Tài liệu ôn thi ĐH môn Toán

Chuyên đề 2: Phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trìnhVà hệ bất phơng trình đại số Đ1.. Hệ phơng trình phơng trình đại số Một số dạng hệ phơng trình thờng gặp 1 Hệ phơng trình bậc nhấ

Chuyên đề 2: Phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình

Và hệ bất phơng trình đại số

Đ1 Hệ phơng trình phơng trình đại số

Một số dạng hệ phơng trình thờng gặp

1) Hệ phơng trình bậc nhất: Cách tính định thức

2) Hệ phơng trình đối xứng loại 1: Hệ không thay đổi khi ta thay x bởi y và ngợc lại

3) Hệ phơng trình đối xứng loại 2: Nếu đổi vai trò của x và y thì phơng trình này trở thành phơng trình kia

và ngợc lại

4) Hệ phơng trình đẳng cấp bậc 2: Xét 2 trờng hợp, sau đó đặt x = ty

5) Một số hệ phơng trình khác

Các ví dụ

Ví dụ 1 Một số hệ dạng cơ bản

1) Cho hệ phơng trình 















8 ) 1 )(

1 (

2

x y x

m y

x xy

a) Giải hệ khi m = 12

b) Tìm m để hệ có nghiệm

2) Cho hệ phơng trình

1 1

2

a







 Tìm a để hệ phơng trình có đúng 2 nghiệm phân biệt

3) Cho hệ phơng trình

1







Tìm m để hệ có nghiệm 4) Cho hệ phơng trình 











2 2

2

6 a y

x a y x

a) Giải hệ khi a = 2

b) Tìm GTNN của F = xy + 2(x + y) biết (x, y) là nghiệm của hệ

5) Cho hệ phơng trình 













y m x

x m y

2 2 ) 1 ( ) 1 (

Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất 6) Giải hệ phơng trình: 













2 2

2 2

x y

y x

7) Giải hệ phơng trình: 

























m y x x y y x y x

1 1 1 1 3 1 1

a) Giải hệ khi m = 6

b) Tìm m để hệ có nghiệm

Ví dụ 2 Giải hệ phơng trình:















2 2 2 2

2 3

2 3

y x x

x y y

(KB 2003)

HD: TH1 x = y suy ra x = y = 1

TH2 chú ý: x>0, y> 0 suy ra vô nghiệm

Ví dụ 3 Giải hệ phơng trình: 









35 8

15 2

3 3

2 2

y x

xy y x

HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt S = 2x + y và P = 2x y  Đs: (1, 3) và (3/2, 2) s: (1, 3) và (3/2, 2)

Ví dụ 4 Giải hệ phơng trình: 













) 2 ( 1

) 1 ( 3 3

6 6

3 3

y x

y y x x

HD: từ (2) : - 1 ≤ x, y ≤ 1 hàm số: f t t3 3t



 trên [-1;1] áp dụng vào phơng trình (1)

Ví dụ 5 CMR hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất:















x a x y

y a y x

2 2

2 2

2 2

HD: 







2 2 3

2x x a

y

x

; xét f(x)  2x3  x2, lập BBT suy ra KQ

Ví dụ 6 Giải hệ phơng trình: 













2 2

2 2

x y

y x

HD Bình phơng 2 vế, đói xứng loại 2

Ví dụ 7 













) 1 ( ) 1 ( 2 2

x a y xy

y a x xy

xác định a để hệ có nghiệm duy nhất

HD sử dụng ĐK cần và đủ  a = 8

Ví dụ 8 Giải hệ phơng trình: 











) 2 ( 5

) 1 ( 20

10 2

2

y xy

x xy

y y

y

x 5 2  5 

; Cô si 5  y 2 5

y





Ví dụ 9 















2 ) 1 ( 3

y x y x

y x y x

(KB 2002) HD: từ (1) đặt căn nhỏ làm nhân tử chung  (1;1) (3/2;1/2)

