BỘ ĐỀ LUYỆN THI ĐH MÔN TOÁN

[r]

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 LẦN 1

ĐỀ THI MÔN: TOÁN - KHỐI A, A1

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3−2(2m+1)x2 +(5m2 +10m−3)x−10m2 −4m+6 (1), ( với m là

tham số)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) với m=1

b) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số (1) có hai cực trị và các giá trị cực trị của hàm số (1) trái

dấu nhau

Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình:

(2sin 1)(cos 2 sin ) 2sin 3 6sin 1

x

Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:

4 2 2

2 2

x y

 − + − + =



∈



Câu 4 (1,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình:

( ) 2

x − +x m x − x+ + ≥ có nghiệm x∈2; 2+ 3

Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AD=2a,

,

AB= BC =a SB=2a , hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm O của AD Trên các cạnh SC, SD lấy các điểm M, N sao cho SM =2MC SN, =DN Mặt phẳng

( ) α qua MN, song song với BC cắt SA, SB lần lượt tại P, Q Tính thể tích khối chóp S.MNPQ theo a

Câu 6 (1,0 điểm) Cho các số dương , , x y z thoả mãn: x x( − +1) y y( − +1) z z( − ≤1) 6 Tìm giá trị

A

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)

A Theo chương trình Chuẩn

Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua M(3;1) và

cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác IAB cân tại I(2;-2)

Câu 8.a (1,0 điểm) Giải phương trình: 1 2 81 3 9

3 log x −20log x +40log x + =7 0

Câu 9.a (1,0 điểm) Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số mà trong các số đó, mỗi chữ số đứng

trước đều nhỏ hơn chữ số đứng sau nó (kể từ trái qua phải)

B Theo chương trình Nâng cao

Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường tròn

: ( 1) ( 1) 20

C x− + +y = Biết AC=2BD, điểm B có hoành độ dương và thuộc đường thẳng

d x− − =y Viết phương trình cạnh AB của hình thoi

Câu 8.b (1,0 điểm) Tìm giới hạn:

0

lim

x

x

I

x

→

−

Câu 9.b (1,0 điểm) Tìm hệ số của x10 trong khai triển ( x−3x2)n , (x >0, n nguyên dương) biết tổng

tất cả các hệ số trong khai triển bằng 2048−

- Hết -

Họ và tên thí sinh:……… Số báo danh:…………

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 LẦN 1

Đ ÁP ÁN MÔN: TOÁN - KHỐI A, A1

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Đáp án gồm: 07 trang

I Hướng dẫn chung

1 Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định

2 Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong toàn Hội đồng chấm thi

II Đáp án – thang điểm

đ iểm

đ iểm

đ iểm

• Với m=1, hàm số (1) có dạng y = x3−6x2+12x−8

• TXĐ: D=ℝ

• Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y'=3x2−12x+ =12 3(x−2)2 ≥ ∀0 x y, '= ⇔ =0 x 2

Hàm sốđồng biến trên ℝ

0,25

+ Cực trị: Hàm số không có cực trị

+ Giới hạn: lim , lim

+Bảng biến thiên:

x −∞ 2 +∞

y’ + 0 +

+∞

y

−∞

0,25 Câu 1 • Đồ thị: y''=6(x−2), ''y = ⇔ =0 x 2, (2)y =0 Một số điểm thuộc đồ thị: (1;-1), (3;1), (2;0), Đồ thị nhận I(2;0) là tâm đối xứng Đồ thị:

x y

0 1

-1 1 2

-1

-2

0,25

b) Tìm tất cả các giá trị của m để các giá trị cực trị của hàm số (1) trái dấu 1,0

đ iểm

Hàm số (1) có hai cực trị mà giá trị cực trị trái dấu ⇔ đồ thị hàm số (1) cắt trục

Ox tại 3 điểm phân biệt Xét phương trình hoành độ giao điểm:

(x 2)(x 4mx 5m 2m 3) 0

0,25

2

x

=



⇔

Phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt ⇔phương trình (3) có 2 nghiệm phân

biệt khác 2

2 2

2

∆ = − + − >



⇔

1 5

m m

− < <





⇔

≠



Vậy với ( ) 1

3;1 \

5

 thì các giá trị cực trị của hàm số trái dấu

0,25

Giải phương trình:

(2sin 1)( os2 sin ) 2sin 3 6sin 1

x

1,0

đ iểm

Điều kiện: cos 3 2 ,

x≠ ⇔ ≠ ± +x π k π k∈ℤ

(2sin 1)( os2 sin ) 2sin 3 6sin 4cos 2 0

0,25

(2sinx 1)(1 2sin x sin )x 2(3sinx 4sin x) 6sinx 4sin x 2 0

4sin x 4sin x 3sinx 3 0

2 (2sinx 1)(2sin x 3sinx 3) 0

0,25

Câu 2

2

sin

7 2

2 6

−





−

 = +



ℤ

0,25

Kết hợp điều kiện có 2

6

x = −π +k π

không thỏa mãn

Vậy phương trình có một họ nghiệm là 7 2 ,

6

Giải hệ phương trình:

4 2 2

2 2

x y

 − + − + =



∈



Hpt ⇔ ( 22 2)2 ( 3)2 4 2

 − + − =







0,25

Đặt

2 2 3

 − =



− =



Khi đó ta được

2 2

4

 + =



0

u v

=





=

 hoặc

0 2

u v

=





=



0,25

⇒

3

x y

=





=

 ;

2 3

x y

= −





=

 ;

2 5

x y

 =





=

 ;

2 5

x y

 = −





=

Câu 3

KL: nghiệm của hpt đã cho là: ( ) (2;3 , −2;3 ,) ( ) (2;5 , − 2;5) 0,25

Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình:

x − +x m x − x+ + ≥ có nghiệm x∈2; 2+ 3

1,0

đ iểm

x − x+ =t⇒t = x− + ≥

Vì x∈2; 2+ 3và

2

x

−

0,25

Bất phương trình trở thành

2 7

t m

t

−

≥ Bpt đã cho có nghiệm

2; 2 3

x∈ +  ⇔ Bpt

2 7

t m

t

−

Xét

2 7 ( ) t

f t

t

−

= với t∈[ ]1; 2

[ ]

2

2

7

t

+

′ = > ∀ ∈

[1;2]

min ( )f t f(1) 6

Câu 4

⇒Vậy m≥ −6 là các giá trị cần tìm

0,25

Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AD=2a,

,

AB= BC =a SB=2a , hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD)

trùng với trung điểm O của AD Trên các cạnh SC, SD lấy điểm M, N sao cho

SM = MC SN = DN Mặt phẳng ( ) α qua MN và song song với BC cắt SA,

SB lần lượt tại P, Q Tính thể tích khối chóp S.MNPQ theo a

1,0

đ iểm Câu 5

Hình vẽ: Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai không chấm điểm

Q

N

D A

O S

M

2 3

2

a

Do SO⊥ ABCD OA=OB=OC =OD =a⇒SO= =a

1

3

Do AD= BC⇒S = S ⇒S = S

,

S BCD S ABCD S ABD S ABCD

.

0,25

SA = SD = SB = SC =

• .

.

S MNQ

S MNQ S BCD S ABCD

S BCD

0,25

.

S PNQ

S PNQ S ABD S ABCD

S ABD

Suy ra

3 3

S MNPQ S MNQ S PNQ S ABCD

Cho các số dương , ,x y z thoả mãn: x x( − +1) y y( − +1) z z( − ≤1) 6 Tìm giá trị

A

1,0

đ iểm

x x− + y y− +z z− ≤ 2 2 2

x y z x y z

2

0,25

y z

y z

+ +

z x

z x

+ +

x y

x y

+ +

+ +

0,25

Câu 6

x y z

x y z

0,25

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x= = =y z 2 Vậy min 3 2

5

Cách khác: Đặt t = + + x y z t , > 0

Sử dụng BĐT

2 2

x y z t

x + y + ≥ z + + ⇒ − ≤ t ⇒ t ∈

Chứng minh 1 1 1 9

, a b c , , 0

a + + ≥ b c a b c ∀ >

+ + và áp dụng kết quả này ta được

9

A

t

≥

+ Xét

9 ( )

f t

t

= + trên (0;6], suy ra kết quả bài toán

0,25

II PHẦN RIÊNG: Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (phần A hoặc B) 3,0

