Bài toán mẫu mực về cực trị
Bài toán:
Cho x,y>0 và x+y=1 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
+
+
2
x
y y
x
P
(*) Nhận xét:
Ta rút gọn đợc: = 2 2 + 21 2 + 2
y x y x P
Nếu ta dùng côsi ở đây thì sẽ đợc Min P=4
Nhng đẳng thức không xẩy ra nên ta cần phải tách các phần tử ra cho hợp lí
Ta cần tách x2y2hoặc 2 2
1
y x
ở đề bài ta có: x+y=1 nên những đẳng thức dẫn đến cực trị thờng là: x=y=2
1
Vậy nếu phân tích:
2 )
1 (
2 2 2
y x y
mx
P
áp dụng BĐT Côsi ta có:
m y
x
y
mx2 2 + 21 2 ≥ 2
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi: 2 2
2
y x y
mx =
4
4
1
y
x
m=
⇔ với giá trị x=y=1/2 ta có:
256
4
1
1
4 =
=
m
Vậy ta cần tách nh sau:
2 255
1
2 2 2
y x y
x
P
Khi đó ta mới giả đợc x=y=1/2
Trang 2Bài Giải:
2 2 2 2 2
2 2
y x y x y
x y x
P
áp dụng BĐT Côsi ta có:
4
32 256 2
1
256
2 2 2
2 2
2 2
2
2
−
≥
−
⇔
≤
⇔
=
+
≤
=
≥ +
y x y
x y
x
xy
y x
y
x
Từ đó ta có:
16 / 289 2 16
255
≥
P
Vậy
2
1 1
1 256
16 289
2 2 2 2
=
=
⇔
= +
=
=
⇔
y x
y x
y x y x MinP
Bài học: Không phải bao giờ giải cực trị cũng tìm cực trị trớc rồi mới tìm các giá trị của ẩn mà ta còn có thể tìm các giá trị đặc biệt của ẩn sau đó suy ra giá trị của cực trị