tài liệu ôn thi THPT môn toán

– Biết giải quyết một số bài toán liên quan: viết phương trình tiếp tuyến, biện luận số nghiệm của phương trình, tính diện tích hình phẳng, khoảng ñơn ñiệu và cực trị… – Tìm giá trị lớn

Trang 1

TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2

TỔ TOÁN -

NGUYỄN SỸ AN − NGÔ BÁ GIANG NGUYỄN THỊ KIM LIÊN − NGUYỄN VĂN XÁ

Trang 2

MỤC LỤC

Trang

A – ỨNG DỤNG ðẠO HÀM ðỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ðỒ THỊ

I SỰ ðỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 3

V BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 7

B – HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT 9

E – DIỆN TÍCH HÌNH ðA DIỆN, HÌNH TRÒN XOAY VÀ THỂ TÍCH

Trang 3

LỜI NÓI ðẦU

Việc biên soạn tài liệu này là một nội dung trong kế hoạch năm học của tổ Toán, thể hiện một phần những nỗ lực của tổ Toán trong việc chuẩn

bị cho kì thi TN THPT sắp tới

Rõ ràng tài liệu này chẳng có ý nghĩa gì ñối với những học sinh trên lớp không chú ý nghe giảng và không tham gia tích cực các hoạt ñộng học theo chỉ dẫn của giáo viên, về nhà không dành thời gian hợp lí cho việc tự học Nhưng chúng tôi hi vọng, với các học sinh vẫn còn nuôi dưỡng ñược trong trái tim mình khát vọng vươn lên, ñây sẽ là một người bạn nhỏ ñi bên cạnh các em trong suốt thời gian các em ôn luyện, chuẩn bị cho thi TN THPT, và mong rằng nó sẽ ñóng góp một phần nào ñấy vào kết quả mà các

em ñạt ñược

Chúng tôi vẫn [trăn trở] về chất lượng và hiệu quả của tài liệu này Hãy cho phép chúng tôi ñược chia sẻ suy nghĩ của quý thầy cô và các em học sinh về những ñiều cần phát huy, những ñiều cần khắc phục trong tài liệu, và rất cảm ơn về sự quan tâm ñó

Chúng tôi chân thành cảm ơn ñồng chí Hiệu trưởng, ñồng chí Tổ trưởng, và các ñồng nghiệp trong trường ñã giúp ñỡ chúng tôi hoàn thành tài liệu nhỏ này

Nhóm Toán 12

Trang 4

Tài liệu ôn thi TN THPT

A – ỨNG DỤNG ðẠO HÀM ðỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ðỒ THỊ HÀM SỐ

Yêu cầu

– Nắm ñược sơ ñồ khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số

– Biết khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số của hàm ña thức bậc ba, bậc bốn trùng phương, phân thức bậc nhất trên bậc nhất

– Biết giải quyết một số bài toán liên quan: viết phương trình tiếp tuyến, biện luận số nghiệm của phương trình, tính diện tích hình phẳng, khoảng ñơn ñiệu và cực trị…

– Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số (ñơn giản), chủ yếu xét trên một ñoạn

I SỰ ðỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

– Cho hàm số y = f(x) xác ñịnh và có ñạo hàm trên khoảng K Nếu f’(x) ≥ 0 ∀x∈K (f’(x) ≤ 0 ∀x∈K),

ở ñó dấu “=” chỉ xảy ra với hữu hạn giá trị x∈K, thì hàm số y = f(x) ñồng biến (tương ứng nghịch biến)

Trang 5

II CỰC TRỊ

– Cho hàm số y = f(x) xác ñịnh trên khoảng K, x0 ∈K, và f(x) có ñạo hàm trên K\{x0} (tại x0 hàm f(x) hoặc không có ñạo hàm, hoặc f’(x0) = 0) Nếu f’(x) ñổi dấu từ dương sang âm (hoặc từ âm sang dương) khi x ñi qua x0 thì x0 là ñiểm cực ñại (tương ứng ñiểm cực tiểu) của hàm số y = f(x)

– Nếu hàm số y = f(x) có ñạo hàm ñến cấp hai trên khoảng K, x0 ∈K, thì:

cx + d (c ≠ 0, ad – bc ≠ 0) không có ñiểm cực trị, vì ñạo hàm y’ không ñổi dấu

– Hàm ña thức bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) hoặc không có ñiểm cực trị (khi y’ có △ ≤ 0) hoặc

có 2 ñiểm cực trị, 1 ñiểm cực ñại và 1 ñiểm cực tiểu (khi y’ có △ > 0)

– Hàm ña thức bậc bốn trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) hoặc có 1 ñiểm cực trị (khi y’ có 1 nghiệm x = 0), hoặc có 3 ñiểm cực trị, cả cực ñại và cực tiểu (khi y’ có 3 nghiệm phân biệt)

Ví dụ2 Chứng minh với mọi m hàm số y = x4 – (m2 + 12)x2 + m luôn có 3 ñiểm cực trị

Hướng dẫn Vì y’ = 4x3 –2(m2 + 12)x = 2x(2x2 – (m2 + 12)) luôn có 3 nghiệm phân biệt và ñổi dấu khi x

ñi qua mỗi nghiệm nên hàm số ñã cho luôn có 3 ñiểm cực trị, với mọi m

Ví dụ 3 Chứng minh x = 0 là ñiểm cực tiểu của hàm số y = ex – sinx

Hướng dẫn Ta thấy y’= ex – cosx, y’’ = ex + sinx nên y’(0) = 0, y’’(0) = 1 > 0 Vậy x = 0 là một ñiểm cực tiểu của hàm số ñã cho

có hai ñiểm cực trị với mọi giá trị của tham số m

b) C1 y’’ = 2x – 2m Hàm số ñã cho nhận x = – 2 làm ñiểm cực ñại khi y '( 2) 0

2 thì hàm số ñã cho ñạt cực ñại tại x = – 2

C2 Ta lập ñược bảng biến thiên của hàm số ñã cho

x – ∞ m – 2

m +2m 3+ m + 2

m +2m 3+ +∞y’ + 0 – 0 +

Trang 6

Tài liệu ôn thi TN THPT III ðƯỜNG TIỆM CẬN

– Nếu xảy ra ít nhất một trong hai ñiều kiện

xlim f (x) y

→+∞ = hoặc

xlim f (x) y

→−∞ = thì y = y0 là ñường tiệm cận ngang của ñồ thị hàm số y = f(x) Như vậy mỗi ñồ thị hàm số có tối ña hai tiệm cận ngang – Nếu xảy ra ít nhất 1 trong 4 ñiều kiện

