SKKN Một số sai lầm thường gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục

Từ năm học lớp 8 khó khăn của học sinh đã được bộc lộ rõ nét hơn, đặc biệt là các bài toán chứng minh bất đẳng thức, các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.. Tóm lại, từ nhi

Phần 1: Những vấn đề chung

I Lí do chọn đề tài:

Toán học có một vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí, góp phần tạo nên nguồn tài nguyên chất xám, nguồn tài nguyên quý nhất cho đất nước Toán học là bộ môn khoa học tự nhiên được hình thành từ rất sớm bởi sự gắn bó chặt chẽ của nó với thực tiễn đời sống con người Toán học là môn khoa học cơ bản rất quan trọng, nó giúp cho việc hình thành và phát triển cho người học năng lực tư duy logic, phương pháp luận khoa học, phẩm chất trí tuệ, tư tưởng đạo đức

Ngày nay sự phát triển của tất cả các ngành khoa học cũng như tất cả các ngành công nghiệp then chốt đều không thể thiếu toán học, chúng đều được khởi nguồn và dựa trên toán học Sự phát triển của một đất nước không phụ thuộc nhiều ở tài nguyên thiên nhiên, mà phụ thuộc chủ yếu vào trình độ dân trí Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí, góp phần tạo nên nguồn tài nguyên chất xám Việt Nam chúng ta so với các nước trên thế giới còn

ở trong tình trạng nghèo nàn, lạc hậu Muốn thoát khỏi tình trạng này và đuổi kịp các nước trên thế giới, đối với Việt Nam phải có lớp người mới được trang bị kiến thức tốt, luôn phát huy tính sáng tạo và khả năng nhanh nhạy để nắm bắt kĩ thuật mới Nhiệm vụ quan trọng này ngành GD - ĐT vinh dự được Đảng và Nhà nước giao cho Chính vì vậy trong từng năm học, Bộ GD - ĐT đã có những chỉ thị kịp thời, Sở GD - ĐT, Phòng GD & ĐT và Nhà trường đã chủ động đề ra những kế hoạch chi tiết, những mục tiêu rõ ràng và giao nhiệm vụ cụ thể đến từng giáo viên

Để hoàn thành nhiệm vụ, người giáo viên phải có lòng nhiệt tình, có kiến thức

và phương pháp truyền thụ kiến thức phù hợp Nhưng thực tế đã cho thấy hầu hết giáo viên đều có lòng nhiệt tình, có kiến thức song phương pháp còn nhiều hạn chế, các thầy cô giáo viên dạy toán cũng không phải là ngoại lệ Vậy đâu là nguyên nhân của những hạn chế trên? Theo tôi nguyên nhân cơ bản là:

- Giáo viên chưa tạo cho học sinh thói quen tiến hành đầy đủ các bước cần thiết khi giải một bài toán, nhất là những bài toán mới lạ hoặc những bài toán

khó nên học sinh chưa có phương pháp suy nghĩ, suy luận đúng trong việc tìm tòi lời giải một bài toán

- Chỉ nặng về trình bày lời giải đã tìm ra mà không chú ý đến việc hướng dẫn

để học sinh tự tìm ra lời giải Bởi vậy học sinh cũng chỉ hiểu được lời giải cụ thể của bài toán chưa học tập được cách suy luận để giải bài toán tương tự

- Chưa chú trọng đến việc phân tích bài toán theo nhiều khía cạnh, theo từng loại để tạo ra phương pháp và lời giải khác nhau, chưa chú trọng rèn luyện cho học sinh kĩ năng thực hành tính toán, biến đổi, suy luận

- Cho học sinh giải nhiều bài tập mà không chú ý đến việc lựa chọn một hệ thống bài tập đa dạng, đầy đủ

Trong quá trình học tập, học sinh sớm được làm quen với bộ môn toán Nhìn chung Toán học là môn học rất trừu tượng Tính trừu tượng và logic tăng dần khi các em càng học lên các lớp trên Từ năm học lớp 8 khó khăn của học sinh đã

