Bài giảng: PP tọa độ trong không gian

Một số bài toán tính khoảng cách liên quan đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d đi qua điểm M 0 và nhận u ... 1 Tính độ dài đườn

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Chủ đề 1 Hệ tọa độ trong không gian - 2

A Tóm tắt lý thuyết -2

B Bài tập -4

Chủ đề 2 Tích có hướng - 6

A Tóm tắt lý thuyết -6

B Bài tập -7

Chủ đề 3 Phương trình mặt phẳng - 8

1 Tóm tắt lý thuyết -8

2 Các ví dụ - 12

3 Bài tập - 13

Chủ đề 4 Phương trình đường thẳng - 16

A Tóm tắt lý thuyết và các ví dụ - 16

B Bài tập - 21

Bài tập tổng hợp về mặt phẳng và đường thẳng - 23

Tổng kết về khoảng cách và góc - 26

Chủ đề 5 Phương trìõnh mặt cầu - 29

A Phương trình mặt cầu - 29

B Bài tập về mặt cầu - 29

Chủ đề 1 Hệ tọa độ trong không gian

A Tóm tắt lý thuyết

1 Hệ trục tọa độ trong không gian

Định nghĩa: Hệ trục tọa độ Oxyz

2 Tọa độ của một véc-tơ, một điểm

 Tọa độ của một véc-tơ: u x;y;z     u   xi   y j   zk 

Để xác định tọa độ của véc-tơ u



ta làm như sau:

+) Lấy điểm A sao cho OA   u 

+) Lấy H, P là hình chiếu của A

lên Oxy, Oz; M, N là hình chiếu

3 Tích vô hướng của hai véc-tơ: Cho các véc-tơ u1 x ;y ;z1 1 1

Hỏi trong các bộ điểm nĩi trên, bộ điểm nào thẳng hàng, bộ điểm nào tạo thành một tam giác?

Bài 5 Cho các điểm A   1;3; 4  , B 5;0;5  , C 1;2; 1   , D 1; 1;2   

1) Chứng tỏ rẳng ba điểm A, B, C thẳng hàng; ba điểm A, B, D khơng thẳng hàng

2) Chứng minh gĩc ADB  tù

Bài 6 Cho tam giác ABC với A 1; 1;1   , B 0;1;2  , C 1;0;1  

1) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác

2) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

Bài 7 Cho tam giác ABC với A   11;8;4 , B    1; 7; 1  , C 9; 2;4    Hãy chứng tỏ tam giác vuơng và tính diện tích của nĩ

Bài 8 Cho hình hộp ABCD.A 'B 'C' D' cĩ A 4;1; 2    , C    3; 2;17  , B ' 4;5;10   ,

D'   7; 2;11 Tìm tọa độ các đỉnh cịn lại của hình hộp

Bài 9 Cho hình hộp ABCD.A 'B 'C' D' cĩ A   1;0; 1   , B     2; 1; 2 , D   1;1; 1  ,

Bài 12 Cho tứ diện ABCD với A 1;0;0  , B 0;1;0  , C 0;0;1  , D   2;1; 1  

1) Tính gĩc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện

2) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD Tìm tọa độ trung điểm G của MN

Bài 13 Cho tứ diện ABCD với A 3;0;0   , B 0;3 3;0   , C   3;0;0  , D 0; 3;3   Chứng minh tứ diện cĩ các cặp cạnh đối diện vuơng gĩc với nhau

Bài 14 Cho tam giác ABC với A 1;1;1  , B 5;1; 2   , C 7;9;1   Biết phân giác trong gĩc A cắt BC tại D Tìm tọa độ điểm D

Bài 15 Cho tam giác ABC với A 1;2; 1   , B 2; 1;3   , C   4;7;5  Tính độ dài đường phân giác trong gĩc B

