Vận dụng các ứng dụng toán học thường dùng, giải bài toán tìm cực trị của một đại lượng Vật lí Người thực hiện: Nguyễn Thành Dân tổ vật lý trường THPT Tiên Lữ - 1 - Phần I - mở đầu i..
Trang 1Vận dụng các ứng dụng toán học thường dùng, giải bài toán tìm cực trị của một đại lượng Vật lí
Người thực hiện: Nguyễn Thành Dân tổ vật lý trường THPT Tiên Lữ - 1 -
Phần I - mở đầu
i cơ sở khoa học của đề tài
Trong chương trình THPT, ở bất kì khối lớp nào, chương phần nào cũng đều có loại bài tập: tìm giá trị cực đại hay cực tiểu của đại lượng U khi đại lượng v thay đổi (bài toán cực trị) Nhưng khi học sinh giải loại toán này thì rất lúng túng, thiếu cái nhìn tổng quát, cách thức tiếp cận vấn đề, không vạch ra được phương án giải cho từng bài toán cụ thể Nhiều học sinh giải được bài tập nhưng tiếp thu bài toán một cách thụ động, thiếu sáng tạo, áp dụng một cách máy móc
Trong mấy năm trở lại đây, khi Bộ GD&ĐT tiến hành tổ chức thi trắc nghiệm đối với bộ môn Vật lí, năm nào đề cũng có bài tập tìm cực trị của một đại lượng vật lí Nếu học sinh
đã được giải các dạng của bài toán này trong khi học ở trường phổ thông, thì việc chọn
được đáp án đúng đối với câu trắc nghiệm về loại toán này sẽ không còn quá phức tạp Hơn nữa để giúp học sinh nắm vững kiến thức có nhiều cách, một trong những cách đó
là sử dụng bài tập vật lí vì:
+ Bài tập vật lí giúp học sinh hiểu, khắc sâu thêm phần lý thuyết và giúp học sinh có phương pháp giải bài tập
+ Bài tập vật lí là phương tiện rất tốt để phát triển tư duy, óc tưởng tượng, sáng tạo, tính tự lực trong suy luận
+ Khi làm bài tập vật lí học sinh bắt buộc phải nhớ lại kiến thức và vận dụng, đào sâu kiến thức, do vậy đứng về mặt điều khiển hoạt động nhận thức thì đây là phương tiện kiểm tra kiến thức, kỹ năng của học sinh
+ Trong việc giải bài tập, nếu học sinh tự giác, say mê tìm tòi thì nó còn có tác dụng rèn luyện cho các em những đức tính tốt như tinh thần tự lập, vượt khó, nghị lực, tính cẩn thận, tính kiên trì
Xuất phát từ những lý do trên tôi đã chọn đề tài: Vận dụng các ứng dụng toán học thường dùng, giải bài toán tìm cực trị của một đại lượng vật lí
II mục đích của đề tài
Nghiên cứu đề tài “Vận dụng các ứng dụng toán học thường dùng, giải bài toán tìm cực trị của một đại lượng vật lý ” nhằm:
Nâng cao chất lượng học tập của học sinh khi học môn vât lí, giúp các em hiểu bản chất vấn đề, phương án giải quyết vấn đề từ đó vận dụng linh hoạt vào việc giải bài tập, tạo
điều kiện để các em học tốt môn Vật lí ở THPT, nắm chắc kiến thức chuẩn bị cho hai kì thi quan trọng: Tốt nghiệp THPT và kì thi tuyển sinh Đại học, cũng như có thể giải quyết những vấn đề phát sinh trong dời sống hằng ngày
Khắc phục những khó khăn hiện tại, tìm ra phương án thích hợp giải quyết vấn đề bài toán tìm cực trị của một đại lượng Vật lí
Góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy bộ môn theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo của học sinh Góp phần nâng cao chất lượng đội ngũ học sinh khá, giỏi về bộ môn Vật lý
Góp phần hình thành lòng say mê, sự hào hứng học tập môn vật lý, từ đó hình thành
và phát triển năng lực tự học, tự bồi dưỡng kiến thức cho học sinh
IiI Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu
- Khách thể: học sinh lớp 10, 11, 12, đội tuyển học sinh giỏi môn vật lí
- Đối tượng nghiên cứu: vận dụng các ứng dụng toán học thường dùng, giải bài toán tìm cực trị của một đại lượng vật lí
- Phạm vi nghiên cứu:
+ Lớp A1, A2 niên khóa 2005 – 2008
+ Lớp 10A1, 10A2 năm học 2008 – 2009
+ Lớp 11A1, 11A2, 12A3, 12A4 năm học 2009 – 2010
+ Đội tuyển học sinh giỏi các năm từ 2007 đến 2010
Trang 2III Kế hoạch nghiên cứu
- Điều tra, quan sát hiện trạng của việc giải các bài toán cực trị trong vật lí ở trường THPT
- Chỉ ra nguyên nhân, điều kiện ảnh hưởng
- Trên cơ sở đó đưa ra phương án hướng dẫn học sinh giải bài toán cực trị vật lí ở trường THPT
IV Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp quan sát biểu hiện hứng thú học tập trong việc giải bài toán cực trị
- Phương pháp nghiên cứu sản phẩm: bài giải của học sinh, bài kiểm tra, kết quả thi học sinh giỏi cấp trường hay tỉnh
V Thời gian hoàn thành
Trong khoảng thời gian 05 năm kể từ năm học 2004 – 2005 đến năm học 2009 –
2010 với phương pháp nghiên cứu trên tôi đã hoàn thành đề tài
Trang 3Vận dụng các ứng dụng toán học thường dùng, giải bài toán tìm cực trị của một đại lượng Vật lí
Người thực hiện: Nguyễn Thành Dân tổ vật lý trường THPT Tiên Lữ - 3 -
Phần ii - nội dung
I Kiến thức cơ bản
Để giải một bài tập vật lí loại tìm cực trị ngoài kiến thức vật lí đặc trưng cho loại bài tập đó, người học phải biết nhận diện các đại lượng vật lý, từ đó vận dụng kiến thức toán để giải quyết vấn đề Do đó giáo viên phải giúp học sinh nắm vũng một cách chính xác, bản chất và logic các kiến thức sau:
1 Kiến thức toán
1.1 Tam thức bậc hai
Xét y = ax2 + bx + c (a ≠ 0), với ∀x ∈ R
- Nếu a < 0 thì y có giá trị cực đại ymax =
a
4
∆
ư khi x =
a
b
2
ư
- Nếu a > 0 thì y có giá trị cực tiểu ymax =
a
4
∆
ư khi x =
a
b
2
ư Trong đó: ∆ = b2 – 4ac
1.2 Bất đẳng thức Cauchy (không mở rộng )
Với hai số a, b > 0 thì a+b ≥ ab
2 Dấu “=” xảy ra khi a = b
1.3 Bất đẳng thức Bunhiacovxki (không mở rộng )
Với bốn số: a, b, x, y ∈ R thì ( ax + by )2 ≤ ( a2 + b2 )( x2 + y2 )
Dấu “=” xảy ra khi
y
x b
a =
1.4 Bất đẳng thức Bernuolli
(1 + a )n ≥ 1 + na dấu “=” xảy ra khi a = 0 hoặc n = 1
1.5 Phương pháp hình học
1.5.1 Giản đồ véc tơ
- Cơ sở: Một dao động điều hoà có thể xem là hình chiếu của một chuyển động tròn đều xuống một đường thẳng nằm trong mặt phẳng quỹ đạo
- Nội dung:
- Để mô tả dao động điều hoà x = Acos(ωt + ϕ ) bằng một véc tơ quay ta làm như sau + Dựng trục Ox nằm ngang
+ Dựng véc tơ OM có:
± Gốc tại gốc toạ độ O của trục Ox
± Độ dài bằng biên độ dao động, OM = A
± Véc tơ OM hợp với trục Ox một góc bằng pha ban đầu ϕ
(Chiều dương ngược chiều kim đồng hồ)
+ Cho véc tơ OM quay đều quanh O với tốc độ góc ω thì
hình chiếu của điểm M lên trục Ox biểu diễn dao động điều hoà x = Acos( ωt + ϕ )
Hệ quả: Để tổng hợp hai hay nhiều dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số ta lần
lượt biểu diễn mỗi dao động bằng một véc tơ quay trên cùng một giản đồ véc tơ, sau đó áp dụng quy tắc hình bình hành để tìm véc tơ tổng, nó biểu diễn dao động tổng hợp
1.5.2 Định lý hàm sin
Cho ∆ABC với AB = c; BC = a; AC = b thì
C
c B
b A
a
sin sin
2 Các dạng cơ bản về bài toán tìm cực trị của một đại lượng vật lý thường gặp
2.1 Trong cơ học
Dạng 1: Tìm khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất giữa vật này đối với vật khác
M
+
ϕ x
Trang 4Ví dụ 2.1.1: (Vật lí 10) Hai vật A và B chuyển động thẳng đều trên hai đường thẳng hợp
với nhau một góc α = 300 về phía giao điểm O, với các vận tốc tương ứng v1 và v2 =
3
1
v
Khi khoảng cách giữa hai vật là nhỏ nhất thì vật A cách O một đoạn d1 =30 3(cm) Hỏi lúc đó vật B cách O một đoạn bao nhiêu?
