BỘ ĐỀ LUYỆN THI ĐH MÔN TOÁN

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.[r]

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 LẦN 1

ĐỀ THI MÔN: TOÁN - KHỐI B

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 3 ( )

y= − x + x C

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số

2 Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 3x−4x3−3m+4m3 =0 có 3 nghiệm thực phân biệt

Câu II (2,0 điểm)

1 Giải phương trình: sin sin 4 2 2 cos 4 3 cos2 sin cos 2

6

2 Giải hệ phương trình:

2

x x y xy y

x y x y





− + + =



Câu III (1,0 điểm) Tính giới hạn:

3

0

cos lim

x

x

x

→

−

Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , SA⊥(ABC); 2

SA= a Gọi M N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC Tính thể tích khối chóp ,

A BCNM theo a

Câu V (1,0 điểm) Cho ba số , ,x y z thuộc đoạn [ ]0; 2 và x+ + =y z 3 Tìm giá trị lớn nhất của

A=x +y + − − −z xy yz zx

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C(4; 1− ), đường cao và đường trung tuyến hạ

từ một đỉnh lần lượt có phương trình d1: 2x−3y+ =12 0;d2: 2x+3y=0 Viết phương trình các cạnh của

tam giác ABC

2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x+4y+ =5 0; d2: 4x−3y− =5 0 Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng ∆ −:x 6y− =10 0 và tiếp xúc với d d1, 2

Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm hệ số của 4

x trong khai triển biểu thức 2 3 n

x x

−

  , biết n là số tự nhiên thỏa

mãn hệ thức 6 2

n

C −− +nA =

B Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b (2,0 điểm)

1 Cho ABC∆ biết A(2; 1− ) và hai đường phân giác trong của góc B C lần lượt có phương trình là ,

d x− y+ = d x+ + =y Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC

2 Cho hai điểm M( ) (1; 2 , N 3; 4− ) và đường thẳng d có phương trình x+y– 3=0 Viết phương

trình đường tròn đi qua M, N và tiếp xúc với đường thẳng d

Câu VII.b (1,0 điểm) Cho tập hợp X ={0, 1, 2, 4, 5, 7, 8} Ký hiệu G là tập hợp tất cả các số có 4 chữ

số đôi một khác nhau lấy từ tập X, chia hết cho 5 Tính số phần tử của G Lấy ngẫu nhiên một số trong tập

G, tính xác suất để lấy được một số không lớn hơn 4000

-Hết -

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh………

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 LẦN 1

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN; KHỐI B

———————————

I LƯU Ý CHUNG:

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn

- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó

II ĐÁP ÁN:

I 1 1,0 điểm

TXĐ: D=ℝ

Giới hạn: lim ; lim ;

→−∞ = +∞ →+∞ = −∞

y = − x + ; ' 0 1

2

y = ⇔ = ±x

0.25

BBT:

0.25

Hàm số đồng biến trên 1 1;

2 2

−

 , nghịch biến trên các khoảng

1

; 2

−∞ −

  và

1

; 2

+∞

Hàm số đạt cực đại tại 1

2

x= , y CD =1, Hàm số đạt cực tiểu tại 1

2

x= − , y CT = −1

0.25

Đồ thị:

’’ 24 , ’’ 0 0

y = − x y = ⇔ =x Đồ thị hàm số có

điểm uốn O(0; 0)

Đồ thị hàm số nhận điểm O(0;0) làm tâm đối

xứng

0.25

2 1,0 điểm

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng

3

y= − m + m

Từ đồ thị suy ra phương trình có 3 nghiệm phân biệt ⇔ − <1 3m−4m3<1

0.5

y’

y

1 2

2

− +∞

−∞

1

−

1

( )( )

2 3

2

1 2

m

m

m



− < <



 − − <

− + >



≠



0.5

II 1 1,0 điểm

Ta có:

sin sin 4 2 2 cos 3 cos sin 4

6

sin 4 sin 3 cos 2 2 cos

6

0.25

x π x π x π x x π x

6

x x

π

− =





2

Vậy phương trình có nghiệm 2 ( )

; 3

x= π +kπ k∈

Z

0.5

2 1,0 điểm

0

x y

x y

− ≥



 + ≥



( ) (2 )



⇔

4

2

x y

x y

x y x y

 =

 =

⇔



0.25

Với x=y, thay vào phương trình ( )∗ ta được: x= =y 2 0.25

Với x=4y, thay vào phương trình ( )∗ ta được: 32 8 15

8 2 15

x y





= −

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm:( )2; 2 và(32 8 15;8 2 15− − ) 0.25

III 1,0 điểm

3

2 3

2 0

sin

4

x

x

x

x x

→

IV 1,0 điểm

Xét SAB∆ và SAC∆ có AB=AC ; SA chung  A=900

SAB SAC SB SC SBC

Áp dụng định lý đường cao trong các tam giác SAB∆ và SAC∆ ta có:

0.25

Áp dụng định lý Pytago: 2 2 4

5

a

SM = SA −AM = ; 2 2 4

5

a

.