Chủ đề 2 Tích có hướng

A Tóm tắt lý thuyết

1 Định nghĩa: cho u    x;y;z 

3 Ứng dụng 1: kiểm tra điều kiện cùng phương và đồng phẳng

1) Điều kiện cùng phương của hai véc-tơ: u / / v     u, v     0 

Chú ý: biểu thức   u, v w     

được gọi là tích hồn tạp của ba véc-tơ u 

     

B Bài tập Bài 1 Cho a 2;3;1  

1) Tìm ràng buộc giữa x, y, z để M x;y;z    mp ABC  

2) Xác định tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành Hãy tính diện tích của hình bình hành đĩ

Chủ đề 3 Phương trình mặt phẳng

1 Tóm tắt lý thuyết

a Véc-tơ chỉ pháp tuyến và véc-tơ

chỉ phương của mặt phẳng

 Véc-tơ n   0 

được gọi là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng   P nếu n



cĩ giá vuơng gĩc với   P Ký hiệu n     P

, cùng phương với một véc-tơ pháp tuyến của một mặt

phẳng đều là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng ấy:

 

1 2

hoặc   P / /u 

Chú ý:

☞ Mọi véc-tơ khác 0 

, cùng phương với một véc-tơ chỉ phương của một mặt

phẳng đều là véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng ấy:

 

1 2

 Quan hệ giữa véc-tơ pháp tuyến và véc-tơ chỉ phương của cùng một mặt phẳng

☞ Véc-tơ pháp tuyến và véc-tơ chỉ phương của cùng một mặt phẳng vuông góc với nhau

b Phương trình tổng quát của mặt

phẳng Xét bài toán: lập phương trình mặt phẳng   P đi qua điểm M0 x ;y ;z0 0 0, nhận véc-tơ

hay   P : Ax  By  Cz  D  0 (D   Ax0 By0 Cz0)

Kết luận:

☞ Mỗi mặt phẳng trong khơng gian đều cĩ phương trình dạng:

Ax  By  Cz  D  0(phương trình tổng quát của mặt phẳng), trong đĩ A, B, C là các hằng số khơng đồng thời bằng 0

☞ Ngược lại, người ta chứng minh được: mỗi phương trình Ax  By  Cz  D  0

với A, B, C là các hằng số khơng đồng thời bằng 0 là phương trình của một mặt phẳng

c Một số dạng đặc biệt của phương

☞ Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ

  P đi qua gốc tọa độ  phương trình của   P cĩ dạng Ax  By  Cz  0

(A2  B2 C2  0)

☞ Hai mặt phẳng đĩ cắt nhau khi và chỉ khi hai bộ số  A;B;C ,  A ';B ';C' 

khơng tỷ lệ, tức là khơng tồn tại t sao cho

☞ Hai mặt phẳng đĩ song song khi và chỉ khi hai bộ số  A;B;C ,  A ';B ';C' 

tỷ lệ và hai bộ số  A;B;C; D ,  A ';B ';C';D'  khơng tỷ lệ, tức là tồn tại t sao cho

☞ Hai mặt phẳng đĩ song song khi và chỉ khi hai bộ số  A;B;C; D  ,

 A ';B ';C';D'  tỷ lệ, tức là tồn tại t sao cho

e Khoảng cách từ một điểm đến

một mặt phẳng

1)   P đi qua A 2;0; 4    và nhận n 2; 3;6    

là véc-tơ pháp tuyến (2x  3x  6z  20  0)

2)   P đi qua A   2;2; 3  và vuông góc với đường thẳng BC, trong đó B 2;10; 7   ,

C 5;9; 12 

3)   P đi qua A 1;4;6   và vuông góc với trục Oz

4)   P đi qua M 2;5;7   và song song với   Q : 3x  2y    z 1 0

10)   P là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A 3;1; 4   , B   3;0; 5  

11)   P qua A 0;6; 5    và giao tuyến với của hai mặt phẳng   Q : 3x  2y  z  0 và

  R : x  y  z – 2  0

12)   P đi qua A 4;9;11   và chứa Ox

3 Bài tập

Bài 1 Viết phương trình mặt phẳng   P biết rằng

1)   P đi qua M 2; 1;2    , song song với Oy và vuơng gĩc với mặt phẳng

6)   P đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng    : x  y   z 3  0 ,