0

x xlim f (x)+

→ = +∞,

0

x xlim f (x)+

→ = −∞,

0

x xlim f (x)−

→ = −∞ thì ñường thẳng x = x0 là ñường tiệm cận ñứng của ñồ thị hàm số y = f(x)

– ðồ thị hàm số ña thức bậc ba và bậc bốn trùng phương không có tiệm cận

– Tính y’, giải phương trình y’ = 0, xét dấu y’

– Kết luận về sự biến thiên và cực trị

– Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực Tìm tiệm cận (nếu có)

c) của hai ñường tiệm cận chính là

tâm ñối xứng của ñồ thị

– Giả sử y = f(x) (C) xác ñịnh và có ñạo hàm trên khoảng K, x0 ∈K

+ Tiếp tuyến của (C) tại ñiểm M0(x0; f(x0))∈(C) có phương trình y = f’(x0).(x – x0) + f(x0) (M0(x0; f(x0)) là tiếp ñiểm, k = f’(x0) là hệ số góc)

+ Nếu (d) là tiếp tuyến của ñồ thị (C) và (d) có hệ số góc k (k có thể cho trực tiếp, có thể cho gián tiếp thông qua (d) vuông góc hoặc song song với ñường thẳng cho trước), ta giải phương trình

k = f '(x) ñể tìm hoành ñộ tiếp ñiểm x0, và phương trình của (d) là y = k.(x – x0) + f(x0)

+ Cho (d) là ñường thẳng ñi qua A(xA; yA) và tiếp xúc với (C) Giả sử M0(x0; f(x0) là tiếp ñiểm của (C) và (d) Phương trình của tiếp tuyến (d) có dạng y = f’(x0).(x – x0) + f(x0) Do A∈(d) nên

y = f '(x ).(x −x ) + f(x ), từ ñây tìm ra x0 và suy ra phương trình của (d)

Ví dụ5 Cho hàm số y = x3 + (m + 2)x + m + 7

1) Tìm m ñể hàm số có ñiểm cực tiểu x = 1

2) Vói m vừa tìm ñược, hãy khảo sát và vẽ ñồ thị của hàm số

3) Biện luận theo k số nghiệm của phương trình x3 – 3x = 2k

ớ

Trang 7

Hướng dẫn 1) y’ = 3x2 + m + 2; y’’ = 6x Hàm số ñạt cực tiểu tại x = 1 khi y '(1) 0

* Sự biến thiên: y’ = 3x2 – 3; y’ = 0 ⇔ x = ± 1

y’ > 0 ⇔ x∈(–∞; – 1)∪(1; +∞) nên hàm số ñồng biến trên các khoảng (–∞; – 1), (1; +∞)

y’ < 0 ⇔ x∈(– 1; 1) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (– 1; 1)

– ðồ thị giao với Ox tại (1; 0), (– 2; 0), giao với Oy tại (0; 2), ñi qua ñiểm (2; 4)

3) x3 – 3x = 2k ⇔ x3 – 3x +2 = 2k +2 Số nghiệm của phương trình ñã cho bằng số ñiểm chung của ñồ thị (C) y = x3 – 3x +2 và ñường thẳng (d) y = 2k + 2 (nằm ngang) Từ ñồ thị ta thấy

Trang 8

Tài liệu ôn thi TN THPT 2) Viết PT tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng 14x + y – 9 = 0

4x 1 lim

2; 2) của hai ñường tiệm cận

2) Vì tiếp tuyến song song với ñường thẳng 14x + y – 9 = 0 nên tiếp tuyến có hệ số góc k = – 14 Vậy tiếp ñiểm có tọa ñộ là nghiệm của hệ phương trình

Tiếp tuyến của (C) tại ñiểm (2; 9) có phương trình y = –14(x – 2) + 9 ⇔ y = – 14x + 37

Tiếp tuyến của (C) tại ñiểm (1; –5) có phương trình y = –14(x – 1) – 5 ⇔ y = – 14x + 9 Nhưng ñường thẳng này lại trùng với ñường thẳng ñã cho 14x + y – 9 = 0 nên bị loại

Vậy có 1 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu của bài toán là y = – 14x + 37

V BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

– Nếu ta lập ñược bảng biến thiên của hàm số y = f(x) trên tập D thì có thể kết luận ñược về GTLN,

NN của f(x) trên D

– ðể tìm GTLN, NN của f(x) trên một ñoạn [a; b], ta có thể làm như sau:

Trang 9

Tài liệu ôn thi TN THPT + Tính f ’(x), tìm x∈[a; b] sao cho f ’(x) = 0 hoặc không xác ñịnh Giả sử ñược các giá trị x1, x2, …

– Có những trường hợp chúng ta kết hợp cả phương pháp ñổi biến

Ví dụ 8 Tìm GTLN, NN của hàm số trên TXð của chúng

2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x4 + 2x2 = 2m

3) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao ñiểm của (C) với trục Oy

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao ñiểm của (C) với trục Ox

3) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3 – 3x + 2m = 0

4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành

1) y = sinx + cos2x trên R 2) y = 2x.ex trên ñoạn [–2; 0]

