Viết phương trình mặt cầu S cĩ tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc với α .b.. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua tâm I đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC và vuơng gĩc với mặt phẳng ABC..
Trang 1Tóm Tắt Lý Thuyết
ABCD A B C D
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG
GIAN
Trang 2Các Dạng Toán Thường Gặp
Dạng 1: Chứng minh A,B,C là ba đỉnh tam giác
• A,B,C là ba đỉnh tam giác ⇔ → →
AC,
AB khơng cùng phương
• S∆ ABC = 21
→
→AC]
,[AB ⇒ Đường cao AH = 2.S∆ABC
BC
• Shbh = [AB→ ,AC]→
Dạng 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành
• ABCD là hình bình hành ⇔ uuur uuurAB DC=
Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện:
qua B
n BC vtpt
+ Thay tọa độ A vào phương trình mp(BCD) và cmA∉(BCD)
• VABCD = 16 [AB, AC].AD
• Thể tích hình hộp : / / / /
/ = ;
uuuuruuur uuur
ABCD A B C D
Dạng4: Tìm hình chiếu của điểm M
1 H là hình chiếu của M trên mp(α )
Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuơng gĩc (α) : ta cĩ uur ra d =n( ) α
1.Điểm M / đối xứng với M qua mp(α )
Tìm hình chiếu H của M trên mp(α) (dạng 4.1)
Trang 3 M/ đối xứng với M qua (α)⇔H là trung điểm của MM/
/ / /
222
2 Điểm M / đối xứng với M qua đường thẳng d:
Tìm hình chiếu H của M trên d ( dạng 4.2)
M/ đối xứng với M qua d ⇔ H là trung điểm của MM/
/ / /
222
Tóm Tắt Lý Thuyết
1) Vectơ pháp tuyến của mpα : nr≠ 0r là véctơ pháp tuyến của (α) khi giá của nrvuơng gĩc với mp(α)
2) Cho hai véc-tơ khơng cùng phương, cĩ giá song song hoặc nằm trong mp(α) uura
= (a1; a2; a3) , uurb = (b1; b2; b3) Khi đĩ: = ,
uur uur uur
3) Phương trình mp(α) qua M(xo ; yo ; zo) cĩ vtpt n = (A;B;C)
(Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0
7) Vị trí tương đối của hai mp (α1) và (α2) :
Trang 41 2
1 2
.) )
Các Dạng Toán Thường Gặp
Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C :
Dạng 5: Mp(α) chứa d và song song d /
° Lấy điểm M trên d
° Tìm tọa độ uur uuura d, a d/
Dạng 7: Mp(α) chứa d và đi qua A
° Lấy điểm M trên d
ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
Trang 5Tóm Tắt Lý Thuyết
1).Phương trình tham số của đường thẳng d qua M(xo ;yo ;zo) cĩ vtcp ar= (a1;a2;a3)
3).Vị trí tương đối của 2 đường thẳng d , d : Ta thực hiện hai bước ’
+ Tìm quan hệ giữa 2 vtcp ard, auurd /
+ Tìm điểm chung của d , d’ bằng cách xét hệ:
Vơ nghiệm d d// 'Khơng cùng phương Vơ nghiệmCĩ nghiệm d , dd cắt d’ chéo nhau’
4).Khoảng cách :
a) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ :
+ Viết phương trình mp(α ) chứa A và ⊥ ∆
+ Tìm giao điểm H của ∆ và (α )
+ Tính d(A,∆) = AH
b) Khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và (α ) với ∆//( ) : α
+ Lấy M trên ∆
+ d( ,( ))∆ α =d M( ,( ))α
c) Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau ∆ , ∆’ :
+ Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa ∆’ và //∆
Trang 6b) Gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng : Gọi ϕ là gĩc giữa d và (α )
Các Dạng Toán Thường Gặp
Dạng 1: : Đường thẳng d đi qua A,B
Dạng4: Viết phương trình d’là hình chiếu của d lên ( α) :
* Loại 1: Chiếu lên mp tọa độ (Oxy), (Oxz), (Ozx).
