Kí hiệu A;ABlà đường tròn tâm A, bán kính AB.. Gọi M là điểm di động trên cung nhỏ BC của đường tròn A;AB M khác A, B.. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AE, AF với
Trang 1Goctoanhoc.net
Đề thi thử số 1
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (7,0 điểm)
a) Giải phương trình x 3 3 x 2x2 6x5
b) Giải hệ phương trình
2
2xy
x y
.
Câu 2 (2,0 điểm)
Tìm tất cả các bộ số nguyên dương x; y;z thỏa mãn x y 2017
y z 2017
là số hữu
tỉ, đồng thời 2 2 2
x y z là số nguyên tố
Câu 3.(2,0 điểm)
Cho ba số thực x, y, z không âm thỏa mãn x y z 1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức 4 4 4 3 3 3
Px y z x y z
Câu 4 (7,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ABACavà BAC 120 0 Kí hiệu A;ABlà đường tròn tâm A, bán kính AB Các tiếp tuyến của A;AB tại B, C cắt nhau tại D Gọi M
là điểm di động trên cung nhỏ BC của đường tròn A;AB (M khác A, B) Tiếp
tuyến tại M của đường tròn A;AB cắt DB, DC lần lượt tại E, F Gọi P, Q lần lượt là
giao điểm của các đường thẳng AE, AF với đường thẳng BC
a) Chứng minh ABEQ là tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn và các đường thẳng AM, EQ, FP đồng quy
b) Xác định vị trí của M trên cung nhỏ BC của đường tròn A;AB để diện tích tam giác APQ nhỏ nhất
Câu 5 (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng cho 8069 điểm mà diện tích của mọi tam giác với các đỉnh là các điểm đã cho không lớn hơn 1 Chứng minh rằng trong số các điểm đã cho có thể tìm được 2017 điểm nằm trong hoặc nằm trên cạnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn 1
- Hết! -
Trang 2GÓC TOÁN HỌC HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THỬ SỐ 1
TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM 2018-2019
Môn thi: Toán ; Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1
(7,0 điểm)
a) Giải phương trình x 3 3 x 2x2 6x5 (1)
Điều kiện:
2
x 3 0
2x 6x 5 0
0,5
2 (1) x 3 3 x 2 x3 3 x 2x 6x5
0,5
22 2
2
2
2 2
2
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 2 14
2
b) Giải hệ phương trình
2
2xy
x y
x y x y 6 (2)
Điều kiện x y 0 (*)
0,5
x y 1 0
(Vì điều kiện (*) và x2y2 0 nên
Trang 3y 1 x
x x 6 0
x 3
1,0
Vậy hệ có hai nghiệm x 2 ; x 3
Câu 2
(2,0 điểm)
2017
2017
z y
y x b
a
a,bN*
1 ) ,
2017
az
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán:
0
z
y y
x b
1,0
2 2
2 ) ( 2 2
là số nguyên tố và xzy1
suy ra x2 y2 z2 x yz và xyz1.
Suy ra xyz 1(thỏa mãn)
1,0
Câu 3
(2,0điểm)
Câu 3
+) Từ giả thiết ta có 4 3
0 x 1 x x (1) Tương tự y4 y ; z3 4 z (2)3
Từ (1) và (2) suy ra P0
Nếu x1, y z 0 thì P0
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 0
0,5
Px y z x y z x y z
xy x y yz y z zx z x
xy yz zx x y z (3)
(Vì x, y, z không âm thỏa mãn x y z 1)
0,5
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có
2
0,5
Trang 4 2
x y z 4
8
Từ (3) và (4) suy ra ra P 1
8
Nếu x 0, y z 1
2
8
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 1
8
0,5
Câu 4
(7,0 điểm)
a) + HD: Sử dụng tổng góc đối 180 0
1,5
+ Tam giác AEF nhận AM,EQ,FPlà đường cao dpcm
1,5 + Ta có APQ AFE(g,g)
2
1 2
1 0 30 sin
^
AF
AP AEP
AF AP
Diện tích APQnhỏ nhất khi diện tích AFE nhỏ nhất FEnhỏ nhất
1,0
Kẻ đường thẳng qua A vuông góc với AD cắt DC, DB lần lượt tại X, Y 1,5
Trang 5Ta có: FE FX EY (CX BY)2 FX.EY 2CX(1)
Ta lại có: XFA đồng dạng với YAE (cùng đồng dạng với AFE)
) 2 ( 2
3
2 )
(
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi FX EY M là trung điểm của
cung nhỏ BC
12
3
3
8
1 4
EF AM AFE
S APQ
1,5
Câu 5
(2,0
điểm)
Trong 8069 điểm luôn tìm được 3 điểm là đỉnh của tam giác đó có diện
tích lớn nhất, giả sử đó là A, B, C với 1
ABC S
Dựng các đường thẳng đi qua A và song song với BC, qua B và song
song với AC, qua C và và song song với AB, chúng đôi một cắt nhau
tại M, N, P Khi đó 4 4
ABC
S MNP S
1,0
Ta sẽ chứng minh rằng 8069 điểm đã cho nằm trong hoặc trên cạnh tam
giác MNP
Thật vậy, giả sử DMNP( chẳng hạn D và B cùng thuộc nửa mặt
phẳng bờ chứa AC) thì
ABC
S DAC
S ( mâu thuận với cách chọn tam giác ABC)
Tam giác MNP được chia thành 4 tam giác nhỏ bằng nhau
ANC, AMB, ABC, BCP
0,5
Trang 6Ta có 80694.20171 Theo nguyên tắc Dirichlet tồn tại ít nhất
2018 1
2017 điểm phải nằm trong hoặc trên cạnh của một tam giác