Chương II: Cơ sở Logic Toán Phần thứ nhất: Lí thuyết
VI. Suy luận và chứng minh
a. Suy luận diễn dịch: Suy luận diễn dịch (hay còn gọi là suy diễn) là suy luận theo những quy tắc suy luật tổng quát (của lôgíc mệnh đề). Trong suy luận diễn dịch, nếu các tiền đề đúng thì kết luận rút ra cũng phải đúng.
29
là suy luận không theo một quy tắc suy luận tổng quát nào. Nó chỉ xuất phát từ những tiền đề đúng để rút ra một kết luận. Kết luận này có thể đúng mà cũng có thể sai.
Trong toán học, hai kiểu suy luận nghe có lí thường sử dụng là : - Phép quy nạp không hoàn toàn.
- Phép tương tự.
Ví dụ: Từ các tiền đề:
- Tiền đề 1: 4 + 3 = 3 + 4 - Tiền đề 2: 15 + 48 = 48 + 15 - Tiền đề 3: 243 + 358 = 358 + 243
Ta rút ra kết luận: Tổng của hai số tự nhiên không thay đổi khi ta thay đổi thứ tự của các số hạng trong tổng đó. Đây là phép quy nạp không hoàn toàn.
Trong phép suy luận này, các tiền đề đúng và kết luận rút ra cũng đúng.
Ví dụ : Từ các tiền đề:
- Tiền đề 1: 42 chia hết cho 3 - Tiền đề 2: 72 chia hết cho 3 - Tiền đề 3: 132 chia hết cho 3
Ta rút ra kết luận: Những số có chữ số hàng đơn vị bằng 2 thì nó chia hết cho 3. Đây là phép quy nạp không hoàn toàn. Trong phép suy luận này, xuất phát từ những tiền đề đúng mà kết luận rút ra lại sai.
2. Chứng minh: Trong suy luận diễn dịch, từ các tiền đề A, B ta rút ra kết luận C bằng cách vận dụng các quy tắc suy luận tổng quát. Ta gọi phép suy luận dạng này là suy luận hợp lôgíc, ở đây chúng ta chỉ quan tâm đến hình thức hay cấu trúc của suy luận mà không quan tâm đến nội dung, ý nghĩa của các mệnh đề trong suy luận đó.
Một phép chứng minh gồm ba phần:
Phần 1: Luận đề là mệnh đề ta phải chứng minh.
Phần 2: Luận cứ là những mệnh đề mà tính đúng đắn của nó đã được khẳng định (thường là các định nghĩa, tiền đề hoặc định lí đã được chứng minh trước đó...) dùng làm tiền đề trong mỗi bước suy luận.
Phần 3: Luận chứng là những quy tắc suy luận tổng quát được sử dụng trong mỗi bước suy luận của chứng minh đó.
Như vậy chứng minh từ tiền đề A dẫn đến kết luận B là:
- Thiết lập một dãy các bước suy luận diễn dịch.
30
- Trong mỗi bước ta chỉ rõ tiền đề, kết luận và quy tắc suy luận tổng quát được áp dụng. Chẳng hạn, từ hai tiền đề:
+ Với mọi a, b R, nếu a2 = b2 thì a = b + 52 = (-5)2
Rút ra kết luận 5 = -5. Hoặc, từ hai tiền đề:
+ Nếu tổng các chữ số của một số chia hết cho 3 thì nó chia hết cho 3.
+ 125 có tổng các chữ số chia hết cho 3.
Rút ra kết luận 125 chia hết cho 3.
Trong cả hai suy luận này, rõ ràng kết luận rút ra đều sai (vì tiền đề 1 của suy luận thứ nhất và tiền đề 2 của suy luận thứ hai đều sai). Vậy chúng là suy luận hợp lôgíc nhưng không phải là một chứng minh.
3. Các phương pháp chứng minh toán học thường gặp
a. Phương pháp chứng minh trực tiếp: Cơ sở của phương pháp chứng minh trực tiếp là quy tắc suy luận bắc cầu.
Khi chứng minh từ tiền đề A đến kết luận B bằng phương pháp chứng minh trực tiếp, ta tiến hành theo sơ đồ sau:
A A1 A1 A2
………..
An-1 An An B
Áp dụng quy tắc suy luận bắc cầu ta nhận được điều phải chứng minh.
Ví dụ: Chứng minh rằng Nếu a > b và c > o thì ac > bc Thật vậy: từ a > b a - b > 0, c > 0 ( a – b). c > 0
Trong phép chứng minh này (và nhiều phép chứng minh trực tiếp khác) ta thường sử dụng quy tắc suy luận kết luận và suy luận bắc cầu. Vì vậy hai phép suy luận này có vai trò đặc biệt quan trọng trong chứng minh trực tiếp.
b. Phương pháp chứng minh phản chứng
Ví dụ : Chứng minh rằng phương trình bậc nhất ax + b = 0 (1) có không quá một nghiệm.
