Kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C, cắt tia BM tại K.. Kẻ BE vuông góc với CK.. Tính các cạnh của tam giác MCK.. Cho hình thoi ABCD cạnh bằng 1, hai đường chéo cắt nhau tại O.. Gọi R
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN THANH HÀ NĂM HỌC 2009 – 2010 – LỚP 9 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN
Môn thi: Toán Thời gian làm bài 150’
Đề bài
Câu 1: (1,0 đ)
Tính B = 4 + 7 − 4 − 7
Câu 2: (2,5 đ)
Cho đường thẳng (d) có phương trình: 2(m-1)x+(m-2)y=2
a) Vẽ (d) với m =3
b) Chứng minh d luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m
c) Tìm m để (d) cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất
Câu 3: (2,0 đ) Cho biểu thức:
2 :
1
x
a) Rút gọn P
b) Tìm các số tự nhiên x để 1
P là số tự nhiên
c) Tính giá trị của P với x = − 4 2 3
Câu 4: (1,0 đ) Với 1
2
x ≥ − Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
P = x + x + + x + − x
Câu 5: (3.5 đ)
1 Cho tam giác vuông cân ABC (góc A = 900 , AB=AC) Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho 1
3
MC
MA = Kẻ
đường thẳng vuông góc với AC tại C, cắt tia BM tại K Kẻ BE vuông góc với CK
a) Chứng minh : tứ giác ABEC là hình vuông
b) Chứng minh: 12 1 2 12
AB = BM + BK
c) Biết BM = 6cm Tính các cạnh của tam giác MCK
2 Cho hình thoi ABCD cạnh bằng 1, hai đường chéo cắt nhau tại O Gọi R1và R2 lần lượt là bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và ABD Chứng minh rằng 2 2
4
R + R =
Đáp án:
Trang 2Câu 1: (1 đ)
2
B= 4+ 7 - 4- 7 >0
B =2
B= 2(vì B >0)
Câu 2: (2,5 đ)
b) 2(m-1)x+(m-2)y=2 luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m
⇔m(2x+y)=2+2x+2y luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m
1
2
x y
x y
x
y
+ =
⇔ + + =
=
⇔ = −
Vậy đồ thị hàm số luôn đi qua 1 điểm cố định (1:-2) với mọi m
Câu 3: (2,0 đ)
a) Rút gọn P
ĐKXĐ: x ≥ 0, x ≠ 1
P = ( x + 1)2
b) Tìm các số tự nhiên x để 1
P là số tự nhiên
2
( 1)
P = x
+ là số tự nhiên
2
( x 1)
⇔ + là ước của 1, mà x + 1 >0
⇔ x + 1 =1 ⇔ x =0 (tm)
Vậy x =0 thì 1
P là số tự nhiên
c) Tính giá trị của P với x = − 4 2 3 ( 3 1) = − 2
P = 3
Câu 4: (1,0 đ) Với 1
2
x ≥ − Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Trang 32
2
ax
3 3
ó 2 5 2 (2 1)( 2)
2 3x+3+4 x+3 4 10 ( 3 2)
ây P
3 2 0
m
x
V
x
+
+ = +
+ − =
Câu 5: (3.5 đ)
1 Cho tam giác vuông cân ABC (góc A = 900 , AB=AC) Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho 1
3
MC
MA = Kẻ
đường thẳng vuông góc với AC tại C, cắt tia BM tại K Kẻ BE vuông góc với CK
a) Chứng minh : tứ giác ABEC là hình vuông
b) Chứng minh: 12 1 2 12
AB = BM + BK
ΔABK=ΔEFB
BM=BF
⇒
Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam
giác vuông BFK có
BE
BF BK
AB BM BK
F
E
K A
M
c) Biết BM = 6cm Tính các cạnh của tam giác MCK
Áp dụng định lý pitago trong tam giác vuông ABM có:
AB2 + AM2 = BM2
AB2 +(2/3AB)2 = BM2
AB = 18
13 (cm)
Trang 4· ·
·
MC = AC= AB=
3
ó tg
2
2 13 13 3
cm
C KMC tg AMB
MK cm
⇒
=
Cách 2:
1 18
13
CKM ABM
MK CK CM
MB AB AM
MK CK
:
2 Cho hình thoi ABCD cạnh bằng 1, hai đường chéo cắt nhau tại O Gọi R1và R2 lần lượt là bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và ABD Chứng minh rằng 2 2
4
R + R =
- Kẻ đường thẳng d là trung trực của AB cắt AC, BD lần lượt
tại K và I
- Chứng minh được I và K lần lượt là tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC và ABD
Từ B kẻ BM // AC cắt d tại M ⇒ BM ⊥ BD
- tứ giác AMBK là hình thoi ⇒BM = AK = R2
- Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác
vuông MBI có
2
( ) 2
4
BI MB BH
AB
R R
R R
D
d
M
K
I
B