3) y = 1 x− – 3x trên ñoạn [0; 1] 4) y = x2 – 4ln(x + 1) trên ñoạn [0; 4]

5)y=cos x+cos 2x trên R 6)y= −2x2+3x 1 trên TXð.−

Trang 10

+ Nếu α∈ℕ thì * uα có nghĩa khi u có nghĩa

+ Nếu α∈ , α ≤ 0, thì uα có nghĩa khi u ≠ 0

+ Nếu α∉ℤ thì uα có nghĩa khi u > 0

+ ðạo hàm (uα)’ =α.uα−1.u’

+ Nguyên hàm

1u

+ ðạo hàm (ax)’ = ax.lna; (ex)’ = ex; (au)’ = u’ au.lna; (eu)’ = eu.u’

+ Nếu a > 1 thì hàm số y = ax ñồng biến trên R Nếu 0 < a < 1 thì hàm số y = ax nghịch biến trên R

Trang 11

Tài liệu ôn thi TN THPT – Khi áp dụng các công thức biến ñổi logarit ta cần quan tâm tới ñiều kiện của chúng, và nhớ rằng: + Với a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0 thì loga(bc) = logab + logac, loga(b

2) TXð D = R ðạo hàm y’=(2x 1)e − x2−x

3) Hàm số có nghĩa khi x –x2 > 0 ⇔ 0 < x < 1, nên nó có tập xác ñịnh là D = (0; 1)

ðạo hàm y’= 2

(x x ) ' 1 2x(x x ) ln 2 (x x ) ln 2

3 =

2

2( )3

− ⇔ x = –2 Vậy phương

Trang 12

Tài liệu ôn thi TN THPT 5) Ta thấy ( 2+ 1).( 2– 1) = 1 ðặt t = ( 2+ 1)x , t > 0, ( 2– 1)x = 1

2 + 2 > nên x < 2 cũng không là nghiệm của phương trình ñã cho Vậy phương trình

ñã cho có nghiệm duy nhất x = 2

x 2( )

tm ktm

Trang 13

Tài liệu ôn thi TN THPT 4) Với x > 0 ta ñặt t = log4x, phương trình trở thành 3t2 – 7t + 2 = 0 ⇔ t = 2 hoặc t = 1

34 Vậy PT ñã cho có 2 nghiệm x = 16, x = 34

5) ðK x + 1 > 0 ⇔ x > –1 Với ñiều kiện này, phương trình ñã cho tương ñương với phương trình

1 2

7) log4(3.2x + 4) = x ⇔ 3.2x + 4 = 4x ⇔ 4x – 3.2x – 4 = 0 ðến ñây HS làm tiếp như ý 3 ví dụ 2

8) ðK x > 1 ðặt t = log3x thì x = 3t Phương trình trở thành log2(3t – 1) = t ⇔ 3t – 1 = 2t⇔ 3t = 1 + 2t

x

a

t =( )

b ñể ñưa về phương trình bậc hai ẩn t

3) Với phương trình ax + bx = cx (a, b, c > 0), nếu nhẩm ñược 1 nghiệm, và a > c, b > c, hoặc a < c, b < c, thì ta có thể chia 2 vế cho cx, rồi dùng tính ñơn ñiệu của hàm số mũ ñể biện luận tính duy nhất nghiệm của phương trình

4) Với phương trình dạng af(x).bg(x)…ch(x) = d (a, b, c, d > 0) nếu f(x) là biểu thức phức tạp nhất thì ta có

Trang 14

Tài liệu ôn thi TN THPT 5) Với a > 0, a ≠ 1, nếu ta ñặt t = logax thì logxa = 1

t(x ≠ 1), logax

n = nt, n

a

tlog (x)

Bài 1 Tìm tập xác ñịnh và tính ñạo hàm của hàm số

Bài 4 Giải phương trình

1)log [x.(x 1)]=12 − 2).log x2 +log (x 1) 12 − = 3)ln(x−x )2 =ln(3x 1)+

4)log x 3.log x22 − 8 3=4 5)log (33 x+ = +8) 2 x 6) ln(4x+ −2) ln(x 1)− =ln x

7)log20.2x−log0.2x=6 8) log (3x 1).log x2 + 3 =2.log (3x 1)2 +

Bài 5 Giải bất phương trình

log (2 − − = −1) x 1

3

2 log (4x 3) log (2x− + + =3) 2.11)3log 3 3logx 27x 2 log x.3

Trang 15

x dx = + C

+1

α α

α

+1u

u du = + C

+1

α α

α

1dx

Trang 16

a

– Chúng ta lưu ý khi ñổi biến số:

+ Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng sinnx.cosmx, với n, m là các số nguyên, m lẻ thì ñặt t = sinx, còn n lẻ thì ñặt t = cosx

dv là phần còn lại

– Nếu a, b là hằng số và a ≠ 0 thì dx = 1

ad(ax + b)

– Nếu hàm (x)ϕ xác ñịnh và liên tục trên [a; b], phương trình (x)ϕ = 0 vô nghiệm trên khoảng (a; b) thì

ta có thể ñưa ñược dấu giá trị tuyệt ñối ra ngoài dấu tích phân như sau

| (x) | dx |ϕ = ϕ(x)dx |

– Cho hai hàm số y = f(x), y = g(x) xác ñịnh và liên tục trên ñoạn [a; b], diện tích hình phẳng giới hạn

bởi các ñường y = f(x), y = g(x), x = a, x = b ñược tính theo công thức S =

b

a

| (x)f −g(x) | dx

– Cho hàm số y = f(x) xác ñịnh và liên tục trên [a; b], thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục

Ox hình phẳng giới hạn bởi ñường y = f(x), y = 0, x = a, x = b ñược tính theo công thức V=

Trang 17

x −5x+6

∫ 4)M=∫sin xdx.2

4

xdx5)N

Trang 18

Trang 19

Hướng dẫn Chúng ta sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần, tích phân từng phần ñể làm BT này