được bộc lộ rõ nét hơn, đặc biệt là các bài toán chứng minh bất đẳng thức, các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Đây là một đề tài thú vị, nó thường không có quy tắc giả tổng quát Do vậy học sinh hay mắc thiếu sót và sai lầm khi

giải các bài toán loại này Vậy tại sao học sinh thường mắc phải sai lầm khi

giải các bài toán cực trị? Theo tôi nguyên nhân này xuất phát từ những lý do

sau:

1 Người giải toán chưa có đường lối rõ ràng khi giải bài toán tìm cực trị

2 Chưa nắm chắc các tính chất của bất đẳng thức

3 Chưa hệ thống, phân dạng được các bài tập cùng loại

4 Không đọc kĩ đầu bài, chưa hiểu rõ bài toán đã đã vội đi ngay vào giải toán

5 Không biết đề cập bài toán theo nhiều cách giải khác nhau, không chịu nghiên cứu kĩ từng chi tiết và kết hợp các chi tiết trong từng bài toán, không sử dụng hết giả thiết bài toán, không biết linh hoạt vận dụng kiến thức đã có

6 Không tự tư duy lại bài toán mình làm sau khi đã giải xong xem đã đúng chưa

Nói chung dạng toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là dạng toán khó nhưng rất thú vị Nó lôi cuốn nhiều người phải say mê, từ các em học sinh đến các nhà bác học lỗi lạc Tại sao vậy? Mỗi bài toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất với số liệu riêng của nó đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp Điều đó có tác dụng rèn luyện tư duy toán học mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo Chính vì thế chúng ta thấy trong các kì thi học sinh giỏi toán thường có bài toán về chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Tóm lại, từ nhiệm vụ yêu cầu thực tế của đất nước và của ngành giáo dục, từ khó khăn của giáo viên và học sinh thường hay mắc sai lầm trong việc giải các bài toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tôi đã chọn đề tài

“Một số sai lầm thường gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục” trong chương trình THCS để nghiên cứu với hy vọng đề tài này sẽ góp

phần vào việc giải quyết khó khăn, khắc phục sai lầm cho giáo viên và học sinh trong việc dạy và học kiến thức về chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ

nhất Như nhà giáo dục toán học Polya đã nói: ” Con người phải biết học ngay ở

những sai lầm của mình”

và người dạy phải có trí tuệ nhất định mà cả thày và trò phải dày công đầu tư vào nghiên cứu các dạng toán, thuật toán vận dụng hợp lý các tính chất toán học do các nhà toán học đã nghiên cứu vào giải toán, ngoài ra người dạy và học toán phải tự rèn luyện và nghiên cứu để có những công trình toán của riêng mình cùng góp sức để đưa bộ môn toán ngày càng phát triển

Thực hiện nhiệm vụ năm học cũng như được sự phân công của Phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Yên Dũng, Ban giám hiệu trường THCS Yên Lư, qua quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều năm gần đây bản thân tôi thấy việc hình thành cho học sinh cách suy nghĩ để tìm lời giải cho bài toán hoặc mỗi dạng toán nào đó là công việc rất khó Đứng trước một bài toán nếu người thày chưa hiểu chưa có hướng giải thì ta hướng dẫn học sinh như thế nào, thật khó trong những tình huống như thế người thày sẽ mất vai trò chủ đạo trong việc dạy học sinh, còn học sinh đã không giải được toán nhưng lại mất niềm tin ở thày và cảm thấy việc học toán là cực hình là khó vô cùng không thể học được

Toán học là bộ môn khoa học của nhân loại một bộ môn khoa học đa dạng

về thể loại không phải cứ dạy toán và học toán là biết hết, là đã đến đỉnh cao của trí tuệ nhân loại Khi trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi tôi tự thấy kiến thức toán của bản thân còn rất hạn chế, nhất là những bài toán về Bất đẳng thức, bài toán