+ Lấy 2 điểm M, N trên d
+ Tìm hình chiếu vuơng gĩc M’, N’ của 2 điểm M, N lên mp tọa độ đĩ.+
' '
' ':
uuuuuurr
* Loại 2: Chiếu lên mặt phẳng ( α) bất kỳ
+ Viết pt mp(β) chứa d và vuơng gĩc mp(α)
+ d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β): d/ = (α) ∩ (β)
° Lấy điểm M trên d’ ( điểm M trên d’ cĩ tọa độ là nghiệm của hệ α
M d
Trang 7
A d
qua
vtcp a [ a , a ]
Dạng 6: Phương trình ∆ vuơng gĩc chung của d 1 và d 2 :
•Gọi ∆ là đường vuơng gĩc chung của d1 và d2
• Đưa phương trình của 2 đường thẳng d1 và d2 về dạng tham số
•Tìm uuur uuura d1 ,a d2 lần lượt là VTCP của d1 và d2.
•Gọi M( theo t ) ∈d1, N( theo t’ ) ∈d2 Tính MNuuuur= ?
Dạng 7: Phương trình đường thẳng d qua A và d cắt cả d 1 ,d 2 :
d = (α) ∩ (β) với mp(α) = (A,d1) ; mp(β) = (A,d2)
Dạng 8: Phương trình đường thẳng d // ∆ và cắt d 1 ,d 2 :
d = (α) ∩ (β) với mp(α) chứa d1 // ∆ ; mp(β) chứa d2 // ∆
Dạng 9: Phương trình đường thẳng d qua A và ⊥ d 1 , cắt d 2 :
d = AB với mp(α) qua A, ⊥ d1 ; B = d2 ∩( α)
Dạng 10: Phương trình đường thẳng d ⊥ (P) cắt d 1 , d 2 :
d = (α )∩ (β) với mp(α) chứa d1 ,⊥(P) ; mp(β) chứa d2 , ⊥ (P)
MẶT CẦU
Tóm Tắt Lý Thuyết
1.Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c), bán kính R
( − ) (2+ − ) (2+ − )2 =r2(S) : x a y b z c (1)
*(S) : x2+ + −y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 (2) (− − + = với a2+ + − >b2 c2 d 0 )
d = r : (α) tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, (α): tiếp diện)
*Tìm tiếp điểm H (là hình chiếu vuơng gĩc của tâm I trên mp( ) )α
Trang 8+ Viết phương trình đường thẳng d qua I và vuơng gĩc mp(α) : ta cĩ uur ra d =n( ) α
*Tìm bán kính R và tâm H của đường trịn giao tuyến:
+ Bán kính R= r2−d2( ,( ))I α
+ Tìm tâm H ( là hình chiếu vuơng gĩc của tâm I trên mp(α) )
3 Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu
+ Thay ptts (1) vào phương trình mặt cầu (2)⇒giải tìm t =?
+ Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm M(?;?;?)
Các Dạng Toán Thường Gặp
Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A
Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp(α)
Dạng 5: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Trang 9Dạng 6:Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I ∈ (α)
(S) : x2+ + −y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 − − + =
+ Thay tọa độ A, B, C vào ptmc (S) ta được 3 pt
+ I(a,b,c)∈ (α) ta được 1 pt
+ Giải hệ phương trình trên tìm a, b, c, d =?
Dạng 7: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A
=
rvtpt n IA
+ Tìm uuur uuura d1 ,a d2 lần lượt là VTCP của d1 và d2.
