cac bai toan tim cuc tri hay gap

Xuất phát từ yêu cầu của Bộ GD- ĐT, từ thực tiễn dạy học môn toán ở trường THCS Hiệu trưởng trường THCS Đức Hòa, và nhóm toán trường chúng tôi đã bàn bạc, thảo luận biên soạn chủ đề: “ T[r]

+ Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

C NỘI DUNG: CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI

Bài toán 1: Tìm GTNN của các biểu thức:

x 

.b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3)

 Max B = 7 khi x = 1,

1 2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 2)(3 – x)  0 hay 2  x 3

Vậy Min M = 3 + 1 = 4 khi 2  x 3

2 2

1 ( )

Ngoài ra: x + y = 1  x2 + y2 + 2xy = 1  2(x2 + y2) – (x – y)2 = 1



GTNN của x2 + y2 =

3 5 2

Theo giả thiết ta có: 1 – a  0; 1 – b  0; 1 – c  0;

x y 

Bài toán 8: Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2  27.

Giả sử x, y là các số dương thỏa mãn đẳng thức: x + y = 10 Tìm giá trị của x và

y để biểu thức: P = (x4 + 1)(y4 + 1) đạt GTNN Tìm GTNN ấy

Cho x + y = 2 Tìm GTNN của biểu thức: A = x2 + y2.

Bài toán 1:

Tìm GTLN và GTNN của: 2

4 3 1

x y x

  Dấu “=” xảy ra khi x = -2

Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2

Vậy GTLN của y = 4 khi x =

Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2

Vậy GTLN của y = 4 khi x =

1

2

Bài toán 2: Tìm GTLN và GTNN của:

2 2

1 1

x x A

 Trường hợp 1: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0

 Trường hợp 2: Nếu a  1 thì để (2) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là   0, tức là:

Với

1 3

a 

thì x = 1Với a = 3 thì x = -1

Kết luận: gộp cả 2 trường hợp 1 và 2, ta có:

GTNN của

1 3

A 

khi và chỉ khi x = 1GTLN của A = 3 khi và chỉ khi x = -1

m n

m n

x y xy

  





 

 Thỏa điều kiện xy = 1

Bài toán 5: Tìm GTLN của hàm số: 2

1 1

y 

Dấu “=” xảy ra

1 2

x

 

.Vậy: GTLN của

4 3

y 

tại

1 2

x

Bài toán 6: Cho t > 0 Tìm GTNN của biểu thức:

1 ( )

t 

Bài toán 7: Tìm GTNN của biểu thức:

2 2

1 ( )

1

t

g t t

t  đạt GTLN Nghĩa là t2 + 1 đạt GTNN

Ta có: t2 + 1  1  min (t2 + 1) = 1 tại t = 0  min g(t) = 1 – 2 = -1

Vậy GTNN của g(x) là -1 tại t = 0

Bài toán 8: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: xyz = 1 Tìm GTNN

 2(a – 1)x + (a – 3)y = -2a (1)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số (2x; y) và (a – 1; a – 3)

Ta có: 4a2 = [2x(a-1)+y(a-3)]2 ≤ (4x2+y2).[(a-1)2+(a-3)2]

=> 4a2 (a1)2(a 3)2 (vì 4x2+y2 = 1)

Giả sử x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện: x + y = 1.

Hãy tìm gái trị nhỏ nhất cảu biểu thức:

M =

2 2

(1)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

1 2

1 2

M 

khi và chỉ khi

1 2

x y

* Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO CÓ CHỨA CĂN THỨC.

Bài toán 1: Tìm GTLN của hàm số: y x 2 4 x

Ta có:

Dấu “=” xảy ra  x 2 4 x  x 2 4  x x3 (Thỏa mãn (*))

Vậy GTLN của y là 2 tại x = 3

Dấu “=” xảy ra  x 2 4   x x 3 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy GTLN của hàm số y là 2 tại x = 3

Bài toán 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y3 x 1 4 5  x(1 x 5)

=> x =

61

25 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy GTLN của y là10 khi x =

61 25

Vậy GTNN của B = 5 <=> a =

3 5

2



 

và dấu “=” xảy ra <=> x -1 = 0 <=> x = 1 (thỏa mãn điều kiện)Vậy GTNN của A = 3 2 1 1

2  x

Bài toán 6:

Tìm GTNN của biểu thức: A = 2

5 3 1

x x



hay x =

2 2



Bài toán 8:

Tìm GTLN của biểu thức: y = x1996 1998 x

Giải:

Biểu thức có nghĩa khi 1996  x 1998

Vì y  0với mọi x thỏa mãn điều kiện 1996  x 1998

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

2 x1996 1998   x (x1996) (1998  x) 2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x – 1996 = 1998 – x

=> M = x – 2 + 4 – x = 2 (không phụ thuộc vào x)

Trong trường hợp này thì: 2 a1 4

<=> 4 a 1 16 

<=> 5 a 17

Cả ba trường hợp cho ta kết luận:

GTNN của M = 2 tương ứng với: 5  a 17

nhưng giá trị không thỏa mãn x  1 , không thỏa mãn x  3 Do đó không thể kếtluận được GTNN của A bằng – 7

x x 

với m =

3 4

<=> 3A = 8 + (x + y)2  8

=> A

8 3

Bài toán 8: Tìm GTNN của biểu thức:

B = (x – a )2 + (x – b)2 + (x – c)2 với a, b, c cho trước

Gợi ý:

Biểu diễn B =    

2 2

Biểu diễn P = (x – 6 – y)2 + 5(y – 1)2 + 4

Vậy Min P = 4 khi y = 1 ; x = 7

Bài toán 10: Tìm GTLN của biểu thức:

E = – x2 + 2xy – 4y2 + 2x + 10y – 3

Gợi ý:

Biểu diễn E = 10 – (x – y – 1)2 – 3 (y – 2)2

=> GTLN của E = 10  y = 2 ; x = 3

Bài toán 11: Tìm GTLN của biểu thức: P = 2x4y 5z

Biết x, y, z là các biến thỏa mãn : x2 + y2 + z2 = 169

5 52 5

¿y=❑

❑

¿z=13√5

5 {} { | } {}

Bài toán 12:

Tìm GTNN của biểu thức sau:

1 1

2

1

x x

2 2000

;( 0)

x x

2 1

Bài 23:

Cho phương trình: x4 + 2x2 +2ax – (a – 1)2 = 0 (1)

Tìm giá trị của a để nghiệm của phương trình đó:

Giải điều kiện này được m4 - m2  0 <=> m(m – 1)    0 0 m 1

Vậy nghịêm của phương trình đạt GTNN là 0 với a = -1

Vậy nghịêm của phương trình đạt GTLN là 1 với a = -2

Bài 24: Tìm GTNN, GTLN của t =

2 2

2 2 1

2 2 1

x

 

 => (a – 1) x2 – 2 x +a – 2 = 0 (1)

a là một giá trị của hàm số <=> (1) có nghiệm.

- Nếu a = 1 thì (1) <=> x =

1 2



- Nếu a 1 thì (1) có nghiệm <=> ' 0

Min A =

3 5 2

3 với x = y ; max A = 3 với x = - y

Bài 26: Cho a + b = 1 Tìm GTNN của biểu thức:

 Kết luận :

Trên đây là những bài toán bản thân tôi thu thập được trong quá trình giảngdạy, với mong muốn giúp cho các em rèn luyện kỹ năng khi giải bài tập dạng này

Trong quá trình biên soạn không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong sự góp ýchân thành của quí thầy cô và bạn đọc để tài liệu được hoàn thiện hơn.