suy ra:
Như vậy:
Tính A, ta có:
(1) Thay x vào (1) ta được:
Bài 2:
n nguyên dương, ta có:
Lại có:
Bài 3:
Ta có:
Trang 3Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
b) Ta có:
=3
Ta có:
Với hoặc , ta có:
Với hoặc , ta có:
Với hoặc , ta có:
Suy ra:
Như vậy:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Bài 4:
Phương trình đã cho có thể biến đổi thành:
a) Với a=1 phương trình đã cho trở thành:
nghiệm Để phương trình đã cho có 4 nghiệm thì mỗi phương trình như trên phải
có đúng 2 nghiệm và các nghiệm đó khác 0 Như vậy, để phương trình ban đầu
có 4 nghiệm, điều kiện cần và đủ là:
*Với phương trình đã cho có 4 nghiệm là:
Trang 4Như thế:
=
Tuy nhiên và không đạt được giá trị nên S không có giá trị lớn nhất!
Bài 5:
a) Vì AF là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ta có:
Xét AFB và , ta có:
FAB= FAC
Suy ra AFB
Suy ra:
Suy ra E, F là các điểm nằm trên đường tròn (A, )
b) Vì AF là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ta có:
(1)
Mặt khác:
(2)
Và:
(4 điểm A, E, I, F cùng nằm trên đường tròn đường kính AO)
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra được: Suy ra EE’ // AB (Theo dấu hiệu
góc đồng vị của hai đường thẳng song song)
c) Xét và ta có:
OAI =
ANK= AIO=90 0
Suy ra OAI KAN
(1)
Từ (1) và (2) suy ra AK.AI = AB.AC = const
Suy ra K là điểm cố định
Trang 5Dễ dàng nhận thấy đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI cũng chính là đường tròn ngoại tiếp tứ giác OIKN, suy ra tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI nằm trên đường trung trực của KI là đường thẳng cố định Từ đó ta có (đpcm)