[r]
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 LẦN 1
ĐỀ THI MÔN: TOÁN - KHỐI D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I ( 2,0 điểm) Cho hàm số y= − +x4 2mx2− 4 có đồ thị ( )C m (mlà tham số thực)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m =2
2 Tìm tất cả các giá trị của m để các điểm cực trị của đồ thị ( )C m nằm trên các trục tọa độ
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: sin tan 2x x+ 3 sin( x− 3 tan 2x)= 3 3
2 Giải bất phương trình: 1
3
3 <
−
+ +
x
x
Câu III (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt bên
kề nhau có độ dài bằng a Tính theo a thể tích khối lập phương ABCD.A'B'C'D' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC' và B'D'
Câu V (1,0 điểm) Cho ba số thực dương , ,x y z thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
= + + + + +
II.PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A.Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình
0
x− =y và điểm M(2;1) Lập phương trình đường thẳng ( )∆ cắt trục hoành tại A, cắt đường thẳng (d) tại B sao cho tam giác AMB vuông cân tại M
Câu VII.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C 1) có phương trình
2 2
25
x +y = , điểm M(1; -2) Đường tròn (C 2 ) có bán kính bằng 2 10 Tìm tọa độ tâm của (C 2 ) sao cho (C 2) cắt (C1) theo một dây cung qua M có độ dài nhỏ nhất
Câu VIII.a (1,0 điểm) Giải bất phương trình: 12 3 3 2 1 22 81.
2
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm P(-7;8) và hai đường
thẳng( )d1 : 2x+ 5y+ = 3 0, ( )d2 : 5x−2y− =7 0 cắt nhau tại A Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua P và tạo với ( ), (d1 d2) một tam giác cân tại A và có diện tích bằng 29
2 .
Câu VII.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình
2 0
x+ + =y và đường tròn (C 1) có phương trình: x2+ y2− 4x+ 2y+ = 4 0 Đường tròn (C 2) có tâm
thuộc (d), (C 2) tiếp xúc ngoài với (C 1) và có bán kính gấp đôi bán kính của (C 1). Viết phương trình của
đường tròn (C 2 )
Câu VIII.b (1,0 điểm) Cho hàm số
2
3 1
y
x
+ +
=
+ .Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại,
cực tiểu đồng thời hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị nằm về hai phía của đường thẳng (d): 2x+y-1=0
- Hết -
Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên Thí sinh: ………; Số báo danh: ………
www.MATHVN.com
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM 2012-2013 LẦN 1
MÔN TOÁN -KHỐI D ( Đáp án có 06 trang: từ trang 1 đến trang 6 )
Với m = 2, hàm số trở thành: y= − +x4 4x2−4
* Sự biến thiên của hàm số:
Giới hạn vô cực và các đường tiệm cận: lim ; lim
→+∞ = −∞ →−∞ = −∞ 0,25
- Bảng biến thiên:
+ Ta có: =
= − + = ⇔
= ±
2
x
x
+ Bảng biến thiên:
x - ∞ − 2 0 2 + ∞
y’ + 0 - 0 + 0 -
y
0
-∞
0 -4 -∞
- Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞ ; - 2) và ( )0; 2
- Hàm số nghịch biến trên khoảng (− 2; 0) và ( 2; +∞)
- Điểm cực đại của đồ thị là (− 2; 0),( )2; 0 điểm cực tiểu của đồ thị B(0;-4)
* Đồ thị:
+ Đồ thị cắt trục tung tại (0; 4− ) và cắt trục hoành tại điểm (− 2; 0) và ( )2; 0
+ Nhận xét: Đồ thị (C) nhận trục tung làm trục đối xứng