Ví dụ 10 















a y x

a y

x

3

2 1

Tìm a để hệ có nghiệm

HD: Từ (1) đặt u x 1 ,v  y 2 đợc hệ dối xứng với u, -v

Chỉ ra hệ có nghiệm thì phơng trình bậc hai tơng ứng có 2 nghiệm trái dấu

Bài tập áp dụng

1) 













49 5

56 2

6

2 2

2 2

y xy x

y xy x

2)





















) (

3

2 2

2 2

y x y

x

y y x x

KD 2003

3) 















0 9 5

18 ) 3

)(

2 (

2

2

y x x

y x x x

4) 















2 ) (

7 2 2

3 3

y x y x

y x y

x

HD: tách thành nhân tử  4 nghiệm 5) 











m xy

x

y xy

26 12 2

2

Tìm m để hệ có nghiệm

6) 









19 2

) (

3 3

2

y x

y y x

Đặt t = x/y  Hệ pt có 2 nghiệm

7) 













6 4

9 ) 2

)(

2 (

x

y x x

x

Đặt X = x(x + 2) và Y = 2x + y

8)

2 (1) 4







HD: Đs: (1, 3) và (3/2, 2) ổi biến theo v, u từ phơng trình (1)

9) 











2 2

3 3

3

6 19 1

x xy

y

x y

x

HD: Đs: (1, 3) và (3/2, 2) ặt x = 1/z thay vào đợc hệ y, z Đs: (1, 3) và (3/2, 2) S ( - 1/2, 3) (1/3, - 2)

10)















1 2

1 1

3

x y

y y x x

(KA 2003)

HD: x = y V xy = - 1





x

11) 













a x y

a y x

2 2 ) 1 (

) 1 (

xác định a để hệ có nghiệm duy nhất HD sử dụng Đs: (1, 3) và (3/2, 2) K cần và đủ

12)

















3 3 2

2

xy y x

x

y y

x

HD bình phơng 2 vế

13)



















78 1 7

xy y xy

x

xy x

y y

x

HD nhân 2 vế của (1) với xy

Đ2 Phơng trình và bất phơng trình phơng trình đại số

Một số dạng phơng trình và bất phơng trình thờng gặp

1) Bất phơng trình bậc hai

Định lý về dấu của tam thức bậc hai

Phơng pháp hàm số

2) Phơng trình, bất phơng trình chứa giá trị tuyệt đối

0

A B





 



3) Phơng trình, bất phơng trình chứa căn thức

Một số ví dụ

Ví dụ 1 Tìm m để (x 1 )(x 3 )(x2  4x 6 ) m nghiệm đúng với mọi x

HD: sử dụng hàm số hoặc tam thức: m ≤ - 2

Ví dụ 2 Tìm a để hệ sau có nghiệm 

















2 ) 1 ( 2 2

a y x x y y x

HD: 22 (1)2

( 1) ( 2) 1 (2)

x y

 







TH1: a + 1 ≤ 0 Hệ vô nghiệm

TH2: a + 1>0 Vẽ đồ thị (2) là đờng tròn còn (1) là miền gạch chéo: a ≥ - 1/2

Ví dụ 3 Giải các phơng trình, bất phơng trình sau

2) x4 1 x  1 2x: x = 0

3) 2 (x2  2x)  x2  2x 3  9  0 x 1  5

















 x x x

Ví dụ 4 Tìm m để hệ sau có nghiệm 















0 1

2

0 9 10 2 2

m x

x

x x

ĐS: m≥4

Ví dụ 5 Giải bất phơng trình 2 x 1  2 xx 2

HD + / Nhân 2 vế với biểu thức liên hợp của VT

+ / Biến đổi về BPT tích chú ý Đs: (1, 3) và (3/2, 2) K

Ví dụ 6 Giải bất phơng trình: 7

2

1 2 2

3

x

x x x

HD Đs: (1, 3) và (3/2, 2) ặt , 2

2

1





x x

t , AD BĐs: (1, 3) và (3/2, 2) T cô si suy ra Đs: (1, 3) và (3/2, 2) K

Ví dụ 7 Giải bất phơng trình: 4

) 1 1

2







x x

HD: + / Xét 2 trờng hợp chú y DK x> = - 1

+ / Trong trờng hợp x ≥ 4, tiến hành nhân và chia cho biểu thức liên hợp ở mẫu ở VT