   : 3x  y  5z 1   0 và song song với mặt phẳng    : x  y  2z  3  0

7)   P đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng    : 3x  y   z 2  0,    : x  4y  5  0

và vuơng gĩc với mặt phẳng    : 2x   z 7  0

Bài 2 Viết phương trình mặt phẳng   P biết rằng

1)   P đi qua M 1;2;3   và song song với mặt phẳng   Q : 2x  5y  4z  2  0 Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng   P ,   Q

2)   P cĩ khoảng cách đến   Q : 3x  4y   z 5  0 bằng 3

3)   P đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng   Q : 2x  y  0,   R : x   y 2z  3  0 và cĩ khoảng cách đến điểm M 0; 2;3    bằng 5

Bài 2 Cho   P : 2x  3y  z  0 và M 2;4;6  

1) Tìm tọa độ hình chiếu H của M lên   P

2) Tìm tọa độ M ' đối xứng với M qua   P

Bài 4 Xác định giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây song song

Bài 6 Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng   P và   Q trong các trường hợp sau

Bài 8 Cho tứ diện OABC cĩ ba cạnh OA , OB, OC đơi một vuơng gĩc, OA  a,

OB  b, OC  c Tính độ dài đường cao kẻ từ O của tứ diện

Đáp số: abc

2 2 2 2 2 2

b c  c a  a b

Bài 9 Cho hình lập phương ABCD.A 'B 'C' D' cạnh a Trên các cạnh AA ', BC, C' D'

lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho AM  CN  D'P  t, với 0   t a Chứng minh hai mặt phẳng  MNP  và  ACD'  song song và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đĩ

Đáp số: t 3

3

Bài 10 Cho tứ diện OABC cĩ ba cạnh OA, OB, OC đơi một vuơng gĩc Gọi , , 

là gĩc giữa các mặt  OBC ,  OCA ,  OAB  với mặt  ABC  Bằng phương pháp tọa độ hãy chứng minh:

1) Tam giác ABC nhọn

2) cos2  cos2  cos2  1

Chủ đề 4 Phương trình đường thẳng

A Tóm tắt lý thuyết và các ví dụ

1 Phương trình đường thẳng

Cho đường thẳng d đi qua điểm M0 x0; y ;z0 0 và cĩ véctơ chỉ phương u a;b;c   

(t   là tham số của phương trình)

 Phương trình chính tắc của d (khi abc  0) là x x 0 y y 0 z z 0

Ví dụ 1 Viết phương trình tham số đường thẳng d trong các trường hợp sau

1) d đi qua điểm M 2; 3;4   và nhận  1 

2

u 1; ;0



là véc-tơ chỉ phương

2) d đi qua hai điểm A 4;0;5 , B 3;5;7 

3) d đi qua điểm M 3;7;9  và song song với đường thẳng x 1 y 3 z 1

d ' :       4) d đi qua điểm M 2;0;1 và song song với trục Ox

5) d đi qua điểm 2 

3

M ;0; 1  và vuơng gĩc với mặt phẳng tọa độ xOy

6) d là giao tuyến của hai mặt phẳng  P : x  y  2  0,  Q : 2x  3y  z  7  0

7) d đi qua điểm M 2;1;2  và song song với cả hai mặt phẳng  P : x  4y  z  0 ,

4) d' nhận u 2;4; 2   

làm véc-tơ chỉ phương u 2;4; 2 / /u' 1;2; 1      

 u' 

là một véc-tơ chỉ phương của d'  u' 