về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Đây là dạng toán lớn, có nhiều cách thức để giải xong cả thày và trò lại rất ngại khi đụng đến vì nó khó và phải mất rất nhiều thời gian để dự đoán kết quả và tìm cách giải, hơn nữa rất dễ mắc sai lầm Tôi đã tìm nhiều biện pháp để hướng dẫn học sinh nhận xét, phân tích để giải các bài toán dạng này bằng các phương pháp mà học sinh và thày được trang bị trong cấp học, nhưng đều không thành công bởi chính thày cũng phải lần mò mãi mới có lời giải, học sinh thì hay mắc sai lầm Cho đến một ngày tôi đọc được bài báo của tác giả Vũ Hữu Bình – GV trường THCS Trưng Vương - Hà Nội trên báo Toán học và tuổi trẻ ra tháng 8 năm 2000, bài báo này đã giúp tôi nhất nhiều trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, đối với bài toán trên khi áp dụng kiến thức của bài báo vào, mỗi khi hướng dẫn học sinh tôi đã hoàn toàn tự tin và giữ vai trò chủ đạo để hướng dẫn học sinh, còn học sinh đã khai thác bài toán được bằng nhiều cách, tránh được những sai lầm cố hữu thường mắc phải khi giải toán cực trị và có hứng thú thực sự với dạng toán này Từ thực tế này tôi xin được trao đổi kinh nghiệm này cùng các đồng nghiệp mong rằng đề tài này sẽ được

em không có hứng thú khi gặp bài toán này

II.2.2 Tình hình giáo viên

- Thuận lợi: Hầu hết các thầy cô có trình độ, được đào tạo cơ bản, tâm huyết với nghề và luôn cầu tiến bộ

- Khó khăn:

Thời lượng thực dạy trên lớp 19 tiết/1 tuần và chuẩn bị giáo án đồ dùng để phục

vụ tiết dạy đẫ lấp kín thời gian trên lớp và ở nhà, mặt khác trong nền kinh tế thị trường với đồng lương không cao, chỉ đủ đáp ứng được cuộc sống đạm bạc thậm chí

có phần khó khăn của các nhà sư phạm nên các thầy cô giáo còn bị chi phối nhiều thời gian vào cuộc sống cho bản thân cùng gia đình Trong khi đó kiến thức đã khó lại rộng lớn và bao trùm Do đó để dành nhiều thời gian vào nghiên cứu, tìm tòi để có kiến thức vững và sâu thì rất hạn chế, nhiều người còn tư tưởng chỉ cần hoàn thành nhiệm vụ là được còn nghiên cứu tìm tòi đã có các nhà khoa học

Nguyên nhân góp phần không nhỏ nữa cho rằng việc nghiên cứu tìm lời giải cho các bài toán là những người phải có trí tuệ, phải là bậc vĩ nhân Suy nghĩ này

chỉ đúng một phần vì “Ngọc không mài thì không sáng được” Đối với bài toán

tìm cực trị không có cách giải mẫu mực mà chủ yếu dựa vào phân tích - kinh nghiệm của người làm toán Do đó đòi hỏi người giáo viên phải có thời gian, có tâm huyết và tinh thần học hỏi cao thì mới đáp ứng được chuyên môn, công việc giảng dạy của mình Toán học cao cấp có kiến thức, có cách giải nhanh và khoa học với dạng toán trên song không vận dụng được vào cấp học phổ thông, hoặc chưa tìm được phương pháp khoa học để học sinh tiếp cận cho phù hợp với chương trình học, và nội dung sách giáo khoa hiện hành

II.2.3 Các tài liệu

Các tài liệu tham khảo của môn toán THCS dành cho giáo viên và học sinh về số lượng, có vô số và lan tràn khắp thị trường, vì mục đích kinh doanh bề ngoài sách

đẹp, tiêu đề sách thu hút song nội dung thì trùng nhau lời giả sơ sài, thậm chí nhiều cuốn sách có rất nhiều sai sót, tính sư phạm không cao Các sách của Bộ giáo dục vì

lý do sư phạm vì khuôn khổ chương trình học của cấp học nên phần giải bài toán tìm cực trị và những sai lầm dễ mắc trong chương trình THCS chỉ có tính chất giới thiệu thông qua một vài bài tập mà không viết riêng thành một tài liệu để giáo viên

và học sinh ở cấp học này có thể tham khảo

Chính vì những lý do nêu trên, tôi đã chon đề tài “Một số sai lầm thường gặp trong các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục” trong chương trình THCS để nghiên cứu và thực hiện