+ Vtpt của (α): rn=[uuur uuura d1,a d2 ]=(A;B;C)
+ Khi đĩ: ( ) : Ax By Czα + + + =D 0
+ Tìm D từ pt d(I , α ) = r
Bài Tập Aùp Dụng
Bài 1 : Cho A(-1;2;3), B(2;-4;3), C(4;5;6)
a)Viết phương trình mp đi qua A và nhận vectơ (1; 1;5)nr − làm vectơ pháp tuyếnb)Viết phương trình mp đi qua A biết rằng hai véctơ cĩ giá song song hoặt nằm trong mp đĩ là (1; 2; 1), (2; 1;3)ar − br −
c)Viết phương trình mp qua C và vuơng gĩc với đường thẳng AB
d)Viết phương trình mp trung trực của đoạn AC
e)Viết phương trình mp (ABC)
Bài 2 :Cho A(-1;2;1), B(1;-4;3), C(-4;-1;-2)
a)Viết phương trình mp đi qua I(2;1;1) và song song với mp (ABC)
b)Viết phương trình mp qua A và song song với mp (P):2x- y- 3z- 2 = 0
c)Viết ptmp qua hai điểm A ,B và vuơng gĩc với mp (Q):2x- y+2z- 2 = 0
d)Viết ptmp qua A, song song với Oy và vuơng gĩc với mp (R):3x – y-3z-1=0e)Viết phương trình mp qua C song song với mp Oyz
f).Viết phương trình mp(P) qua các điểm là hình chiếu của điểm M(2;-3;4) lên các trục toạ độ
Bài 3 :Tìm phương trình tham số của đường thẳng
a) Qua A(3;-1;2) và song song với đường thẳng
1 23
Trang 10c) Qua M(1;1;4) và vuơng gĩc với hai đường thẳng (d1):
1 23
b)Viết phương trình đường vuơng gĩc chung của chúng
a/ Trên mp(Oxy) b/ Trên mp(Oxz) c/ Trên mp(Oyz)
Bài 7 :Trong khơng gian Oxyz cho bốn điểm A(3;-1;0), B(0;-7;3),
C(-2;1;-1), D(3;2;6)
1) Chứng minh hai đường thẳng AB và CD chéo nhau
2)Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD)
Bài 8 :Trong khơng gian Oxyz cho điểm E(1;2;3) và ( )α :x+2y−2z+ =6 0.a) Viết phương trình mặt cầu (S) cĩ tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc với ( )α b) Viết phương trình tham số của đường thẳng ( )∆ đi qua E và vuơng gĩc ( )α
Bài 9 :Trong khơng gian Oxyz cho hai đường thẳng :
1) Chứng minh d d chéo nhau.1; 2
2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song với 1 d 2
Bài 10 :Trong khơng gian Oxyz cho bốn điểm A(-2;1;-1), B(0,2,-1), C(0,3,0), D(1,0,1)
a) Viết phương trình đường thẳng BC
Trang 11b) Chứng minh 4 điểm A, B, C, D khơng đồng phẳng Tính thể tích tứ diện ABCD
Bài 11 :Cho ( )α : 2x+5y z+ +17 0= và đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng : 3x – y + 4z – 27 = 0 và 6x + 3y – z + 7 = 0
a/ Tìm giao điểm A của (d) và ( )α
b/ Viết phương trình đường thẳng ( )∆ đi qua A, vuơng gĩc với (d) và nằm trong mp ( )α
Bài 12 :Trong khơng gian Oxyz cho bốn điểm A(3;-2;-2) ; B(3,2,0); C(0,2,1), D(-1,1,2)
a/ Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với (BCD)
b/ Viết phương trình mặt phẳng song song với (BCD) và cách A một khoảng là 5
Bài 13 :Trong khơng gian Oxyz cho điểm A(-1;2;3) và đường thẳng (d) cĩ phương trình : 2 1
a/ Hãy tìm tọa độ hình chiếu vuơng gĩc của A trên (d)
b/ Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với (d)
Bài 14 :Trong khơng gian Oxyz cho điểm A(1;4;2) và mặt phẳng (P) cĩ phương trình : x + 2y + z – 1 = 0
a/ Hãy tìm tọa độ hình chiếu vuơng gĩc của A trên (P)
b/ Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với (P)
Bài 15 :Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng (P) :x+2y z− + =5 0 và
a/ Hãy tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)
b/ Viết phương trình hình chiếu vuơng gĩc của (d) lên (P)
Bài 16 :Trong khơng gian Oxyz cho ( )α :x−2y−2z+ =3 0 và