Ví dụ 2.1.2: (Vật lí 10) Hai ôtô chuyển động trên hai đường thẳng vuông góc cùng hướng
tới giao điểm O, với các vận tốc không đổi lần lượt là v1 =15m/s và v2 =10m/s Tại thời
điểm khoảng cách giữa hai ôtô nhỏ nhất thì ôtô thứ nhất cách giao điểm của hai quỹ đạo một đoạn S1 = 250m Hỏi lúc đó ôtô thứ hai cách giao điểm trên một đoạn S2 bằng bao nhiêu?
Dạng 2: Tìm độ lớn lực cực đại, cực tiểu tác dụng vào vật
Ví dụ 2.1.3: (Vật lí 10) Một vật có khối lượng m được kéo lên trên một mặt phẳng nghiêng
góc α, với vận tốc không đổi bởi một sợi dây nối Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là à Hãy xác định góc β hợp bởi sợi dây và mặt phẳng nghiêng để lực căng dây là nhỏ nhất Tính giá trị lực căng dây lúc đó
áp dụng: m = 50kg; g = 10m.s-2; à = 0,5; α = 300
Ví dụ 2.1.4: (Vật lí 10) Cho hệ như hình vẽ m = 0,5kg, M = 1kg Hệ số ma sát giữa m và
M là à1 = 0,1 , giữa M và sàn là à2 = 0,2 Khi α thay đổi ( 0 <
α < 900
), tìm F nhỏ nhất để M thoát khỏi m và tính α khi này
Ví dụ 2.1.5 (Vật lí 10) Xác định lực hút mạnh nhất của Trái
Đất đối với tàu vũ trụ “Phương Đông” đang ở độ cao h? áp
dụng bằng số: m = 2tấn, h = 320 km, lấy g0 = 10 m.s-2; R =
6400 km
Dạng 3: Tìm thời gian ngắn nhất, vận tốc nhỏ nhất của chuyển động
Ví dụ 2.1.6 (Vật lí 10) Một người đứng trên bờ hồ tại điểm A Người đó phải tới được
điểm B trên mặt hồ trong thời gian ngắn nhất Cho biết khoảng cách từ B tới bờ hồ là BC = d; AC = s, vận tốc người bơi trong nước là v1 và vận tốc đi trên bờ là v2 ( v2 > v1 ) Hỏi người đó phải đi theo kiểu nào từ A đến B
Ví dụ 2.1.7 (Vật lí 10) Ôtô chuyển động thẳng đều với vận tốc v1 = 54km/h Một hành khách đang ở A cách ôtô đoạn a = 400m và cách đường đoạn d = 80m, muốn đón ôtô Hỏi người ấy phải chạy theo hướng nào với vận tốc nhỏ nhất là bao hiêu để đón được ôtô?