1) ðặt u = 2x – 1, dv = exdx, thì du = 2dx, v = ex Ta có I=∫(2x 1)e dx− x =∫udv = uv−∫vdu=

(Bài này ta cũng có thể dùng khai triển Niu–tơn hoặc ñổi biến t = 1– x)

4) ðặt u = ex, dv = sinxdx ⇒ du = exdx, v = – cosx Khi ñó M=∫e sinxdxx =∫udv=uv−∫vdu=

5) ðặt u = 2x + 5, dv = cos3xdx ⇒ du = 2dx, v =1sin 3x

3 , ta có

2 0

Trang 20

Hướng dẫn 1) Phương trình x3 – x = 0 có ba nghiệm x = 0, x = ±1 Diện tích hình phẳng cần tính là

13 x ln(x 1)dx.∫ −

3 1

1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường y=x3+x , y2 = −2x , x2 = −2, x= −1

2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) y 1x4 2x2 9

quay quanh trục Ox

4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hàm số y = x3 −3x2 + 2 và ñường thẳng ñi qua hai

ñiểm cực trị của ñồ thị ñó

Trang 21

– HS cần ôn tập lại toàn bộ kiến thức cơ bản trong SGK

– Về hình thức, phép cộng, trừ, nhân, chia trên ℂ ñược thực hiện như trên ℝ , chỉ chú ý thêm i2 = –1, và khi chia 2 số phức ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của mẫu

– Cho số phức z = x + iy, thì M(x; y) là ñiểm biểu diễn z, và z = x – iy, |z| = | z | = x2+y2

– Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực tương ứng bằng phần thực, phần ảo tương ứng bằng phần ảo

– Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a, b, c ∈ℝ, a≠0), ∆ = b2−4ac Nếu ∆≥0 ta giải như ñã biết ở THCS Nếu ∆< 0 thì PT có hai nghiệm phức x1,2 b i

d) Tìm tập hợp các ñiểm trên mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z thỏa mãn |z – i| = |z +2|

Hướng dẫn a) (2 i)(1 3i) i

⇔ 4x + 2y + 3 = 0 Vậy tập hợp các ñiểm M(x; y) trên mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z thỏa mãn ñẳng thức |z – i| = |z +2| là ñường thẳng có phương trình 4x + 2y + 3 = 0

Ví dụ 2 Giải phương trình trên tập số phức

1) x2 – x + 1 = 0 2) x4 – x2 – 12 = 0

Hướng dẫn 1) Phương trình x2 – x + 1 = 0 có ∆ = − =3 3i2 nên có 2 nghiệm phức liên hợp x1,2 = 1 i 3

2

±

2) PT có 4 nghiệm, 2 nghiệm thực x = 2± , và 2 nghiệm phức x = i 3±

III BÀI TẬP THAM KHẢO

Bài 1 Tính giá trị của biểu thức

1) P =(1 i 3)+ 2+ −(1 i 3)2 2) F = 1 i 2 (3 2i) (4 3i) (1 2i)[ ]

Trang 22

Tài liệu ôn thi TN THPT 1) |z| = 2 5 , phần ảo của z bằng hai lần phần thực của nó

2) z− + =(2 i) 10 và z z =25

3) z2 = 3 – 4i

Bài 4 Tìm các số thực x, y biết 2x−y +2i=3y+ − −1 (x 2)i

Bài 5 Tìm tập hợp các ñiểm trên mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z thỏa mãn

thước(chiều dài, chiều rộng,

chiều cao) của nó

Diện tích xung quanh hình nón: S =πrlxq

Với r: bán kính của hình nón, l: ñộ dài ñường sinh của hình nón

Diện tích xung quanh của hình

II VÍ DỤ

Ví dụ 1 Cho mặt cầu nội tiếp hình trụ (mặt cầu tiếp xúc với mặt xung quanh và hai ñáy của hình trụ) Gọi

V1, V2 lần lượt là thể tích khối cầu và khối trụ tương ứng Tìm tỉ số 1

2

V

2

Trang 23

Hướng dẫn Giả sử mặt cầu có bán kính r, khi ñó hình trụ có bán kính ñáy

cũng là r, và ñường cao h = 2r Như vậy V =1 4πr3

3 ,

2 2

1 Tính ñộ dài ñường sinh của hình nón theo a

2 Gọi S là ñỉnh của hình nón Một tam giác ñều ABC nội tiếp ñường tròn ñáy của hình nón, tính thể tích khối tứ diện SABC theo a

Ví dụ 3 Cho hình chóp S.ABC có SA = 3 , AB = 2, AC = 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt ñáy,

góc ∠BAC = 1350 Tính thể tích khối chóp S.ABC

Hướng dẫn S∆ABC=1AB.AC.sin1350 1

2 = (ñvdt) VSABC= SA.S1 ∆ABC 3

3 = 3 (ñvtt)

Ví dụ 4 Chohình chóp S.ABCD có AC = 2a, BD = 3a, (SAC)⊥(SBD), (SAC)⊥(ABC), (SBD)⊥(ABC), thể tích khối chóp S.ABCD là a3 Tính khoảng cách từ S tới (ABC)

Hướng dẫn Gọi H là giao của AC và BD Do (SAC)⊥(SBD), (SAC)⊥(ABC), (SBD)⊥(ABC) nên

AC⊥BD, SH⊥(ABC) Ta có SABCD 1AC.BD

AC.BD=2a.3aIII BÀI TẬP THAM KHẢO

Bài 1 Tính thể tích khối chóp tam giác ñều S.ABC có cạnh ñáy bằng a, cạnh bên hợp với ñáy góc 600

Bài 2 Tính thể tích khối chóp S.ABC có AB = AC = 5a, BC = 6a, các mặt bên hợp với mặt ñáy góc 600

Bài 3 Tính thể tích khối chóp S.ABC có AB = AC = 5a, BC = 6a, các cạnh bên hợp với mặt ñáy góc 600