là một véc-tơ chỉ phương của d  phương trình tham số của d

7) Thay x  1 vào phương trình của  P và  Q ta được hệ y 1

 1 ,  2  phương trình tham số của d là

 17; 6; 7    cũng là một véc-tơ chỉ phương của

d  phương trình tham số của d là

cũng là một véc-tơ chỉ phương của d 

phương trình tham số của d là

5) M  d, M cách đều hai mặt phẳng tọa độ xOy và yOz

Giải

MA   u 

 MA.u  0

5) M  d  tọa độ M cĩ dạng M  2 5t;2  t;3 d M, xOy       3, d M, yOz         2 5t

Do đĩ M cách đều hai mặt phẳng tọa độ xOy và yOz  d M, xOy       d M, yOz     

2 Vị trí tương đối giữa hai dường thẳng

Xét đường thẳng d đi qua M 0, nhận u

☞ d / /d'  và cùng phương

và 0 0 không cùng phương

☞ d và d' cắt nhau  và không cùng phương

và 0 0 đồng phẳng

3 Một số bài toán tính khoảng cách liên quan đến đường thẳng

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d đi qua điểm M 0 và nhận u 

Cho hai đường thẳng chéo nhau d và d' Biết d đi qua M và nhận u 

làm véc-tơ chỉ phương, d' đi qua M ' và nhận u' 

làm véc-tơ chỉ phương Khoảng cách giữa d và d' được

tính bởi cơng thức   u,u' MM '

Bài 1 Viết phương trình tham số đường thẳng d trong các trường hợp sau

1) d đi qua điểm M 3;5;1  và nhận  6 

5

u  1; ;7



là véc-tơ chỉ phương

2) d đi qua hai điểm A 3;4;9 , B 14;2;0 

3) d đi qua điểm M 9;12;8  và song song với đường thẳng x y 4 z 1



4) d đi qua điểm M 2;13;5  và song song với trục Oz

5) d đi qua điểm 2 

2) M  d, M cĩ hồnh độ bằng hai lần tung độ

5) M  d, M cách đều hai mặt phẳng tọa độ xOy và yOz

Bài 3 Viết phương trình mặt phẳng  P biết

1)  P đi qua điểm M 2;5; 7   và song song với các đường thẳng

Bài tập tổng hợp về mặt phẳng và đường thẳng

Bài 1 Cho các cặp đường thẳng sau

Với mỗi cặp đường thẳng nói trên, hãy

a) Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau

b) Tính góc và khoảng cách giữa d1 và d2

c) Viết phương trình mặt phẳng  P chứa d1 và song song với d2

d) Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường vuông góc chung của d1

và d2

e) Lập phương trình mặt phẳng   Q song song và cách đều d1 và d2

f) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A 1; 2;1   và cắt cả d1 và d2

a) Tìm tọa độ giao điểm A của d với   P

b) Tính gĩc giữa d và   P

c) Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến   P bằng 2

d) Gọi B là điểm trên d cĩ hồnh độ bằng 4 Tính khoảng cách từ B đến   P

e) Viết phương trình mặt phẳng   Q chứa d và vuơng gĩc với   P

f) Viết phương trình hình chiếu vuơng gĩc d ' của d lên   P

g) Viết phương trình dạng chính tắc của đường thẳng  qua điểm M 2;4;4  , song song với mặt phẳng   P và cắt đường thẳng d

h) Viết phương trình đường thẳng  nằm trong   P , biết  đi qua A và vuơng gĩc với d

Bài 3 Cho A    1; 2;0 , B 2;1; 1    và C 0;0;1  

1) Tính độ dài đường cao CH của tam giác ABC và tính diện tích tam giác đĩ

2) Tính thể tích tứ diện OABC (O là gốc tọa độ)

Bài 4 Cho hình lập phương ABCD.A 'B 'C' D' với A 0;0;0  , B 1;0;0  , D 0;1;0  ,

A ' 0;0;1 Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD Tính khoảng cách và gĩc giữa hai đường thẳng A 'C và MN

Bài 5 Cho các điểm A 1;0;0  , B 0;2;0  , C 0;0;3  

1) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng  ABC 

2) Gọi d là đường thẳng qua C và vuơng gĩc với mặt phẳng  ABC  Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng Oxy