Dạng 4: Tìm thời gian đồng hồ chạy sai tối thiểu
Ví dụ 2.1.8 (Vật lí 12) Đồng hồ quả lắc làm bằng con lắc đơn chạy đúng với chu kỳ dao
động T0 = 2s ở nhiệt độ t0 = 250C Biết hệ số nở dài của dây treo con lắc là α = 5 10- 5 K-1 Khi nhiệt độ là t = 150C Hãy tính thời gian chạy sai tối thiểu của đồng hồ sau một ngày
đêm
2.2 Trong điện học
Dạng 1 Tìm cực trị của công suất
Ví dụ 2.2.1 (Vật lí 11) Cho mạch điện như hình vẽ Biết
UAB = 24V không đổi Các điện trở có giá trị R0 = 2Ω, R1
=3Ω, R2 = 2Ω, Rx là biến trở con chạy Di chuyển con chạy
của biến trở Tìm giá trị của biến trở để công suất toả nhiệt
của đoạn mạch CD đạt giá trị cực đại Tìm giá trị cực đại đó
Ví dụ 2.2.2 (Vật lí 12) Cho mạch điện như hình vẽ
L =
π
1
H ; C =
π
2 10- 4 F ; r = 50Ω R là biến trở Đặt vào hai đầu A, B một hiệu điện thế xoay chiều có giá
trị hiệu dụng không đổi 220V – 50Hz
M
m
α
F
UA R0
R1
R2 Rx
A
R M L, r N C
B
Trang 5Vận dụng các ứng dụng toán học thường dùng, giải bài toán tìm cực trị của một đại lượng Vật lí
Người thực hiện: Nguyễn Thành Dân tổ vật lý trường THPT Tiên Lữ - 5 -
a Tìm giá trị của R để công suất tiêu thụ trên toàn mạch là cực đại Tìm giá trị cực đại đó
b Tìm giá trị của R để công suất tiêu thụ trên biến trở là cực đại Tìm giá trị cực đại đó
Dạng 2 Tìm cực trị của hiệu điện thế
Ví dụ 2.2.3 (Vật lí 12) Cho mạch điện như hình
vẽ Trong đó R không đổi, độ tự cảm của cuộn dây
hoặc điện dung của tụ điện có thể thay đổi Đặt vào
hai đầu mạch một hiệu điện thế xoay chiều có giá
trị hiệu dụng và tần số không đổi
a Khi điện dung của tụ điện biến thiên, tìm C để hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện đạt cực
đại Tính giá trị cực đại đó
b Khi độ tự cảm của cuộn dây biến thiên, tìm L để hiệu điện thế hai đầu cuộn dây cực đại Tính giá trị cực đại đó
# Cách phân loại trên đây chỉ mang tính tương đối, chưa thể nói là đầy đủ, bao quát toàn
bộ các dạng đối với loại bài toán đã nêu
II thực trạng vấn đề
- Khi học sinh gặp bài toán cực trị thường lúng túng không biết bắt đầu từ đâu, lập phương trình gì, cần sử dụng kiến thức toán hay kiến thức vật lí nào, thậm trí có học sinh hiểu sai bản chất của bài toán cực trị trong vật lí Hay trong quá trình thực hành vật lí, một biện pháp để tìm giá trị cực đại của dòng điện I bằng cách thay đổi giá trị của biến trở (lớp 11),
đưa vào hay ra một lõi sắt của ống dây (lớp 12) học sinh cũng không thể lí giải được Nói một cách khác học sinh không hiểu bản chất của bài toán cực trị trong vật lí
- Đối với các thầy, cô khi dạy phần này thường chỉ nhằm mục đích giải quyết bài toán mà không tính đến tính kế thừa của phương pháp giải của bài toán đó
- Để khắc phục những điều đó tôi luôn bám sát một quy trình chung cho giải bài toán cực trị với hệ thống câu hỏi thống nhất để phân tích hiện tượng bài toán cho học sinh Đồng thời cũng phải thường xuyên hướng dẫn học sinh vận dụng các kiến thức toán liên quan Qua mỗi bài toán tôi thường tổng kết và khái quát nhận dạng bài toán
iiI - các biện pháp đ∙ tiến hành giảI quyết vấn đề
Phương pháp chung:
Bước 1: Phân tích đầu bài, nhận diện đại lượng nào cần khảo sát (U), đại lượng nào thay
đổi (x)
Bước 2: Huy động kiến thức liên quan, chọn hàm (U), chọn đối (x) và lập hàm U = f(x) Bước 3: Sử dụng các công cụ toán tìm cực trị của U = f(x)
Bước 4: Biện luận kết quả
1 Dùng tam thức bậc hai
Ví dụ 2.1.1 Hai vật A và B chuyển động thẳng đều trên hai đường thẳng hợp với nhau một
góc α = 300 về phía giao điểm O, với các vận tốc tương ứng v1 và v2 =
3
1
v
Khi khoảng cách giữa hai vật là nhỏ nhất thì vật A cách O một đoạn d1 =30 3(m) Hỏi lúc đó vật B cách O một đoạn bao nhiêu?