Phần 2: Nội dung chính

I Vài nét khái quát về tình hình địa phương huyện Yên Dũng và các nhà trường

I.1 Đặc điểm

I.1.1 Thuận lợi

- Huyện Yên Dũng có bề dày về thành tích bồi dưỡng HSG, có thế mạnh về

đội ngũ giáo viên có tay nghề chuyên môn cao, kiến thức vững vàng

- Về phía học sinh các em hiếu học, có ý thức tốt

- Chính quyền và tổ chức đoàn thể rất quan tâm và coi trọng công tác giáo dục

- Các bậc phụ huynh đặc biệt coi trọng việc học tập của con cái

- Cơ sở vật chất các nhà trường cơ bản đã đầy đủ để học một ca

I.2 Phương pháp và đối tượng nghiên cứu

I.2.1 Phương pháp

Trong quá trình nghiên cứu đề tài tôi đã dùng những phương pháp sau:

- Đọc sách, nghiên cứu thu thập, xử lí tài liệu sưu tầm được

- Điều tra, trò chuyện với giáo viên và học sinh

- Tự tìm hiểu đối tượng học sinh

- Tổng kết đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy

- Cập nhật thông tin từ mạng Internet

Dựa vào các phương pháp này và phân tích nguyên nhân tôi đã định hình cho việc nghiên cứu đề tài

I.2.2 Đối tượng

Đối tượng nghiên cứu là môn toán và những kiến thức toán học có liên quan

đến các dạng toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, những sai

lầm học sinh thường mắc phải và cách khắc phục là trọng tâm nghiên cứu của đề tài

II Phần cơ bản

II.1 Phương pháp trình bày đề tài

Đề tài được trình bày dưới dạng đưa ra các bài tập cụ thể, mỗi bài tập đều

được đưa ra lời giải sai, phân tích sai lầm và cách khắc phục, đồng thời đưa ra lời giải đúng, cuối cùng đưa ra các bài tập đề nghị cho người đọc Các sai lầm thường mắc phải được liệt kê ở cùng dạng và chỉ được nêu rõ ở phần giải đáp

II.2 Nội dung cụ thể

II.2.1 Một số tính chất của bất đẳng thức

Chú ý: Không được chia hai bất đẳng thức cho nhau

Tính chất 9 Nâng luỹ thừa hai vế của bất đẳng thức

II.2.2 Một số kiến thức thường dùng để giải bài toán cực trị hình học

II.2.2.1 Sử dụng quan hệ đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu

- Quan hệ đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu thường được sử dụng dưới dạng:

+ Trong các tam giác vuông (có thể suy biến thành đoạn thẳng), cạnh góc vuông

AB và cạnh huyền BC thì AB BC≤ , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A trùng với C;

+ Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đường thẳng, đoạn thẳng vuông góc với đường thẳng có độ dài nhỏ nhất

+ Trong các đoạn thẳng nối hai điểm thuộc hai đường thẳng song song, đoạn thẳng vuông góc với hai đường thẳng sông song có độ dài nhỏ nhất

+ Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm đến cùng một đường thẳng, đường xiên lớn hơn khi và chỉ khi hình chiếu của nó lớn hơn

II.2.2.2 Sử dụng quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc

- Quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc được sử dụng dưới dạng:

+ Với ba điểm bất kỳ A, B, C ta có AB BC+ ≥AC Dấu đẳng thức xảy ra khi và

chỉ khi B thuộc đoạn thẳng AC

+ Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm A và B ngắn hơn độ dài đường gấp khúc có hai

đầu là A và B

II.2.2.3 Sử dụng các bất đẳng thức trong đường tròn

- Các bất đẳng thức trong đường tròn được thể hiện trong các định lý:

+ Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính

+ Trong hai dây của một đường tròn:

*Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn

* Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn

+ Trong hai cung nhỏ của một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi góc ở tâm chắn cung đó lớn hơn

+ Trong hai cung nhỏ của một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi dây trương cung ấy lớn hơn

