Chứng minh AH vuông góc với MN.
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi gồm: 01 trang
Câu 1 (3 điểm)
a) Vẽ đồ thị của hàm số y = 2x - 4
2 3 1
2 3 2
2
P
Câu 2 (2 điểm)
Cho phương trình x2 -3x + m = 0 (1) (x là ẩn)
a) Giải phương trình (1) khi m = 1
b) Tìm các giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn
Câu 3 (1 điểm)
Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 48km Một canô đi từ bến A đến bến B, rồi quay lại bến A Thời gian cả đi và về là 5 giờ (không kể thời gian nghỉ) Tính vận tốc của canô trong nước yên lặng, biết vận tốc của nướclà 4km/h
Câu 4 (3 điểm)
Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a, M là một điểm thay đổi trên cạnh BC (M khác B) và N là điểm thay đổi trên cạnh CD (N khác C) sao cho MAN = 450 Đường chéo
BD cắt AM và AN lần lượt tại P và Q
a) Chứng minh tứ giác ABMQ là tứ giác nội tiếp
b) Gọi H là giao điểm của MQ và NP Chứng minh AH vuông góc với MN
c) Xác định vị trí điểm M và điểm N để tam giác AMN có diện tích lớn nhất
Câu 5 (1 điểm)
Chứng minh: a3 + b3 ab(a+b) với mọi a, b 0 Áp dụng kết quả trên, chứng minh
a b b c c a với mọi a, b, c là các số dương thỏa mãn a.b.c = 1
Hết -Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2:
Trang 2Câu 1 (3 điểm)
a) Vẽ đồ thị của hàm số y = 2x - 4
Đồ thị hàm số y = 2x - 4 là đường thẳng
cắt Ox tại điểm (2; 0) và cắt Oy tại điểm (0; -4)
b) Giải hệ phương trình
2 3 1
2 3 2
Thay x = 2y-3 vào (2) ta được y = 2.(2y - 3) -3 y = 3
Thay y = 3 vào (1) ta được x = 2.3 - 3 x = 3
Vậy nghiệm của hệ phương trình 3
3
x y
hay (3; 3)
1
1
2
3
4
5
y = 2∙x 4
c) Rút gọn biểu thức: 3
2
2
P
2
a a
2
Câu 2 (2 điểm)
Cho phương trình x2 -3x + m = 0 (1) (x là ẩn)
a) Giải phương trình (1) khi m = 1
Với m = 1 ta có phương trình: x2 -3x + 1 = 0
= b2 - 4ac = (-3)2 - 4.1.1 = 5 > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt
1
b x
a
b x
a
Vậy với m = 1 thì tập nghiệm của phương trình 3 5; 3 5
S
b) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Thì > 0 9 - 4m >0 9
4
m
Khi đó, theo Vi-et ta có:
3
b
a c
a
Vậy m = -3 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn đ/k 2 2
Câu 3 (1 điểm)
Gọi x (km/h) là vận tốc của ca-nô lúc nước yên lặng (đ/k x > 4)
Khi đó Vận tốc ca-nô lúc xuôi dòng x + 4 (km/h), vận tốc ca-nô lúc ngược dòng x - 4 (km/h)
Thời gian ca-nô đi xuôi dòng 48
4
x (h), thời gian ca-nô đi ngược dòng
48 4
x (h)
Thời gian cả đi và về (không tính thời gian nghỉ) là 5 giừo nên ta có phương trình 48 48 5
x x (*) phương trình (*) 5x2 96x 80 0 ( ' 2704 ' 52) x1 = 4 4
5
(loại); x2 = 20 Vậy vận tốc của ca-nô lúc nước yên lặng là 20 km/h
Trang 3Câu 4 (3 điểm)
Phần b
Do C/m phần a: ABMQ là tứ giá c nội tiếp
C/m tương tự phần a ta được ADNQ là tứ giá c nội tiếp
APN = 900 NP AM NP là đường cao (2)
H là trực tâm AH là đường cao AH MN
Phần a
A, B cùng nhìn MQ dưới góc 450 A, B thuộc cung chứa góc 450
dựng trên đoạn MQ A, B, M, Q cùng thuộc 1 đường tròn
ABMQ là tứ giá c nội tiếp
Phần c
S AMN = SABCD - S ABM - S ACN - S CMN
= a2 - 1
2a.BM -
1
2a.DN -
1
= a2 - 1
2a.BM -
1
2a.DN -
1
2(a-BM) a-DN( ) =
1
2a
2 - 1
Để S AMN đạt giá trị lớn nhất thì BM.DN nhỏ nhất BM = 0 hoặc DN = 0
Do M ≠ B BM ≠ 0 cần có DN = 0 N ≡ D M ≡ C
M
H P
N Q
C B
Câu 5 (1 điểm)
a) Chứng minh: a3 + b3 ab(a+b) với mọi a, b 0
Ta cần chứng minh: a3 + b3 - ab(a+b) 0
Ta có a3 + b3 - ab(a+b) = (a+b)(a2 - ab + b2) - ab(a+b) = (a+b)(a2 + b2 - 2ab + b2) = (a+b)(a - b)2
Do a, b 0 a + b 0 và (a - b)2 0 (a+b)(a - b)2 0 Vậy a3 + b3 ab(a+b) với mọi a, b 0 b) Áp dụng kết quả trên, chứng minh bất đẳng thức 3 13 3 13 3 13 1
a b b c c a với mọi a, b, c là các số dương thỏa mãn a.b.c = 1
Ta có a3 + b3 ab(a+b) kết hợp với a.b.c = 1
a3 + b3 +1 ab(a+b) +abc = ab(a+b+c)
1 1
a b ab a b c a b c Tương tự 3 13
1
a
b c a b c và 3 13
1
b
c a a b c