Bài 6 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc tọa độ

O Biết A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0;2 2 ) Gọi M là trung điểm của cạnh SC

1) Tính gĩc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BM

2) Giả sử mặt phẳng  ABM  cắt đường thẳng SD tại điểm N Tính thể tích khối chĩp

S.ABMN

Bài 7 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ A trùng với gốc O, S 0;0;m  , B 1;0;0  , C 1;1;0  ,

D 0;1;0 với m là tham số, m  0

1) Cho m  2, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và CS Viết phương trình đường vuơng gĩc chung của hai đường thẳng đĩ

2) Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của điểm A trên CS Tính diện tích tam giác AHC theo

m Tìm của m để diện tích tam giác AHC đạt giá trị lớn nhất

Bài 8 Cho hình lập phương ABCD.A 'B 'C' D' Biết A' 0;0;0  , B' a;0;0  , D' 0;a;0  ,

A 0;0;a trong đĩ a  0 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và B 'C' 1) Viết phương trình mặt phẳng    đi qua M và song song với hai đường thẳng AN và

BD'

2) Tính gĩc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AN và BD'

Tổng kết về khoảng cách và góc

Khoảng cách

i Khoảng cách giữa điểm và điểm

 1 1 1

A x y ;z ; ,B x  2; y ; z2 2  AB  (x1 x )2 2 (y1 y )2 2 (z1 z )2 2

ii Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

d qua M0, cĩ véctơ chỉ phương là u 

M M, u d(M, d)

iv Khoảng cách giữa hai đường thẳng

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm trên

đường này tới đường kia

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: nếu d1, d2 là hai đường thẳng chéo nhau; d1 qua M1, cĩ véctơ chỉ phương là u 1

; d2 qua M2, cĩ véctơ chỉ phương là u 2

thì

v Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng

 Nếu đường thẳng và mặt phẳng cĩ điểm chung thì khoảng cách bằng 0

 Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng thì khoảng cách giữa chúng bằng khoảng cách từ một điểm của đường thẳng tới mặt phẳng

vi Khoảng cách giữa hai mặt phẳng

* Khoảng cách giữa hai mặt phẳng khơng song song bằng 0

* Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song :

i.Góc giữa hai đường thẳng

Nếu hai đường thẳng d1, d2 cĩ véctơ chỉ phương lần lượt là u 1

u u

 

 

 

ii.Góc giữa hai mặt phẳng

Nếu hai mặt phẳng   P và   Q cĩ véctơ pháp tuyến lần lượt là n 1

n n

 

 

 

iii.Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Nếu đường thẳng d cĩ véctơ chỉ phương là u 

Chủ đề 5 Phương trìõnh mặt cầu

A Phương trình mặt cầu

x  x  x  x  x  x  R , trong đĩ R  0, là phương trình chính tắc của mặt cầu tâm I x ;y ; z  0 0 0, bán kính R

 Phương trình x2 y2 z2 2ax  2by  2cz  d  0, với điều kiện a2 b2 c2  d, là phương trình tổng quát của mặt cầu tâm I a;b;c  , bán kính R  a2 b2 c2 d

B Bài tập về mặt cầu

Bài 1 Cho đường thẳng  

x 2t : y 1 t

1) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng  và mặt phẳng   P

2) Viết phương trình mặt cầu tâm I 1;1;1   tiếp xúc với mặt phẳng   P

Bài 2 Cho bốn điểm A(1;2;2), B( 1;2; 1)   , C(1;6; 1)  và D( 1, 6, 2) 

1) Chứng minh rằng ABCD là hình tứ diện và cĩ các cặp cạnh đối bằng nhau

2) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD

3) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Bài 3 Cho ba điểm A 2;0;1  , B 1;0;0  , C 1;1;1  và mặt phẳng   P : x  y   z 2  0 1) Chứng minh A, B, C khơng thẳng hàng

2) Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, Cvà cĩ tâm thuộc mặt phẳng   P

Bài 4 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C1 1 1 với A 0; 3;0   , B 4;0;0  , C 0;3;0  ,