II.2.3 Một số bất đẳng thức thường vận dụng để tìm cực trị

* Bất đẳng thức Côsi

Dạng cơ bản: Cho a b, ≥ 0, khi đó ta có bất đẳng thức a b+ ≥ 2 ab

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khia b=

Dạng tổng quát: Cho các số không âm a a a1, , , ,2 3 a n

Ta có bất đẳng thức 1 2 3 n 1 2 3

a + + + + ≥a a a n a a a a với n N n∈ , ≥ 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 =a2 =a3 = = a n

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 3

n n

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b= hoặc A B=

™ Dạng tổng quát: Cho hai bộ số cùng tăng hoặc cùng giảm

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = = = =a2 a3 a n hoặc b1 = = = =b2 b3 b n

Lưu ý: Nếu một d∙y tăng và một d∙y giảm thì bất đẳng thức đổi chiều

* Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

* Bất đẳng thức trong tam giác

™ Nội dung: Cho tam giác ABC

II.2.4 Đường lối tổng quát giải bài toán cực trị

* Cực trị đại số: Để tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của biểu thức f ta

phải thực hiện hai bước:

- Bước 1: Chứng minh f ≤m(hoặc f ≥m ) với m là hằng số

- Bước 2: Trả lời câu hỏi “dấu bằng xảy ra khi nào?” và kết luận

* Cực trị hình học: Để tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho đại lượng f

(f là số đo độ dài, hoặc số đo diện tích,…) có giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất), ta

phải thực hiện hai bước:

- Bước 1: Chứng tỏ rằng với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f ≤m (hoặc f ≥m ) với m là hằng số

- Bước 2: Xác định vị trí của hình H trên miền D sao cho f = m

*Chú ý: Trong một bài toán mà sử dụng nhiều bất đẳng thức để tìm cực trị

thì lưu ý các dấu “=” phải xảy ra đồng thời

II.2.5 Các bài tập minh hoạ

A Cực trị Đại số

A.1 Dạng sai lầm thứ nhất

Bài 1 Cho x, y là hai số dương thoả mãn 1

1.

x y

+ ≤ Tìm giá trị nhỏ nhất của

Bình luận

Nh−ng! x = y thì M = 2039 Vậy sai lầm ở đâu?

Bài 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= 2x+ 3y biết 2x2+ 3y2 ≤ 5

Lời giải sai:

x= = − ⇒ = −y A , vậy sai lầm ở đâu?

Bài 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

b= +x y + −y x = y + nên b đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi y = 0

Vậy giá trị nhỏ nhất của F x y( ), là 2 khi 1

0

x y

Bài 4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức D= − 5x2− 2xy− 2y2+ 14x+ 10y− 1

Lời giải “boăn khoăn”:

Hệ trên vô nghiệm nên D không tồn tại giá trị lớn nhất

Bạn có đồng ý với kết luận trên của bài toán không? Lời giải đ∙ thuyết phục ch−a?

A.2 Dạng sai lầm thứ hai

Bài 5 Cho x, y, z thoả mãn x2+y2+ ≤z2 27 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Cộng theo từng vế của (1) và (2) suy ra P≤ 42

Vậy giá trị lớn nhất của P là 42

Bình luận

Bài làm khá “đẹp”, nh−ng kết quả lại sai? Theo bạn lời giải sai ở đâu? Khắc phục nh− thế nào?

Bài 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x= + x.

Lời giải sai:

Bài 8 Cho a, b, c là các số dương, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Một bạn học sinh đã giải như sau:

Do a, b, c là các số dương nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

Các bạn có đồng tình với cách giải này không?

Bài 9 Cho a, b là hai số dương và x, y, z là các số dương tuỳ ý

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Mặt khác chứng minh đ−ợc

3 2

M

≥

+ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x= =y z.

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 0

Lời giải “quá gọn”, bạn có ý kiến gì không?

A.3 Dạng sai lầm thứ ba

Bài 11 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= 28 3 + x x− 2 + 5 4 + x x− 2.

Lời giải sai:

Điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa là

Lời giải của một học sinh:

Điều kiện để phương trình có nghiệm là:

Giá trị m = -1 không thoả mãn điều kiện (*) nên không tồn tại giá trị của m

để tổng bình phương các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất

Bình luận: Lời giải có vẻ khá “trơn”, nh−ng nếu đi thi mà làm vậy thì “tr−ợt”

Tại sao vậy?