Tóm tắt
v2 =
3
1
v
= const
α = 300
d1 =30 3(m)
d2 = ?
Phân tích
- Tính chất chuyển động của hai vật?
- Chọn hệ quy chiếu như thế nào cho đơn giản nhất?
- Phương trình chuyển động của mỗi vật
- Khoảng cách giữa hai vật được tính như thế nào?
- Lập hàm d theo x và y? d min khi nào? Khảo sát d như thế nào?
A
B
O
y
x
2
v
1
v
α
A
B
Trang 6Hướng dẫn
+ Chọn hệ toạ độ như hình vẽ
+ Phương trình chuyển động của vật A: x = x0 – v1t (m)
+ Phương trình chuyển động của vật B: y = y0 – v2t (m)
+ Khoảng cách hai vật ở thời điểm t
Ta có: AB=OBưOA⇒ AB2 =OB2 +OA2 ư 2OA.OBcos α
Hay d2 = y2 + x2 – 2xycosα (2)
Thay x, y từ (1) vào (2) ta có:
0 0
2 0
2 0
0 0 1 2
2
1
3
(
y x v
t
v
áp dụng tính chất của tam thức bậc hai có a > 0 suy ra:
Khoảng cách d đạt cực tiểu khi: t = tm =
1
0 0
2
3 3
v
y
x ư
Thay vào (1) với xmA = 30 3(m), khi
đó vật B cách O một đoạn 90 (m)
Ví dụ 2.1.2: Hai ôtô chuyển động trên hai đường thẳng vuông góc cùng hướng tới giao
điểm O, với các vận tốc không đổi lần lượt là v1 =15m/s và v2 =10m/s Tại thời điểm khoảng cách giữa hai ôtô nhỏ nhất thì ôtô thứ nhất cách giao điểm của hai quỹ đạo một
đoạn S1 = 250m Hỏi lúc đó ôtô thứ hai cách giao điểm trên một đoạn S2 bằng bao nhiêu?
Tóm tắt
v1 =15m/s
v2 =10m/s
S1 = 250m
S2 = ?
Phân tích
- Tính chất chuyển động của hai ô tô?
- Chọn hệ quy chiếu như thế nào cho đơn giản nhất?
- Phương trình chuyển động của mỗi ô tô
- Khoảng cách giữa hai xe được tính như thế nào?
- Lập hàm d theo x và y? d min khi nào? Khảo sát d như thế nào?
Hướng dẫn
+ Chọn hệ toạ độ như hình vẽ
+ Phương trình chuyển động của ôtô thứ nhất: x = x0 – v1t (m)
+ Phương trình chuyển động của ôtô thứ hai: y = y0 – v2t (m)
+ Khoảng cách hai vật ở thời điểm t
Ta có: AB=OBưOA⇒ AB2 =OB2 +OA2
Hay d2 = y2 + x2 (2)
Thay x, y từ (1) vào (2) ta có: d2 = 325t2 – (30x0 + 20y0)t + 02
2
0 y
áp dụng tính chất của tam thức bậc hai có a > 0 suy ra:
Khoảng cách d đạt cực tiểu khi: t = tm =
65
2
3x0 + y0
Thay vào (1) với xmA = 250(m), khi đó vật B cách O một đoạn 375 (m)
Ví dụ 2.1.6 Một người đứng trên bờ hồ tại điểm A Người đó phải tới được điểm B trên
mặt hồ trong thời gian ngắn nhất Cho biết khoảng cách từ B tới bờ hồ là BC = d; AC = s, vận tốc người bơi trong nước là v1 và vận tốc đi trên bờ là v2 (v2 > v1) Hỏi người đó phải đi theo kiểu nào từ A đến B
Tóm tắt
BC = d
AC = s
v2 = const
Phân tích
- Nếu chuyển động theo đường AB hoặc ACB thì sao?