b/ Viết phương trình đường thẳng ( )∆ đi qua A, vuơng gĩc với (d) và nằm trong mp ( )α
Bài 17 :Trong khơng gian Oxyz cho ( )α : 2x y z− + + =2 0 và
( )β :x y+ +2z− =1 0
a/ Hãy phương trình tham số giao tuyến của ( )α và ( )β
b/ Viết phương trình đường thẳng ( )∆ đi qua M(1,4,-1) biết ( )∆ song song với hai mặt phẳng ( )α và ( )β
Trang 12Bài 18 :Trong khơng gian Oxyz cho A(5,-1,0), B(2,-1.6),C(-3,-1,-4)
a) Chứng minh ABC là tam giác vuơng Tính diện tích tam giác ABC và độ dài đường cao AH của tam giác ABC
b) Viết phương trình đường thẳng ( )∆ đi qua tâm I đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC và vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC)
Bài 19 :Trong khơng gian Oxyz cho hai đường thẳng ( ): 1 2
a Chứng minh rằng (d) và (d’) là hai đường thẳng chéo nhau
b Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và song song với (d’)
Bài 20 :Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (4 ; -3 ; 2 ) và đường thẳng ( d) cĩ phương trình tham số
a) Viết phương trình mp( P) qua điểm M và chứa đường thẳng (d)
b) Viết phương trình mp ( Q ) : biết mp(Q) qua M và vuơng gĩc đường thẳng (d) c) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuơng gĩc của M lên đường thẳng (d)
Bài 21 :Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1 ; 4 ; 2) và mặt phẳng (P) cĩ phương trình : x + 2y + z – 1 = 0
a) Hãy tìm tọa độ của hình chiếu vuơng gĩc của A trên mặt phẳng (P)
b) Viết phương trình của mặt cầu tâm A, tiếp xúc với (P)
Bài 22 : Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(−1 ; 2 ; 3) và đườngthẳng d cĩ phương trình : 2 1
.a) Hãy tìm tọa độ của hình chiếu vuơng gĩc của A trên d
b) Viết phương trình của mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d
Bài 23 :Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
a Chứng minh rằng (d) cắt (P) tại A Tìm tọa độ điểm A
b Viết phương trình đường thẳng ∆đi qua A , nằm trong (P) và vuơng gĩc với (d)
Bài 24 :Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
Trang 13c Viết phương trình đường thẳng (∆) là hình chiếu của đường thẳng (d) lên mp(P).
Bài 25 :Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 4 điểm A(−2;1;−1) B(0;2;
−1) ,C(0;3;0) , D(1;0;1)
a Viết phương trình đường thẳng BC
b Chứng minh rằng 4 điểm A,B,C,D khơng đồng phẳng
a Tìm điểm N là hình chiếu vuơng gĩc của điểm M lên đường thẳng (∆2)
b Viết phương trình đường thẳng cắt cả hai đường thẳng ( ) ,(∆1 ∆2) và nằm trong mặt phẳng (P)
Bài 27 :Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng
a Chứng minh rằng đường thẳng ( )∆1 và đường thẳng ( )∆2 chéo nhau
b Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng ( )∆1 và song song với đường thẳng ( )∆2
Bài 28:Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0) , mặt phẳng (P ) :x y+ +2z+ =1 0 và mặt cầu (S) : x2+y2+ −z2 2x+4y−6z+ =8 0
a Tìm điểm N là hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P)
b Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
Bài 29 :Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng
b Viết phương trình đường vuơng gĩc chung của ( ),( )d1 d 2
Bài 30 :Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
Trang 14a.Viết phương trình mặt cầu cĩ tâm nằm trên (d), bán kính bằng 3 và tiếp xúc với (P).