Trong một lần kiểm tra có một học sinh đã giải bài toán này nh− sau:

− không phải là giá trị lớn nhất

của P Vậy sai lầm của lời giải ở đâu? Khắc phục sai lầm đó nh− thế nào?

Lời giải sai: Khi hoán vị vòng quanh x→ → →y z x thì biểu thức A không đổi

nên không mất tính tổng quát, giả sử x y z≥ ≥ > 0, suy ra

Chia cả hai vế của (1) cho số dương xz ta được

Tuy kết quả đúng, nhưng xem ra lời giải bất ổn Tại sao vậy?

Bài 16 Cho x, y, z là các số thực lớn hơn -1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Có một lời giải như sau:

Nếu x< 0, ta thay x bởi (-x) thì hai hạng tử đầu của P không đổi còn hạng tử

còn lại giảm xuống Từ đó không mất tính tổng quát giả sử x y z≥ ≥ ≥ 0

Từ đó suy ra P≥ 2 Dấu “=’ xảy ra khi và chỉ khi x= = =y z 1

Theo các bạn lời giải trên đ∙ chuẩn chưa? Lời giải của bạn như thế nào?

A.6 Một số dạng sai lầm khác thường mắc phải

Bài 17 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng

a + + <b c a b +b c +c a

Lời giải sai

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên

Lời giải trên đ∙ đúng ch−a? Nếu ch−a, giải thế nào thì đúng?

Bài 18 Cho hai số x; y thoả mãn x > y và xy= 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

VËy A cã gi¸ trÞ nhá nhÊt khi 2

2 2

xy= − = vµ A=2 2 3.<

T¹i sao l¹i nh− thÕ?

Bµi 19 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A= x2− + +x 3 x2− −x 2

x=

B×nh luËn:

Trong lớp có hai nhóm đ−a ra các nhận xét khác nhau, nhóm thứ nhất cho là lời giải của bạn học sinh trên “có vấn đề”, nhóm thứ hai hoàn toàn nhất trí với lời giải trên Còn bạn, bạn sẽ đứng ở nhóm nào? Tại sao?

Bài 20 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=(x2 − 1)(x2 + 1 )

“Lời giải hay”

Ta có x2 ≥ 0 với mọi x, suy ra x2− ≥ − 1 1 và x2+ ≥ 1 1

Suy ra P=(x2 − 1)(x2 + ≥ − 1) ( )1 1 = − ⇒ ≥ − 1 P 1.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

2 2

⎧ − = −

⎨ + =

⎪⎩

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là -1 khi x = 0

Sai lầm ở đâu?

Bài 21 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x= − 2 xy+ 3y− 2 x+ 1

“Lời giải dễ hiểu”

Bµi 22 Cho (x y, ) lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh 2 2 2 ( )

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc F =xy+ 2(x y+ )

“Lêi gi¶i hay”

Bµi to¸n cã lç hæng kh«ng? NÕu cã th× nã n»m ë ®©u?

Bµi 23 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè

Bài 24 Cho a là số cố định, còn x, y là những số biến thiên Tìm giá trị nhỏ nhất

Hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm Điều này xảy ra

khi và chỉ khi a+ ≠ 4 0 hay a≠ - 4

Vậy Min P= 0 khi a≠ ư 4

Bình luận:

Nhưng đầu bài có cho a≠ ư 4 không?

B Cực trị hình học

B.1 Dạng sai lầm thứ nhất

Bài 25 Cho tam giác đều ABC, điểm M trên cạnh BC (M không trùng với B và

C) Vẽ MD⊥AB tại D, ME ⊥AC tại E Xác định vị trí điểm M để diện tích tam

giác MDE lớn nhất

Lời giải sai:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M ≡H ; ME = MD ⇔ M là trung điểm của

cạnh BC Vậy khi M là trung điểm của cạnh BC thì S MDE lớn nhất

2EH MD= 2ME MD= 8 ME MD+ , vậy tại sao lời giải lại sai?