- Chuyển động của người gồm mấy giai
(1)
(1)
A
y
x
B
O
2
v
1
v
Trang 7Vận dụng các ứng dụng toán học thường dùng, giải bài toán tìm cực trị của một đại lượng Vật lí
Người thực hiện: Nguyễn Thành Dân tổ vật lý trường THPT Tiên Lữ - 7 -
v1 = const
v2 > v1
AD = ?
đoạn? Tính chất chuyển động?
- Thời gian chuyển động phụ thuộc vào đại lượng nào?
- Lập hàm thời gian theo x? Tìm t min theo cách nào? Biện luận?
Hướng dẫn
+ Theo bài ra, nếu bơi thẳng từ A đến B ( Hình vẽ ), thì thời gian bơi đoạn AB không phải luôn là ngắn nhất, vì v1 < v2
+ Giả sử người đó đi theo đường gấp khúc ADB ta hãy xác định đoạn x để thời gian đi theo đường ADB là ngắn nhất
+ Thời gian để người đó đi từ A đến B theo đường ADB là
t =
2 1
2 2 2 1 1
2 2
) (
v v
x d v v x s v
x d v
x
Đặt y = - xv1 + v2 d2+ x2
=v2 d2+x2 ưv1x (1)
Khi đó, để tmin thì ymin
Từ (1) suy ra: y2 + 2v1xy +v12.x2 = v22(d2 + x2 )
hay x2 - 2 . 2 0
1
2 2
2 2 2 2 2 1
2 2
ư
ư +
y d v x v v
y v
(2)
1
2 2
2 2 2 2 1
2 2 2 2 1
2 2
2 1 2 2 1
2 2
2 2 2 2 2 2 1
2 2
2 2
) (
( )
d v v v v v
v y v v
y d v v v
y v
ư
ư
ư
+
ư
=
ư
ư
ư
) (
1
2 2 2 2 2 1
2 2
2 2 2 2 2 1
2 2
2 2 2
v v d y v v
d v v
v
v
ư
≥
hay ymin = d v22ưv12 khi đó x =
2 1
2 2
1
v v
dv
ư + Nếu s > x thì nên chạy một đoạn s -
2 1
2 2
1
v v
dv
ư rồi mới bơi tới B
+ Nếu s ≤ x thì nên bơi từ A đến B
2 Dùng bất đẳng thức Cauchy
Ví dụ 2.2.1 Cho mạch điện như hình vẽ Biết UAB = 24V không đổi Các điện trở có giá trị
R0 = 2Ω, R1 =3Ω, R2 = 2Ω, Rx là biến trở con chạy Di chuyển con chạy của biến trở Tìm giá trị của biến trở để công suất toả nhiệt của đoạn mạch CD đạt giá trị cực đại Tìm giá trị cực đại đó
Tóm tắt
UAB = 24V
R0 = 2Ω
R1 =3Ω
R2 = 2Ω
Rx ↑↓
PCD = Pmax
Rx = ?
Phân tích
- Công thức tính công suất tiêu thụ của điện trở?
- Hoạt động của biến trở mà bài toán sử dụng?
- Tính điện trở của mạch CD, của toàn mạch?
- Tính dòng điện trong mạch chính?
- Lập hàm PCD theo Rx?
- Tìm cực trị của PCD như thế nào?
UA R0
R1
R2 Rx
B
2
v
1
v
d
Trang 8Hướng dẫn
+ Đoạn mạch CD gồm điện trở R1 // ( R2 nt Rx )
+ Điện trở tương đương của của đoạn mạch CD: RCD =
x
x
R
R
+
+ 5
3 6
(1)
+ Công suất toả nhiệt trên đoạn mạch CD: PCD = I2RCD => PCD =
2 0
2
) (
CD CD
AB
R
R R
U
+
(2)
Từ (2) ta thấy, để (PCD)max thì
min
2
0 ) (
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+
CD
CD
R
R
Vận dụng hệ quả bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có:
min
2
0 ) (
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+
CD
CD
R
R
R = 4R0 khi RCD = R0
Vậy RCD = 2Ω Thay vào (1) va (2) suy ra Rx = 4Ω và PCDmax = W
R
U
CD
AB 72 4
2
Ví dụ 2.2.2 Cho mạch điện như hình vẽ
L =
π
1
H ; C =
π
2 10- 4F ; r = 50Ω R là biến trở Đặt vào hai đầu A, B một hiệu điện thế xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi 220V – 50Hz
a Tìm giá trị của R để công suất tiêu thụ trên toàn mạch là cực đại Tìm giá trị cực đại đó?
b Tìm giá trị của R để công suất tiêu thụ trên biến trở là cực đại Tìm giá trị cực đại đó?