2
-2
-4
-6
-8
f x ( ) = -x ( 4+4⋅ x 2 ) -4
0,25
0,25
2 Tìm m để tất cả các cực trị của hàm số ( )C m nằm trên các trục tọa độ 1,00
I
2
0
=
=
Nếu m≤ 0thì ( )C m chỉ có một điểm cực trị và đó là điểm cực đại nằm trên trục
tung
Nếu m> 0 thì ( )C m có 3 điểm cực trị Một cực tiểu nằm trên trục tung và hai
điểm cực đại có tọa độ 2
( − m m; − 4), 2
( m m; − 4)
Để hai điểm này nằm trên trục hoành thì
2
m − = ⇔ = ±m Vì m> 0 nên chọn m = 2
Vậy m∈ −∞ ∪( ; 0] { }2 là những giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán
0,25
0,25 0,25
0,25
www.MATHVN.com
Trang 31 Giải phương trình lượng giác 1,00
- Đk cos 2x 0 x m , m Z
Ta có: sin tan 2x x+ 3(sinx− 3 tan 2 )x = 3 3
⇔(sin tan 2x x+ 3 sin ) (3 tan 2x − x+3 3)=0
k
⇔ = − ⇔ = + ⇔ = + ∈ (thỏa mãn)
Vậy pt có một họ nghiệm : ,
= − +π π ∈
0,25
0,25 0,25 0,25
II
+ Đk: x≥0; x≠3
Bất phương trình 3 x
x 1
3 x
+
−
2 2
2x 0
3 x
x 0
−
>
−
≥
2
x (3; )
x 10x 9 0
∈ +∞
x (3; )
x (3;9)
x (1;9)
∈ +∞
∈
(Thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của bpt là : (3;9)
0,25
0,25
0,25 0,25
III
+ Điều kiện: 2 2
x + y≥ y + x≥
u= x + y v= y + x u v≥
+ Ta được: 22 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2
2
3
5
= −
=
v
+ Khi đó
2
2 2 2
2
4 3
4
3
= −
+ =
+ =
x y
x
0,25
0,25
0,25
www.MATHVN.com
Trang 4
2
4 2
4 3
= −
⇔
x y
2 2
2
1 4
4
1 3
3
x x
y x
y y
=
⇔ ⇔ = ⇔ = −
Kết hợp với điều kiện ban đầu ta thu được tập hợp nghiệm của hệ phương trình
là: S ={(1;1), ( 5; 7)− − }
0,25
IV B C
A D
M K
N
B' C'
I
A' D'
+ Gọi M,N lần lượt là 2 tâm của 2 hình vuông ABB'A'; ADD'A'
MN 1B 'D ' B'D ' 2a A 'B ' a 2
2
V ABCDA'B'C'D' = AA'.S A'B'C'D' ( )2 3
2 2 2
' ' ' '
' ' '
D B IK D
B C AA D
B C A
D B AA
⊥
⇒
⊥
⇒
⊥
⊥
Vậy: d ( AC ' , B ' D ' ) = IK
IK C'
∆ đồng dạng với∆C 'AA '
IK C 'I IK AA '.C 'I a 2.a a
AA ' C 'A C 'A a 2 3 3
Kết luận: Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC’ và B’D’ bằng
3
a
0,25
0,25
0,25
0,25
V
Ta có:
xyz
z y x z
y x P
2 2 2 3
3 3
2 3
+ + +
, ,
0,25
www.MATHVN.com
Trang 5
+ +
+ +
+
≥
⇒
+ + +
+ +
≥
⇒
z
z y
y x
x P xyz
zx yz xy z
y x
3
2 3
2 3
2 3
3 3
3 3
3 3
t
t t
3 ) (
3
+
= với t >0;
4 2
) ( '
t
t t t t
; f'(t)=0⇔t =4 2 + BBT
( )
/
( )
f t
4
8
3 2
Vậy P ≥ 44 8 Đẳng thức xảy ra khi x = y = z =4 2 Hay Pmin = 44 8
0,25
0,25
0,25
Chương trình chuẩn
a Viết phương trình đường thẳng… 1,00
VI
A∈ Ox ⇒ A a( ; 0),B∈d⇒B b b( ; ), M(2;1)⇒MA = − −(a 2; 1),MB = −(b 2;b−1)
Tam giác ABM vuông cân tại M nên:
( 2)( 2) ( 1) 0
MA MB
− − − − =
⇔
Nhận xét b=2 không thỏa mãn hệ phương trình này
1 2
1
2
1
2
−
− =
−
⇔
−
−
− + = − + − + = − + −
−
b a
b
b
b
b
2
2 1
2
1 2
=
−
=
a b
a
b b
a
Với 2
1
a b
=
=
đường thẳng ∆qua A,B có phương trình x+ − =y 2 0 Với 4
3
a b
=
=
đường thẳng ∆qua A,B có phương trình 3x+ − =y 12 0 Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn: x+ − =y 2 0 và 3x+ − =y 12 0
0,25
0,25
0,25 0,25
VII
(C1) A (C2)
O M I
B
www.MATHVN.com
Trang 6+(C1) có tâm O(0;0), bán kính R=5
2 2
2
25 2 2
= +
=
−
−
25
0 5 2
2 2
y x
y x
t = −1⇒I( 1, 2)− ; t=3⇒I( 3 ,−6 )
Vậy tâm của (C2) có tọa độ (-1 ; 2) hoặc (3, -6)
0,25
0,25
0,25
0,25
VIII + Đk : x∈N;x≥3
)!