S AMN

S ABC

V

SM SN

3

S AMN S ABC

a

ABCNM S ABC S AMN

V 1,0 điểm

2

x+ +y z =x +y + +z xy+yz+zx 9 2 2 2

x y z

xy yz zx + +

Vậy nên 3( 2 2 2) 9

A= x +y +z −

0.25

Không mất tính tổng quát, giả sử: x≥ ≥y z⇒3= + + ≤x y z 3x⇒x≥1⇒x∈[ ]1; 2

y + ≤z y+z = −x ⇒x +y + ≤ −z x +x = x − x+ 0.25

2

f x = x − x+ x∈ ⇒ f x = x− f x = ⇔ =x

(1) 5; (2) 5;

 

0.25

Suy ra 2 2 2

5

x +y + ≤z , đẳng thức xảy ra khi

1

2 2

1 0

0 3

x

x x

y yz

z

x y z

x y z

 =

=

 + + =  =



 ≥ ≥



Vậy A max=3 khi x=2, y=1, z=0 hoặc các hoán vị của chúng

0.25

VI.a 1 1,0 điểm

Vì C không thuộc d d nên giả sử A thuộc 1; 2 d d 1; 2

N

M

C

B A

S

Phương trình cạnh AC: Điểm A= ∩d1 d2 ⇒ tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:

( )

3; 2

x y

A

x y

− + =





+ =

x y

+ = − ⇔ + − = + − −

0.25

Phương trình cạnh AB: Gọi M là trung điểm BC khi đó M =d2∩BC, suy ra tọa độ điểm

M là nghiệm của hệ: 3 2 10 0 (6; 4)

x y

M

x y



 + =

⇔



0.25

Phương trình cạnh AB: 8 7 9 11 5 0

x y

Vậy phương trình 3 cạnh của ABC∆ là:

: 9 11 5 0; : 3 2 10 0; : 3 7 5 0

AB x+ y+ = BC x+ y− = CA x+ y− =

0.25

2 1,0 điểm

Xét I a b là tâm và R là bán kính đường tròn (C) Do ( ); I∈∆ ⇔ =a 6b+10 1( )

Đường tròn (C) tiếp xúc với

( ) ( )

1 2

2 5

;

3 5

a b

R

d d

a b

R

=



⇔

− −



0.25

Từ (1); (2); (3) suy ra 3 6( b+10)+4b+ =5 4 6( b+10)− −3b 5

0

70

43

b

=







0.25

Từ (1) suy ra

10 10 43

a a

=





 =



và

7 7 43

R R

=





 =



0.25

Vậy có hai đường tròn thỏa mãn:

( ) ( )2 2

C x− +y = ; ( )2 2 2

:

C x  y 

0.25

VII.a 1,0 điểm

Từ hệ thức đã cho suy ra n≥6

( )

4

n

−

−

−

3 2

Với n=8, 3 8 8 ( ) ( )1 3 8 8 ( )8 24 4

2

x

Hệ số của x4 tương ứng với 24 4− k= ⇔ =4 k 5

Vậy hệ số của x4 là 5 5( )8 5

VI.b 1,0 điểm

Lấy A A theo thứ tự là điểm đối xứng của A 1; 2

qua d B;d C⇒ A A1; 2∈BC

Vậy phương trình đường thẳng A A cũng 1 2

chính là phương trình cạnh BC

0.25

Xác định A : 1

Gọi d là đường thẳng đi qua A và 1 d1⊥d B⇒d1: 2x+ − =y 3 0

Gọi E= ∩d1 d B⇒E( )1;1 Vì E là trung điểm của A A 1 ⇒ A1( )0;3

0.25

Xác định A : Gọi 2 d là đường thẳng đi qua A và 2 d2 ⊥d C ⇒d2:x− − =y 3 0

Gọi F =d2∩d C⇒F(0; 3− ) Vì F là trung điểm của A A2 ⇒ A2(− −2; 5) 0.25

2 1,0 điểm

Gọi E là trung điểm MN ta có E(2;-1) Gọi ∆ là đường trung trực của MN

Suy ra ∆ có phương trình x− −2 3(y+ = ⇔ −1) 0 x 3y− =5 0

Gọi I là tâm đường tròn đi qua M, N thì I nằm trên ∆

0.25

Giả sử I(3t+5;t)

Ta có ( ) ( ) (2 ) (2 4 2)2

2

t

2

2t +12t+ = ⇔ = −18 0 t 3 Từ đó suy ra I(− −4; 3), bán kính R = IM= 5 2 0.25 Phương trình đường tròn ( ) (2 )2

VII.b 1,0 điểm

Gọi abcd là số có 4 chữ số khác nhau đôi một lấy từ các chữ số trên và chia hết cho 5

Nếu d = 5 thì a có 5 cách chọn

b có 5 cách chọn và c có 4 cách chọn suy ra có 100 số

Vậy G có tất cả 220 số

0.25

Giả sử abcd∈Gvà abcd≤4000

Khi đó a = 1, 2, 3 nên a có 3 cách chọn

d có 2 cách chọn

bc có A52=20 cách chọn

Vậy nên có 120 số lấy từ G nhỏ hơn 4000

0.25

Xác suất là P = 120 6

-Hết -

B

A