Bài 4 Tính thể tích khối chóp tam giác ñều S.ABC có cạnh ñáy bằng a, cạnh bên bằng

Trang 24

2 Gọi B’, C’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC; gọi A’ là trung ñiểm của SA Tính thể tích khối ña diện ABCA’B’C’

Bài 6 Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có cạnh ñáy bằng 1, gọi O là tâm của ñáy, SO =

2

6 1) Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp S.ABCD

2) Xác ñịnh vị trí ñiểm I cách ñều các ñỉnh của hình chóp S.ABCD và tính SI

Bài 7 Tính thể tích khối chóp tam giác ñều S.ABC có cạnh bên bằng

3

2

a, góc giữa cạnh bên và mặt ñáy bằng 30o

Bài 8 Hình chóp tam giác ñều S.ABC có cạnh ñáy bằng a, cạnh bên bằng 3a Một hình nón ñỉnh S ngoại

tiếp hình chóp S.ABC Tính diện tích xung quanh của hình nón ñó và thể tích của khối nón tương ứng

Bài 9 Tính thể tích khối chóp tam giác ñều có cạnh ñáy bằng 5 và cạnh bên bằng 10 Tính diện tích mặt

cầu ngoại tiếp khối chóp ñó

Bài 10 Cho hình lăng trụ ñứng tam giác có tất cả các cạnh bằng 1 Tính thể tích của khối lăng trụ tương

ứng và tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ ngoại tiếp lăng trụ ñó

F – PHƯƠNG PHÁP TỌA ðỘ TRONG KHÔNG GIAN

Yêu cầu

− Học sinh nắm ñược các kiến thức cơ bản, biết vận dụng vào giải quyết các bài toán viêt phương trình

(mặt cầu, mặt phẳng, ñường thẳng), tìm ñiểm, tính khoảng cách…

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz:

1) M(x ;y ;z ) M M M ⇔ OM = x i + y j + z k. M M M

2) u =(x; y; z)⇔ =u x.i+y.j z.k.+

3) Nếu u=(x; y; z)và v =(x'; y'; z'), với mọi a, b ∈ℝ , thì a.u+b.v=(ax + bx'; ay + by'; az + bz')

4) Tích vô hướng u.v =x.x' +y.y' + z.z'

5) ðộ dài của vecto | u | = x + y + z 2 2 2

6) Góc giữa hai vecto

7) ðộ dài ñoạn thẳng AB= (xB−x )A 2+(yB−y )A 2+(zB−z ) A 2

8) Nếu I là trung ñiểm của ñoạn AB thì

y (y y )2

1

z (z z )2

Trang 25

9) Nếu G là trọng tâm ∆ABC thì

y (y y + y )3

không cùng phương

14) ABCD là một tứ diện khi [AB, AC].AD ≠0

15) Mặt cầu tâm I(x0; y0; z0), bán kính R có phương trình (x −x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = R2 Nếu

a + + − >b c d 0 thì x2+y2+ −z2 2ax−2by 2cz− + =d 0 là phương trình mặt cầu tâm I(x0; y0; z0), bán kính R = 2 2 2

a + + −b c d 16) Mặt phẳng ñi qua ñiểm M0(x0; y0; z0), có vecto pháp tuyến n =(a; b; c) thì có phương trình

a(x−x )+b(y−y ) c(z z )+ − =0

17) Mặt phẳng có phương trình tổng quát ax+by cz + d+ =0 thì có vecto pháp tuyến n=(a; b; c) 18) Mặt phẳng cắt các trục toạ ñộ Ox, Oy, Oz lần lượt tai A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) khác O, thì có phương trình viết theo ñoạn chắn x y z 1

a + + =b c19) Hai mặt phẳng lần lượt có các vecto pháp tuyến là n , n1 2

Trang 26

Tài liệu ôn thi TN THPT 24) ðường thẳng d ñi qua M(x0; y0; z0), có vecto chỉ phương u =(a; b; c)≠0 thì có phương trình tham

Ví dụ 1 Trong không gian Oxyz cho A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 6)

1) Chứng minh ABC là một tam giác Viết phương trình (ABC)

2) Tìm ñiểm D ñể ABDC là hình bình hành

3) Gọi G là trọng tâm ∆ABC, viết phương trình mặt cầu ñường kính OG

Hướng dẫn 1)Chứng minh AB, AC

không cùng phương

Mặt phẳng (ABC) có phương trình viết theo ñoạn chắn x y z 1

2+ + =3 62) Từ AB = CD

Ví dụ 2 Trong không gian Oxyz cho A(−1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4)

1 Chứng minh ABC là tam giác vuông Viết phương trình tham số của ñường thẳng AB

2 Gọi M là ñiểm thỏa mãn MB= −2MC. Viết phương trình mặt phẳng ñi qua M và vuông góc với BC

Hướng dẫn 1)AB (1; 0; 1), AC (2; 1; 2) [AB, AC] ( 1; 4; 1) 0 ABC

Hướng dẫn Mặt phẳng (Q) song song với Oy, và vuông góc với mặt phẳng (P) 2x − y + 3z + 4 = 0 nên

có hai vecto có giá song song hoặc nằm trên (Q) là j=(0;1; 0), nP =(2; 1;3).− Suy ra (Q) có VTPT là

13

Trang 27

Hướng dẫn a) Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n =(3; 2; 1)− − , ñường thẳng ∆ ñi qua M(1; 7; 3) và có

vecto chỉ phương u=(2;1; 4) Do u.n 0

Bài 1 Trong không gian Oxyz cho OA = +4i 2k+3j, B(3; 0; 0), C(0; 3; 0), D(0; 0; 3)

1 Chứng minh rằng A, B, C là ba ñỉnh một tam giác

2 Viết phương trình ñường thẳng ñi qua A và trọng tâm G của ∆ABC

3 Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD)