2 2 (
)!
2 ( 2
1 )!
2 (
! 3 )!
3 ( 3
!
−
≥
−
−
−
⇔
x
x x
x x
x x
bpt
5 3
17 0
85 2
3
81 ) 1 2 ( ) 1 ( 3 ) 1 )(
2 ( 2
⇔
−
−
≥
−
−
−
−
⇔
x x
x
x x x x x
x
0,25
0,25 0,25 0,25
Chương trình nâng cao
VI
d1
d d2
B
A
P
Ta có A= ∩d1 d2⇒tọa độ của A là nghiệm của hệ
2 5 3 0 1 (1; 1)
A
+ + = =
− − = = −
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi d d1, 2là
( )∆ 1 : 7x+ 3y− = 4 0,( )∆ 2 : 3x− 7y− = 10 0
Vì d tạo với d d1, 2 một tam giác cân tại A nên
⇒
⊥ ∆ + + =
d x y C Mặt khác P( 7;8) ( )− ∈ d nên C1=77,C2=25
0,25
0,25
www.MATHVN.com
Trang 7Suy ra: :3 7 77 0
d x y
d x y
− + =
+ + =
Gọi B= ∩d1 d C, =d2∩d Thấy (d )1 ⊥(d )2 ⇒ tam giác ABC vuông cân tại A
ABC
Suy ra:
29 2
2 58
ABC S AH
BC
∆
Với d: 3x− 7y+ 77 = 0, ta có
( ; )
2 58
3 ( 7)
Với d: 7x+ 3y+ 25 = 0ta có
2 2
( ; )
2 58
Vậy d: 7x+ 3y+ 25 = 0
0,25
0,25
VII
(C1) có tâm I(2 ;-1); bán kính R1 = 1.Vậy (C2) có bán kính R2 = 2
Gọi J là tâm của (C2) Do J∈d ⇒J(t;−t −2)
−
=
=
⇔
=
−
−
⇔
=
−
− +
−
⇔
1
2 0
2 9
1 )
2
t
t t
t t
t
+t =−1⇒J(−1;−1)⇒(C2):(x+1)2 +(y +1)2 =4
Vậy có 2 đường tròn (C2) thỏa mãn là: (x+1)2 +(y+1)2 =4
và (x−2)2 +(y+4)2 =4
0,25 0,25 0,25
0,25
VIII
Ta có
2
2
'
1
y
x
+ + −
=
+
Hàm số có CĐ, CT khi pt y'=0 có 2 nghiệm phân biệt khác -1
2
⇔ + + − = có hai nghiệm phân biệt khác – 1
4
4 0
m
m m
∆ = − >
⇔ ⇔ <
− ≠
Giả sử đồ thị có điểm CĐ,CT là A x y( 1 ; 1) (,B x y2 ; 2) Khi đó pt đường thẳng đi
qua 2 điểm CĐ,CT là y = 2x+m Suy ra y1= 2x1+m y; 2 = 2x2 +m
Hai điểm A, B nằm về hai phía của đường thẳng (d) khi
2
+ − + − < ⇔ + − + − <
⇔ + − + + − <
Theo định lý Vi-et 1 2
1 2
2 3
+ = −
= −
Thay vào bpt trên, ta được:
2
+ − < ⇔ − − < < − +
Vậy − − 3 4 3 < < − +m 3 4 3
0,25
0,25
0,25
0,25
www.MATHVN.com
Trang 8www.MATHVN.com