Tóm tắt
L =
π
1
H; C =
π
2 10- 4F
r = 50Ω
R↑↓
U = 220V; f = 50Hz
a) P = Pmax R = ?
b) PR = Pmax R = ?
Phân tích
- Đại lượng nào của mạch thay đổi?
- Công suất tiêu thụ của mạch, của biến trở tính như thế nào?
- Lập hàm công suất?
- áp dụng bất đẳng thức cô si để tìm cực trị của P?
Hướng dẫn
+ Tổng trở của toàn mạch: Z = (R+r)2+ (Z L ưZ C)2
+ Công suất tiêu thụ trên toàn mạch: P = (R + r)I2 =
r R
Z Z r R
U
C L AB
+
ư +
2
)
+ Công suất tiêu thụ trên biến trở R:
r R
Z Z r R
U R
Z
U R I P
C L
AB AB
R
2 )
2
2 2
2 2
+
ư + +
=
=
a Theo (1) để công suất tiêu thụ trên toàn mạch đạt cực đại thì:
min
2
) (
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
ư + +
r R
Z Z r
Vận dụng hệ quả của bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có:
min
2
) (
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
ư + +
r R
Z Z r
R L C = 2 (Z L ưZ C)2 khi R+r = Z L ưZ C
L, r
N C
B
Trang 9Vận dụng các ứng dụng toán học thường dùng, giải bài toán tìm cực trị của một đại lượng Vật lí
Người thực hiện: Nguyễn Thành Dân tổ vật lý trường THPT Tiên Lữ - 9 -
Từ đó suy ra: R = 50Ω và Pmax =
) ( 2
2
r R
U AB
+ = 242 W
Chú ý: Nếu r = 0 thì Pmax khi R = Z L ưZ C Và Pmax =
R
U AB
2
2
b Theo (2), để công suất tiêu thụ trên biến trở đạt cực đại thì:
min
2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
R
Z Z r
Vân dụng hệ quả của bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có:
min
2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
R
Z Z
r
R L C = 2 r2+ (Z L ưZ C)2 khi R = r2 + (Z L ưZ C)2 và Pmax =
) ( 2
2
r R
U AB
+
Từ đó suy ra R = 50 5 Ω và Pmax = 17,32 W
Chú ý: Nếu r = 0 thì Pmax =
) ( 2
2
r R
U AB
+ = P Công suất tiêu thụ trên biến trở cũng chính là công suất tiêu thụ trên toàn mạch, khi đó R = Z L ưZ C
Ví dụ 2.2.3 Có n điện trở khác nhau: R1; R2; R3;…… ;Rn Nếu mắc chúng song song mỗi nhánh một điện trở thì điện trở tương đương toàn mạch là Rtd Nếu mắc chúng nối tiếp nhau thì điện trở tương đương toàn mạch là R’td Chứng minh rằng: 2
'
n R
R
td
td ≥ Trường hợp nào dấu “ = ” xảy ra
Hướng dẫn
+ Khi mắc song song ta có:
n
R
1
1 1 1
2 1
+ + +
+ Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm:
n
n
R R
R
1
1 1
1
1 1
2 1 2
1
+ + +
≥ + +
+ Khi mắc nối tiếp ta có: R’td = R1 + R2 +… +Rn
+ Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm:
R1 + R2 +… +Rn n
n
R R
R
≥ 1 2 (2)
Lấy (1) nhân với (2) vế theo vế ta được 2
'
n R R
td
td ≥ (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi có n điện trở giống nhau
Bài toán 2.2.4 Mạch điện như hình vẽ (H2) E = 9V; r = 1Ω Biến trở R có điện trở toàn phần RMN = 10 Ω Điện trở ampe kế không đáng kể, điện trở vôn kế vô cùng lớn Phải để C
ở vị trí nào thì công suất tiêu thụ trong toàn biến trở là lớn nhất? Giá trị lớn nhất ấy là bao nhiêu?