Bài 2 Trong không gian Oxyz cho A(1; 0; −1), B(1; 2; 1), C(0; 2; 0)

a) Chứng minh A, B, C là ba ñỉnh một tam giác và tìm trọng tâm G của tam giác ñó

b) Viết phương trình ñường thẳng OG và phương trình mặt cầu (S) ñi qua bốn ñiểm O, A, B, C

c) Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với OG và tiếp xúc với (S)

Bài 3 Cho bốn ñiểm A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6) trong không gian Oxyz

1) Chứng minh A, B, C, D là bốn ñỉnh một tứ diện Tìm toạ ñộ trọng tâm G của tứ diện ñó

2) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của OD

3) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và phương trình mặt phẳng (P) ñi qua D, (P)//(ABC)

4) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (ABC)

Bài 4 Trong không gian Oxyz cho dường thẳng (d)x 2 y 1 z 1

và mặt phẳng (P)

x− + + =y 3z 2 0

1) Tìm toạ ñộ giao ñiểm M của d và (P)

2) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và (Q)⊥(P)

3) Viết phương trình ñường thẳng d’ là hình chiếu của d trên (P)

Bài 5 Viết phương trình ñường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng ( ) y + 2z = 0α và cắt cả hai ñường thẳng

Trang 28

2) Tính khoảng cách từ ∆ tới (α)

Bài 7 Trong không gian Oxyz cho A(3; −2; −2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(−1; 1; 2)

1) Viết phương trình mặt phẳng (BCD), từ ñó suy ra ABCD là tứ diện

2) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với (BCD) Tìm toạ ñộ tiếp ñiểm

Bài 8 Trong không gian Oxyz cho M(1; 2; 3) và mặt phẳng (P) 2x 3y 6z 35− + + =0

1) Viết phương trình ñường thẳng qua M và vuông góc với (P)

2) Tính khoảng cách từ M tới (P) Tìm ñiểm N∈Ox sao cho ñộ dài MN bằng khoảng cách từ M tới (P) 3) Viết phương trình mặt cầu tâm M tiếp xúc với (P), tìm toạ ñộ tiếp ñiểm

Bài 9 Trong không gian Oxyz cho ñiểm M(1; −2; 0), ñường thẳng d: x 1=y=z+1

−

và mặt phẳng (P) 2x− + − =y z 7 0

1) Tìm ñiểm A ñối xứng với M qua ñường thẳng d

2) Tìm ñiểm B ñối xứng với M qua mặt phẳng (P)

Bài 10 Trong không gian Oxyz cho OA= i, OB= −2 j, OC =3k.

1) Tìm ñiểm D ñể ABCD là hình bình hành

2) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

3) Học sinh chọn tuỳ ý một ñiểm M∈(ABC), nhưng M khác A, B, C Viết phương trình ñường thẳng d

ñi qua M và vuông góc với (ABC)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (C )

2 Lập phương trình tiếp tuyến của (C ) tại giao ñiểm với trục hoành

Trang 29

Câu 3 (1 ñiểm) Cho hình lăng trụ ñứng ABC A B C′ ′ ′ có ñáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 4 cm,

BC = 5cm, AA′= 6 cm

1 Tính thể tích của khối lăng trụ

2 Tính thể tích của khối chóp A ABC′

Câu 4 (3 ñiểm)

1 Cho ba ñiểm A(3;0;4), B(1;2;3), C(9;6;4)

a/ Tìm tọa ñộ của D sao cho ABCD là hình bình hành

b/ Lập phương trình mặt phẳng (BCD)

2 Tính giá trị của biểu thức

2( 3 i)P

Câu 3: (1 ñiểm) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật Cạnh bên SA vuông góc với

ñáy SA = 2a, AB = 3a, BD = 5a Tính thể tích của S.ABCD

Câu 4: (3 ñiểm)

1 Cho ba ñiểm A(2;−1;−1), B(−1;3;−1), M(−2;0;1)

a Lập phương trình ñường thẳng (d) ñi qua A,B

b Lập phương trình mặt phẳng (α ) chứa M và vuông góc với AB

c Tìm giao ñiểm của (d) và (α )

2 Giải phương trình 1x2 x 3 0

2 + + = trên tập số phức

Trang 30

ðỀ 3

2 x

y= ++ có ñồ thị (C )

a Xác ñịnh tọa ñộ tâm và ñộ dài bán kính r của mặt cầu (S)

b Lập phương trình ñưởng thẳng (d) ñi qua I và vuông góc với mặt phẳng ( )

2) Tính g tr ị của biểu thức:

2 2

( 3 i)P

2 Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại ñiểm có hoành ñộ bằng 2

Câu 2:(3 ñiểm)

1 Giải bất phương trình:25x−6.5x+ <5 0

2 Tính tích phân:

2 1

Trang 31

Câu 3: (1 ñiểm) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông góc

với mặt phẳng ñáy, SA = 2a Tính thể tích của khối chóp S.ABCD

Câu 4: (3 ñiểm)

1 Cho ñiểm H(1;0;−2) và mặt phẳng (α): 3x−2y+ + =z 7 0

a/ Tính khoảng cách từ H ñến mặt phẳng (α)

b/ Lập phương trình mặt cầu tâm H và tiếp xúc với mặt phẳng (α)

2 Tính giá trị của biểu thức P= +(1 i)2010

ðỀ 5

= − − + có ñồ thị (C)

2 Dùng ñồ thị biện luận số nghiệm của phương trình− −x4 2x2+ =3 m

x 2

=

+ trên ñoạn [0;1]

mặt phẳng ñáy, SA = SC,AB = a, BC = 2AB Tính thể tích của khối chóp S.ABCD

Câu 4: (3 ñiểm)

1 Cho ñiểm M(1;4;2) và mặt phẳng (α): x+ + − =y z 1 0

a/ Lập phương trình ñường thẳng (d) qua M và vuông góc (α )

b/ Tìm tọa ñộ giao ñiểm H của (d) và mặt phẳng (α)