Bài 26 Cho tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 4cm, BC = 5cm Về bên

ngoài tam giác, vẽ hai nửa đường tròn đường kính AB, AC Một đường thẳng d

di động qua A cắt hai nửa đường tròn đường kính AB, AC lần lượt tại M và N (khác A) Tìm giá trị lớn nhất của chu vi tứ giác BCNM

H

E D

A

M

Lời giải cho “đáp số đẹp”

Gọi I là trung điểm của BC

- Chỉ ra ΔABC vuông tại A (theo định

lí Pitago đảo) nên BC = 2.AI

- Vẽ BE ⊥ CN tại E, dễ thấy tứ giác

BMNE là hình chữ nhật, suy ra

MN =BE BC≤

- Gọi D là trung điểm của MN Ta có

ID là đường trung bình của hình thang

BMNC, suy ra

MB NC+ = ID≤ AI =BC

Do đó C BCNM ≤BC BC BC+ + = 15cm (C BCNM là chu vi tứ giác BCNM)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi E trùng với C, D trùng với A

Vậy giá trị lớn nhất của chu vi tứ giác BCNM là 15cm

Bạn h∙y cho biết ý kiến của mình về lời giải trên

B.2 Dạng sai lầm thứ hai

Bài 27 Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = b, AB = c M là một điểm trên

cạnh BC Gọi E và F lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM và tam giác ACM Xác định vị trí của M để để diện tích tam giác AEF nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó theo b, c

Suy ra EAF =EMF = 90 0, do đó tứ giác

AEMF nội tiếp đường tròn đường kính EF

Bài 28 Cho đường tròn tâm O cố định, bán kính R không đổi và một điểm I cố

định ở bên trong đường tròn đó Hai dây cung AB và CD của đường tròn vuông góc với nhau tại I Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác IAC khi các dây cung AB và CD quay quanh I

Lời giải quá gọn:

Gọi IH và IM lần lượt là đường cao và

đường trung tuyến của tam giác AIC

Bài 29 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Xác định vị trí của điểm

M trên đường tròn sao cho nếu gọi D, E theo thứ tự là hình chiếu vuông góc

của M trên các đường thẳng AB, AC thì DE có độ dài lớn nhất

Lời giải “đẹp”:

Ta có ADM = AEM = 90 0,

Suy ra bốn điểm A, D, M, E cùng thuộc

đường tròn đường kính AM, suy ra

xảy ra khi và chỉ khi M ≡K

Vậy max DE = 2R khi và chỉ khi M ≡K

Có phải là khi M trùng với K thì max DE = 2R?

Bài 30 Cho đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác ABC Đường thẳng qua O cắt

hai cạnh CA, CB của tam giác theo thứ tự tại M và N Đường thẳng MN ở vị trí nào thì tam giác CMN có diện tích nhỏ nhất?

Lời giải (của một số học sinh đ∙ làm)

Gọi S là diện tích tam giác CMN

2 2 2

S r≥ S ⇔S ≥ S r ⇔ ≥S r

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi CM = CN, khi đó tam giác CMN cân tại C mà

CO là đường phân giác nên CO cũng là đường cao của tam giác CMN, hay

MN ⊥CO tại O

Vậy minS= 2r2 khi và chỉ khi MN ⊥CO tại O

Lời giải đ∙ đúng chưa? ý kiến của bạn thế nào?

B.3 Một số loại sai lầm khác thường mắc

Bài 31 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Điểm M di chuyển trên

nửa đường tròn Tiếp tuyến tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B theo thứ tự ở C và

D

1) Xác định vị trí điểm M diện tích tam giác MAB lớn nhất

2) Xác định vị trí điểm M chu vi tam giác MAB lớn nhất

3) Khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn tâm O thì ΔCOD có diện tích

1) 2) Tam giác AMB nội tiếp đường tròn (O) có cạnh AB là đường kính nên là

tam giác vuông

-Do MA và MB là hai cạnh góc vuông của tam giác AMB nên giả sử

- Từ đó tìm ra MaxCMAB = 6 R khi MA = MB = 2R

Max SMAB = 2 R2khi MA = MB = 2R

Như vậy S COD ≥S AMB, do đó S COD nhỏ nhất ⇔ S AMB nhỏ nhất Dễ thấy ΔAMB

không có diện tích nhỏ nhất (vì đáy AB cố định, còn đường cao MH có thể nhỏ

tuỳ ý), do đó ΔCOD cũng không có diện tích nhỏ nhất

4) Ta có COD 1.