Tóm tắt
E = 9V, r = 1 Ω
RMN = 10 Ω
RA = 0
RV = ∞
PR = Pmax
x = ?
Phân tích
- Vai trò của ampe kế và vôn kế, sự ảnh hưởng của chúng đối với mạch?
- Hoạt động của biến trở mà bài sử dụng?
- Công suất tiêu thụ trên biến trở RMN?
- Lập hàm công suất theo điện trở thành phần
RCM?
- áp dụng bất đẳng thức cô si để PMN max?
- Biện luận?
Hướng dẫn
+ Con chạy C chia biến trở RMN thành hai phần RCM và RCN ta có: RCM + RCN = 10 Ω (1)
A V
R1
RMN
ξ, r
M
N
B
A
H2
C
Trang 10α
β
O
y
+ Mạch điện được vẽ lại nh hình bên (H3.1)
=> Điện trở tương đương của toàn biến trở: R =
CN CM
CN CM
R R
R R
+ (2) + Điện trở tương đương của toàn mạch: Rtd = R1 + R
+ Cường độ dòng điện chạy qua mạch: I =
r R R r
R td + = 1+ +
ξ ξ
+ Công suất tiêu thụ trên toàn biến trở: PMN = I2R =
2 1
2
) (
R
r R
ξ
(3)
Từ (3), để công suất tiêu thụ trên toàn biến trở đạt cực đại thì: ( 1 )2min
R
r R
Vận dụng hệ quả bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có: 2min
1 ) (
R
r R
R +
khi R = R1 + r và Pmax =
R
4
2 ξ
(4)
Từ (1), (2), (4) suy ra: - Vị trí con chạy C thoả mãn RCM = 7,24 Ω và RCN = 7,26 Ω
- Công suất cực đại trên toàn biến trở Pmax = 10,25W
3 Dùng bất đẳng thức Bunhiacovxki
Bài toán 2.1.3 Một vật có khối lượng m được kéo lên trên một mặt phẳng nghiêng góc α,
với vận tốc không đổi bởi một sợi dây nối Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là
à Hảy xác định góc β hợp bởi sợi dây và mặt phẳng nghiêng để lực căng dây là nhỏ nhất Tính giá trị lực căng dây lúc đó áp dụng: m = 50kg; g = 10m.s-2; à = 0,5; α = 300
Tóm tắt
m = 50kg
g = 10m/s2
à = 0,5
α = 300
T = Tmin = ?
β = ?
Phân tích
- Các lực tác dụng lên vật? Chọn hệ trục tọa
độ?
- Tính chất chuyển động của vật?
- Điều kiện về các lực?
- Xây dựng biểu thức của T? áp dụng bất đẳng thức Bunhiacovxki tìm Tmin? Xác định β?
- Biện luận
Hướng dẫn
+ Phân tích các lực tác dụng vào vật, viết biểu thức của định luật 2 Newton, sau đó chiếu lên hai phương Ox và Oy như hình vẽ, và từ đó tìm được: T = β à β
α à
α
sin cos
) cos (sin
+
+
mg
+ Thấy rằng Tmin khi (cosβ + àsinβ)max
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacovxki: (cos β + àsinβ) ≤ 1 + à2
=> (cosβ + àsin β)max = 1 + à2
Do đó: Tmin = 2
1
) cos (sin
à
α à α
+
+
mg
Thay số Tmin = 417N
Mặt khác dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi àcosβ = sinβ hay tan β = à
=> β = arctan à Thay số : β = 26034’48”
Ví dụ 2.1.4 Cho hệ như hình vẽ m = 0,5kg, M = 1kg Hệ số ma sát giữa m và M là à1 = 0,1 , giữa M và sàn là à2 = 0,2 Khi α thay đổi ( 0 < α < 900), tìm F nhỏ nhất để M thoát khỏi m và tính α khi này
E, r
V
RCM
R1
C
B
A
RCN