2 Tính giá trị của biểu thức P=( 3+i)2+( 3 i)− 2

ðỀ 6

Câu 1:(3 ñiểm) Cho hàm số y= − +x4 2x2−2 có ñồ thị (C)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (C )

b Dùng ñồ thị biện luận số nghiệm của phương trình:− +x4 2x2− =2 m

Câu 2:(3 ñiểm)

Trang 32

2 Tính tích phân

3

2 0

4x

x +1

3 Tìm giá trị của biểu thứcA = log(2 + 3)2010+ log(2− 3)2010

với mặt phẳng ñáy, SA = 5a, AB = 2a, BC = 3a Tính thể tích của khối chóp S.ABC

a/ Lập phương trình ñường thẳng (AB)

b/ Chứng minh ñường thẳng AB và ñường thẳng (d) cùng nằm trong một mặt phẳng

2) Giải phương trình 2x2+ + =x 9 0 trên tập số phức

ðỀ 7

Câu 1:(3 ñiểm) Cho hàm số y = 1x +x3 2 2

3 − có ñồ thị (C)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại tâm ñối xứng của nó

Câu 2:(3 ñiểm)

1 Giải phương trình: log x2 −log (x 3)4 − =2

2 Tính tích phân

2 2 0

với mặt phẳng ñáy, SA = AB = 2a, BC = 3a Tính thể tích của khối chóp S.ABC

Câu 4:(3 ñiểm)

1 Cho bốn ñiểm A(0;−1;1) , B(1;−3;2), C(−1;3;2), D( 0;1;0)

a/ Lập phương trình mặt phẳng (ABC) Từ ñó suy ra ABCD là một tứ diện

b/ Lập phương trình ñường thẳng (d) ñi qua trọng tâm G của tam giác ABC và ñi qua gốc tọa ñộ

2 Giải phương trìnhx + x + 9 = 0 trên tập số phức 2

Trang 33

ðỀ 8

Câu 1:(3 ñiểm) Cho hàm số y = x + 3x3 2−4 có ñồ thị (C)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại ñiểm có tọa ñộ (-1;-2)

mặt phẳng ñáy, SB = 5a, AB = 3a, AC = 4a

1) Tính chiều cao của S.ABCD

2) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD

Câu 4: (3 ñiểm)

1) Cho mặt cầu( ) : xS 2+y2+z2−10x+2y+26z 170+ =0

a./Tìm tọa ñộ tâm I và tính bán kính R của mặt cầu (S)

a/ Lập phương trình ñường thẳng (d) qua I và vuông góc với (α): 2x − 5y + z −14 = 0

2) Giải phương trình2x2−4x+ =7 0 trên tập số phức

ðỀ 9

Câu 1:(3 ñiểm) Cho hàm số y= − +x3 3x2−3x+2 có ñồ thị (C)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (C )

b Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị (C ) và hai trục tọa ñộ

1+x x dx

3 Cho hàm số y = x.sinx Chứng minh rằng xy 2(y− ′−sin x)+xy′′=0

Câu 3: (1 ñiểm) Cho tứ diện ñều ABCD có cạnh bằng a Tính thể tích của khối tứ diện ABCD

Trang 34

Câu 4: (3 ñiểm)

1 Cho hai mặt phẳng (α): 2x− +y 2z 1− =0; (α′) : x+6y+2z 5+ =0

a/ Chứng tỏ hai mặt phẳng vuông góc với nhau

b/ Lập phương trình mặt phẳng ( )β ñi qua gốc tọa ñộ và giao tuyến của hai mặt phẳng (α), (α′)

2 Chứng minh rằng với mọi m, ñường thẳng (d) y = 2x + m luôn cắt (C ) tại hai ñiểm phân biệt

3 Lập phương trình tiếp tuyến của (C ) tại giao ñiểm với trục hoành

Câu 2:(3 ñiểm)

1.Giải phương trình: 2 log x 3

3 − =81 2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P) y= −4 x2 và (d) y= − +x 2

3.Tìm GTLN, GTNN của hàm sốy=2sin x + 2sinx 12 −

góc BAC=90

Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC

Câu 4: (3 ñiểm) Cho ba ñiểm A(−2; 1; 2), B(0; 4; 1), C(5; 1;−5) , D(−2; 8;−5) và ñường thẳng

(d):x 5 y 11 z 9

−

a/ Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD

b/ Tìm tọa ñộ giao ñiểm M, N của (d) với mặt cầu (S)

c/ Lập phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại M, N

ðỀ 11 ðỀ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2008 (LẦN 1)

Câu 1 (3,5 ñiểm) Cho hàm số y=2x3+3x2−1

1) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số

2) Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình 2x3+3x2− =1 m

Câu 2 (1,5 ñiểm) Giải phương trình 32x 1+ −9.3x + =6 0

Câu 3 (1,0 ñiểm) Tính giá trị của biểu thức P= +(1 3.i)2+ −(1 3.i) 2

Trang 35

Câu 4 (2,0 ñiểm) Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC có cạnh ñáy bằng a, cạnh bên bằng 2a Gọi I là

trung ñiểm của cạnh BC

1) Chứng minh SA⊥BC

2) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a

I (2x 1)cosxdx

π

2) Tìm GTLN, NN của hàm số f(x)=x4−2x2+1 trên ñoạn [ ]0; 2

Câu 6b (2,0 ñiểm) Trong không gian Oxyz cho ∆ABC với A(1; 4; −1), B(2; 4; 3), C(2; 2; −1)

1) Viết phương trình mặt phẳng ñi qua A và vuông góc với BC

2) Tìm toạ ñộ ñiểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

ðỀ 12 ðỀ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2008 (LẦN 2)

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (8 ñiểm)

x 1

−

=+

1.Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số

2.Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị (C) tại ñiểm có tung ñộ bằng −2