b Viết phương trình đường thẳng (∆) qua M(0;1;0) , nằm trong (P) và vuơng gĩc với đường thẳng (d)
Bài 31 :Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho A(1;2;3) và đường thẳng d cĩphương trình 1 1 1
+
1 Viết phương trình mặt phẳng α qua A và vuơng gĩc d
2 Tìm tọa độ giao điểm của d và mặt phẳng α
Bài 32 :Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;4)1) Viết phương trình mặt phẳng α qua ba điểm A, B, C Chứng tỏ OABC là tứ diện
2) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện OABC
Bài 33 :Trong Kg Oxyz cho điểm A(2;0;1), mặt phẳng (P): 2x y z− + + =1 0
và đường thẳng (d):
122
a) Lập phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P)
b) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A, vuơng gĩc và cắt đường thẳng (d)
Bài 34 :Trong Kg Oxyz cho điểm A(3;4;2), đường thẳng (d): 1
a) Lập phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) và cho biết toạ độ tiếp điểm
b) Viết phương trình đường thẳng qua A, vuơng gĩc (d) và song song với mặt phẳng (P)
Bài 35 :Trong khơng gian cho hai điểm A(1;0;-2) , B( -1 ; -1 ;3) và
mặt phẳng (P) : 2x – y +2z + 1 = 0
a) Viết phương trình mặt phẳng ( Q) qua hai điểm A,B và vuơng gĩc với mặtphẳng (P)
b) Viết phương trình mặt cầu cĩ tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P)
Bài 36 :Trong khơng gian (Oxyz) cho đường thẳng (d):
132
Trang 151) Chứng minh (∆1) và (∆2) chéo nhau.
2) Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đĩ song song với hai đường thẳng (∆1) và (∆2).
Bài 38 :Trong khơng gian Oxyz cho 2 điểm A(5;-6;1) và B(1;0;-5)
1) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (∆) qua B cĩ véctơ chỉ phương ur
(3;1;2)
2).Tính cosin gĩc giữa hai đường thẳng AB và (∆)
3) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và chứa (∆)
Bài 39 :Trong khơng gian Oxyz, cho các điểm A(-1; 2; 0), B(-3; 0; 2),
C(1; 2; 3), D(0; 3; -2)
a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
b) Viết phương trình mặt phẳng ( )α chứa AD và song song với BC
a) Tìm tọa độ hình chiếu vuơng gĩc H của A lên d
b) Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A qua đường thẳng d
b) Viết phương trình hình chiếu vuơng gĩc của đường thẳng ( )∆ trên (P)
Bài 43 :Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 2− )và đường
Trang 16b) Tìm tọa độ của điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng (d).
Bài 44 :Trong khơng gian Oxyz cho hai đường thẳng
a) Viết phương trình mặt phẳng ( )α chứa ( )∆1 và song song ( )∆2
b) Tính khoảng cách giữa đường thẳng ( )∆2 và mặt phẳng ( )α
Bài 45 :Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho M(0 ; 1; –3), N(2 ; 3 ; 1).1) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua N và vuơng gĩc với MN.2) Viết phương trình tổng quát của mặt cầu (S) đi qua điểm M, điểm N và tiếp xúc với mp(P)
Bài 46 :Trong khơng gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3)
1 Viết phương trình mặt phẳng (α ) đi qua M và song song với mặt phẳng
2 3 4 0
2 Viết phương trình mặt cầu (S) cĩ tâm I(1;1;1) và tiếp xúc với mặt phẳng (α ).
Bài 47 :Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0) ,
(P ):x y+ +2z+ =1 0 và mặt cầu (S) : x2+y2+ −z2 2x+4y−6z+ =8 0
1 Tìm điểm N là hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P)
2 Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
Bài 48 :Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 4 điểm A(−2;1;−1) B(0;2;
−1) ,C(0;3;0) , D(1;0;1)
a Viết phương trình đường thẳng BC
b Chứng minh rằng 4 điểm A,B,C,D khơng đồng phẳng
Bài 50 :Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 6)
1 Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C Tính diện tích tam giác ABC
2 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Viết phương trình mặt cầu đường kính OG
Bài 51 :Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M (−1; −1; 0) và (P) : x+ y – 2z – 4 = 0