đ iểm PHẦN A: Theo chương trình Chuẩn

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua M(3;1) và

cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác IAB cân tại I(2;-2) 1,0

đ iểm

Giả sử đường thẳng d cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A(a;0), B(0;b),( ,a b≠0)

Phương trình đường thẳng d có dạng: x y 1

a + =b

Do d qua M(3;1) nên 3 1 1 (1)

a + =b

0,25

Đồng thời, IAB∆ cân tại I nên

4

a b

= −



⇔ − = + ⇔ = +

0,25

• Với a= −b, thay vào (1) ta được a=2;b= −2nên phương trình đường

thẳng d là x− − =y 2 0

0,25

Câu

7.a

• Với a= +b 4, thay vào (1) ta được ( )a b; =(6; 2)hoặc ( ; )a b =(2; 2)−

Từđó, phương trình đường thằng d là x+3y− =6 0 hoặc x− − =y 2 0

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là d x: +3y− =6 0

hoặc d x: − − =y 2 0

0,25

3

đ iểm Câu

8.a Điều kiện: x∈(0;+∞)

3

2 log 60 log 20log 7 0

0,25

2log x 15log x 10 log x 7 0

3

7 log x 7 x 3

Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số mà mỗi chữ số đứng trước đều nhỏ hơn

chữ số đằng sau nó

1,0

đ iểm

Giả sử số cần tìm có dạng abcdef (a< < < < <b c d e f) 0,25

Số được chọn không có chữ số 0, vì giả sử có chữ số 0 thì số đó phải có dạng

0bcdef, b c d e f, , , , ∈ 1; 2; ;9 (không thỏa mãn)

Với mỗi cách chọn ra 6 chữ số, có duy nhất một cách tạo thành số có 6 chữ số

sao cho mỗi chữ sốđứng trước đều nhỏ hơn chữ sốđằng sau nó

0,25

Số các số có 6 chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán là số cách chọn 6 trong 9 chữ

Câu

9.a

PHẦN B: Theo chương trình Nâng cao

Câu

7.b

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường tròn

thuộc đường thẳng d : 2x− − =y 5 0 Viết phương trình cạnh AB

1,0

đ iểm

Đường tròn (C) có tâm (1; 1),I − bán

kính R=2 5

Đặt BI = x x, ( >0)

Do AC =2BD⇒AI =2BI =2x

Kẻ IH ⊥ AB⇒IH = =R 2 5

d H

B

D

0,25

• Trong AIB∆ có: 12 12 12 12 12 1 5 ( 0)

IA + IB = IH ⇔ x + x = ⇔ = >

Suy ra IB=5 Gọi ( ; 2B t t−5), (t>0)

4 ( )

( ) 5

=





=



0,25

• Với t =4⇒B(4;3) Phương trình cạnh AB có dạng:

2 2

a x− +b y− = a +b ≠

2 2

C d I AB IH R

− −

+

2

11

=





=



0,25

• Với a=2 ,b chọn a=2,b =1, phương trình AB là: 2x+ − =y 11 0

• Với 2 ,

11

a= b chọn a=2,b=11, phương trình AB là: 2 x+11y−41=0

Vậy phương trình cạnh AB là 2 x+ − =y 11 0hoặc 2x+11y−41=0

0,25

Tìm giới hạn:

0

3 1 lim

x

x

I

x

→

−

Câu

8.b

Ta có

ln 3

0

1 lim

x

x

e I

x

→

−

1 lim

x

e I

x

→

−

ln 3

0

1

.ln 3

x

x

e I

x

→

−

1.ln 3 ln 3

I

Tìm hệ số của x10 trong khai triển ( x −3x2)n , (x >0, n nguyên dương) biết

tổng các hệ số trong khai triển bằng 2048−

1,0

đ iểm

Câu

9.b

Do tổng các hệ số trong khai triển là –2048 nên ta có:

0 1 2 2

3 3 ( 1) 3n n n 2048

C − C + C − + − C = −

(1 3)n 2048 n 11

Ta có khai triển:

Hệ số của x 10 trong khai triển tương ứng với 22 3 10 8

Vậy hệ số cần tìm là ( 1) 3 − 3 3C118 = −4455 0,25

- Hết -