Câu 2 (1,5 ñiểm) Giải phương trình log (x3 + +2) log (x3 − =2) log 5 (x3 ∈ℝ )

Câu 3 (1,0 ñiểm) Giải phương trình x2−2x+ =2 0trên tập số phức ℂ

BC=a 3, SA=3a

1.Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

2.Gọi I là trung ñiểm của SC, tính ñộ dài BI theo a

II PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH TỪNG BAN (2 ñiểm)

A Thí sinh ban KHTN chọn câu 5a hoặc câu 5b

Trang 36

Tài liệu ôn thi TN THPT 2) Tìm GTLN, NN của hàm số f(x)= −2x +4x4 2+3 trên ñoạn [ ]0; 2

Câu 5b (2,0 ñiểm) Trong không gian Oxyz cho hai ñiểm M(1; −2; 0), N(−3; 4; 2) và mặt phẳng (P) có

phương trình 2x+2y+ − =z 7 0

1) Viết phương trình của ñường thẳng MN

2) Tính khoảng cách từ trung ñiểm của ñoạn thẳng MN ñến (P)

B Thí sinh ban KHXH-NV chọn câu 6a hoặc 6b

Câu 6a (2,0 ñiểm)

1) Tính tích phân

2 2 1

J=∫(6x −4x 1)dx.+

2) Tìm GTLN, NN của hàm số f(x)=2x3−6x2+1 trên ñoạn [ ]−1;1

Câu 6b (2,0 ñiểm) Trong không gian Oxyz cho A(2; −1; 3), và mặt phẳng (P) x−2y z 10− − =0

1 Tính khoảng cách từ A ñến (P)

2 Viết phương trình ñường thẳng ñi qua A và vuông góc với (P)

ðỀ 13 ðỀ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2009

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 ñiểm)

Câu 1 (3,0 ñiểm) Cho hàm số y 2x + 1 (C)

Tìm GTLN, NN của hàm số f(x)=x2−ln(1 2x)− trên ñoạn [−2; 0 ]

Câu 3 (1,0 ñiểm) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên là ∆SBC ñều cạnh a, SA⊥(ABC), BAC 120 = 0 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

1 Dành cho thí sinh học theo chương trình Chuẩn

Câu 4a (2,0 ñiểm) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S)(x 1)− 2+ −(y 2)2+ −(z 2)2 =36và mặt phẳng (P) x+2y+2z 18+ =0

1 Xác ñịnh toạ ñộ tâm T và bán kính của mặt cầu (S) Tính khoảng cách từ T tới (P)

2 Viết phương trình ñường thẳng d ñi qua T và vuông góc với (P) Tìm toạ ñộ giao ñiểm của d và (P)

Câu 5a (1,0 ñiểm) Giải phương trình 8z2−4z 1+ =0trên tập số phức ℂ

2 Dành cho thí sinh học theo chương trình Nâng cao

Câu 4b (2,0 ñiểm) Trong không gian Oxyz cho A(1; −2; 3), và ñường thẳng d có phương trình

1 Viết phương trình mặt phẳng ñi qua A và vuông góc với d

2 Tính khoảng cách từ A ñến d Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d

Câu 5b (1,0 ñiểm) Giải phương trình 2z2− + =iz 1 0trên tập số phức ℂ

1.

2.

3.

Trang 37

I=∫(e −3x +2x 1)dx.−

3) Tìm GTLN,NN của hàm số f(x) = x4 + 2x2 − 3 trên ñoạn [−1; 2]

Câu 3 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥(ABCD), góc giữa SC và

(ABCD) là 300 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Câu 4 Trong không gian Oxyz cho ñiểm M(7; 5; 2), mặt phẳng (P) 2x + 2y − z+ 5 = 0

a) Tìm hình chiếu vuông góc của M trên (P)

b) Gọi (S) là mặt cầu tâm M và tiếp xúc với (P) Tìm giao ñiểm của (S) với trục Ox

Câu 5 Tìm môñun của số phức z biết i.z+ + =4 5i i(6 3i).+

Câu 4 Trong không gian Oxyz cho A(1; 2; 2), B(5; 4; 6), mặt phẳng (P) x + 3y + 2z − 2 = 0

1) Viết phương trình mặt cầu ñường kính AB

2) Tìm toạñộ giao ñiểm của ñường thẳng AB và mặt phẳng (P)

Câu 5 Tìm phần thực và phần ảo của số phức z=( 3 i)− 2+( 3+i)(1 i).−

Trang 38

Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 37

1) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d

2) Tìm ñiểm B thuộc d sao cho AB = h 6 , trong ñó h = d(B, (Oyz))

Câu 5 Giải phương trình trên tập số phức 4z2− 3z + 1 = 0

Câu 3 Tính thể tích khố cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a

Câu 4 Trong không gian Oxyz cho A(3; 2; 4), B(1; 2; 3), C(3; 0; 3)

Trang 39

4) Trong mặt phẳng Oxy cho các ñiểm A, B, C, A’, B’, C’ lần lượt là các ñiểm biểu diễn các số phức

1 i− , 2 3i,+ 3 + i, 3i, 3 − 2i, 3 + 2i Chứng minh rằng hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm

Câu 3 Tính thể tích khối chóp tứ giác ñều S.ABCD có cạnh ñáy bằng a, góc SAC=45 0

ẳ

Trang 40

Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 39

Câu 4 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) 2x − 2y + 3z − 9 =0 và ñường thẳng d:

2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x4−2x2 =m

3) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm A( 2; 1)

Câu 4 Trong không gian Oxyz cho A(3; 1; −1), B(2; −1; 4) và mặt phẳng (P) 2x − y + 3z − 1 = 0

1) Viết phương trình mặt phẳng (Q) ñi qua A, B và vuông góc với (P)

2) Viết phương trình ñường thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q)

Câu 5 Giải phương trình trên tập số phức 3x2 2−2x 3+ 2=0

−

Định dạng
Số trang	95
Dung lượng	5,4 MB