Giải: Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2. Theo định nghĩa ta có ax1 + b = 0 và ax2 + b = 0
- Áp dụng tính chất bắc cầu ta có ax1 + b = ax2 + b
- Áp dụng luật giản ước đối với phép cộng ta có ax1 = ax2, (a ≠ 0)
31
- Áp dụng luật giản ước đối với phép nhân ta có x1 = x2 Như vậy x1
khác lại vừa bằng x2. Điều này trái với luật mâu thuẫn. Vậy ta có ĐPCM.
c. Phương pháp chứng minh quy nạp
+ Phương pháp chứng minh quy nạp không hoàn toàn: Là phương pháp đi từ những tiền đề đúng mà kết luận có thể đúng hoặc sai
+ Phương pháp chứng minh quy nạp toán học: Để chứng minh tính chất T(n) đúng với mọi số tự nhiên n (hoặc với mọi số tự nhiên n n0), tức là phải
chứng minh mệnh đề tổng quát n N, T(n) (hoặc n n0, T(n) đúng) 4. Suy luận và chứng minh trong giải toán ở Tiểu học
a. Trong dạy học mạch số học
+ Suy luận quy nạp: Tính chất giao hoán của phép cộng: khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng đó không thay đổi
+ Suy diễn: Phép suy diễn được sử dụng trong các tiết luyện tập + Phép tương tự
b. Trong dạy học mạch yếu tố hình học
+ Suy luận quy nạp: Suy luận quy nạp được sử dụng rộng rãi trong quá trình dạy học xây dựng công thức tính chu vi, diện tích và thể tích
+ Suy diễn: Được sử dụng rộng rãi trong quá trình giải các bt về hình học D. Câu hỏi, hướng dẫn học tập, thảo luận
1. Cả mệnh đề mở và mệnh đề xác định gọi là biến mệnh đề
2. Trong logic không có khái niệm bằng nhau mà chỉ chỉ có hai mệnh đề tương đương lôgic
3. Chứng minh rằng ta có quy tắc suy luận:
p q p q,
4. Hướng dẫn cho SV tính tổng n số nguyên lẻ đầu tiên. Với n = 1; 2; 3; 4; 5 ta có :
n = 1: 1 = 1 = 12 n = 2: 1 + 3 = 4 = 22 n = 3: 1 + 3 + 5 = 9 = 32 n = 4: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42 n = 5: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52
5. Mảnh vườn nhà bạn Vi có một phần diện tích trồng 3 loại hoa: hoa hồng, hoa lan, hoa cúc được phân chia như sau:
- 60% diện tích trồng hoa hồng.
32 - 30% diện tích trồng hoa lan.
- 20% diện tích trồng hoa cúc.
- 15% diện tích trồng hoa hồng và hoa lan.
- 5% diện tích trồng hoa lan và hoa cúc.
- 2% diện tích trồng hoa hồng và hoa cúc.
- 1% diện tích trồng cả 3 loại hoa trên.
Hãy tính xem có bao nhiêu phần trăm diện tích trên mảnh vườn nhà Vi không trồng hoa?
Hướng dẫn: Gọi diện tích trồng hoa hồng là H, diện tích trồng hoa lan là L, diện tích trông hoa cúc là C rồi sau đó bằng phép suy luận quen thuộc rằng diện tích trồng hoa hồng và hoa lan là (HL),…sẽ nhanh chóng tìm ra đáp số của bài toán là 11%.
6. Nhà bạn An nuôi 3 con trâu: trâu đen, trâu trắng và trâu khoang. Để chuẩn bị cho vụ mùa, 3 con trâu được phân đi cày ruộng từ thứ 2 đến thứ 7 theo nguyên tắc mỗi ngày không quá 2 con trâu đi cày, riêng ngày thứ 7 chỉ lấy 1 con trâu đi cày. Nhà An quy định như sau:
- Nếu không lấy trâu đen đi cày thì lấy trâu trắng đi cày.
- Trâu đen và trâu khoang không đồng thời cùng đi cày hoặc không đồng thời không đi cày.
Hướng dẫn: Kí hiệu đ là mệnh đề “trâu đen đi cày”, t là mệnh đề “trâu trắng đi cày”, k là mệnh đề “trâu khoang đi cày”. Bởi vì trong tuần ngày nào cũng phải có trâu đi cày cho nên ít nhất 1 trong 3 con trâu phải tham gia công việc này. Vì vậy, mệnh đề đ t k luôn luôn đúng.
Cứ tiếp tục lập luận như vậy, cuối cùng sẽ tìm ra con trâu đi cày ngày thứ 7.
7. Tìm hiểu phương pháp chứng minh trực tiếp:
- Nêu cơ sở của phương pháp chứng minh trực tiếp.
- Phân tích sơ đồ của phương pháp chứng minh trực tiếp.
- Xây dựng ví dụ về phương pháp chứng minh trực tiếp trong: số học, hình học và đại số.
8. Tìm hiểu phương pháp chứng minh quy nạp hoàn toàn.
- Nêu cơ sở của phép chứng minh quy nạp hoàn toàn.
- Trình bày phương pháp chứng minh một luận đề bằng phép chứng minh quy nạp hoàn toàn.