AMB

C =MH ≥ Như vậy C COD ≥C AMB, do đó C COD nhỏ nhất

⇔ C COD =C AMB ⇔ OM = MH ⇔ H ≡ O ⇔ M là điểm chính giữa của nửa

đường tròn (O)

5) Ta có ODM =OBM =EFM =OEF nên tứ giác CEFD nội tiếp được trong

một đường tròn tâm K Do CD là dây của đường tròn (K) nên .

Do đó min KC R= ⇔CD=AB⇔M là điểm chính giữa của nửa đường tròn

Bình luận: Phải chăng những lời giải trên là đẹp?

Bài 32 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Điểm M thuộc cung BC

không chứa điểm A của đường tròn (O) Hạ MI, MK lần lượt vuông góc với

AB, AC tại I và K Xác định vị trí điểm M để độ dài đoạn thẳng IK đạt giá trị

lớn nhất

Lời giải “hoàn hảo?” (Hình 1)

- Lấy E, F lần lượt là hai điểm đối

xứng với M qua I, K Suy ra các tam giác

MAE và MAF cùng cân tại A, suy ra

⇔ AM là đường kính của đường tròn (O)

Vậy khi M là điểm đối xứng của A qua O thì độ dài IK đạt giá trị lớn nhất

Lời giải trên đ∙ thực sự hoàn hảo chưa? Có cần bổ xung hay sửa chữa gì không?

Hình 1

II.2.6 Phần giải đáp – Hướng dẫn – Cách khắc phục

A Cực trị Đại số

A.1 Dạng sai lầm thứ nhất

Trong bài làm có sử dụng nhiều BĐT, nhưng khi tìm điều kiện để biểu thức cần tìm đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) thì các dấu bằng không đồng thời xảy ra đã kết luận kết luận biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) hoặc

biểu thức không đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất)

Bài 1.

Giải đáp

Lời giải sai ở chỗ với x, y > 0 thì x y 2

y+ ≥x Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y, còn y 4,

x ≥ Dấu “=” xảy ra ⇔ y = 4x

Mặt khác có thể thấy x = y thì mâu thuẫn với giả thiết 1

1.

x y

+ ≤

Như vậy nguyên nhân của sai lầm trong lời giải trên là trong một bài toán mà

sử dụng nhiều bất đẳng thức để tìm cực trị nhưng các dấu “=” không đồng thời xảy ra

Vậy giá trị nhỏ nhất của F x y( ), là 2

3, giá trị này đạt đ−ợc khi

1 , 0 3

y y

Vậy Max D = 16, giá trị này đạt đ−ợc khi và chỉ khi x = 1 và y = 2

Lời giải trên tuy đúng song có vẻ thiếu “tự nhiên”, cách 2 sau đây sẽ mang tính thuyết phục hơn

Cách 2:

Biểu thức tổng quát dạng P x y( , ) =ax2+bxy cy+ 2+dx ey h+ + ( , ,a b c≠ 0)

Cách giải: Biến đổi P x y( , )về một trong hai dạng sau:

Giá trị này đạt đ−ợc khi và chỉ khi ( , ) 0

y x

Vậy Max D = 16, giá trị này đạt đ−ợc khi và chỉ khi x = 1 và y = 2

A.2 Dạng sai lầm thứ hai

Không xác định điều kiện xảy ra dấu bằng trong BĐT f ≥m (hay f m≤ ),

hoặc điều kiện xảy ra dấu bằng không thoả mãn giả thiết

⇔ 2 2 2

3 27 1

A≥ − ch−a chØ ra tr−êng hîp x¶y ra

Chỉ xảy ra A= 4 ab khi ở (1) và (2) xảy ra dấu đẳng thức, tức là x = a và x

= b Nh− vậy đòi hỏi phải có a = b Nếu a ≠b thì không có đ−ợc A= 4 ab

x x