Ví dụ 8 Cho phơng trình: x 9 x   x29xm Tìm m để phơng trình có nghiệm

HD: + / Bình phơng 2 vế chú ý ĐK

+ / Đặt t = tích 2 căn thức, Tìm ĐK của t

+ / Sử dụng BBT suy ra KQ

Ví dụ 9 Giải bất phơng trình (KA 2004) :

3

7 3 3

) 16 (

2 2















x

x x

x x

Bài tập áp dụng

1) 













0 1 2 2

2

a y

x

x y

x

Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất Tìm nghiệm duy nhất đó.

ĐS a = - 1 và a = 3

2) Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm: 4x 2  16  4x m













x

4) x 12  x 3  2x 1











 x x x x x HD: Đs: (1, 3) và (3/2, 2) ặt 2 2 1





6) (x 1 )x ( 2 x)x  2 x2

7)

2

3 1

) 2 ( 1

x x

x

x

8) Cho phơng trình: x 4 x 4 x x 4  m

a) Giải phơng trình khi m = 6

b) Tìm m để phơng trình có nghiệm

1

2









x

x x











x









x

Chuyên đề 3: Lợng giác

Đ1 Phơng trình và hệ phơng trình lợng giác

Một số kiến thức cần nhớ

 Các công thức biến đổi lợng giác

 Một số dạng phơng trình cơ bản

 Phơng trình bậc 2, bậc 3 theo một hàm số lợng giác

 Phơng trình đẳng cấp bậc nhất với sinx, cosx: asinx + bcosx = c

 Phơng trình đẳng cấp bậc 2 với sinx, cosx: a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x + d = 0

 Phơng trình đẳng cấp bậc 3 với sinx, cosx:

a sin 3 x + b sin 2 x cosx +

c sinx cos 2 x + d cos 3 x = 0

a sin 3 x + b sin 2 x cosx +

c sinx cos 2 x + d cos 3 x + m = 0

 Phơng trình đối xứng với sinx, cosx a: (sinx±cosx) + b sinx cosx + c = 0

 Phơng trình đối xứng với tgx, cotgx

 Phơng trình đối xứng với sin 2n x, cos 2n x

Các ví dụ

Ví dụ 1 2.cos 4

sin 2

x

x

  HD: đặt Đs: (1, 3) và (3/2, 2) K x = ± /3 + k.

2

1 3

2 cos

3

































3 cos ).

2 cos(

2

 Đs: (1, 3) và (3/2, 2) S 3 họ nghiệm

sin

2 sin 2 sin

sin

2

2 2

2





x

x x

HD: Nhóm, nhân lên và tách 2 thành 2 nhóm

Ví dụ 4

8





HD: Đs: (1, 3) và (3/2, 2) ặt Đs: (1, 3) và (3/2, 2) K rút gọn MS = 1; AD công thức nhân 3; Đs: (1, 3) và (3/2, 2) S x = - /6 + k

Ví dụ 5 3 tan (tan x x2.sin ) 6.cosx  x 0

HD: Biến đổi theo sin và cos đợc 3 cos 2 ( 1 2 cos ) sin 2 ( 1 2 cos ) 0







Ví dụ 6

2

2

y

y









HD: nhân (1) với (2) rút gọn tan2 4sin2

2

y

y

2

y

t  

 ; t = 0, t  3

Ví dụ 7 x x x x sin 3x 1 cosx

2

1 sin 4 cos 2

sin 3

Ví dụ 8

2

1 5

cos 4 cos 3 cos 2 cos

HD: nhân 2 vế với 2 sin(x/2) chú y xet trờng hợp bằng 0







thực hiện rút gọn bằng cách trên

Ví dụ 9 tan sinx 2 x 2.sin2 x3(cos 2xsin cos )x x HD: BĐs: (1, 3) và (3/2, 2) sau đó đặt t = tg(x/2)

Ví dụ 10 9 sin2

cos 2

x





) (sin log

2 log 2 log

sin

sin

x x

x x

Đ2 Giá trị lớn nhất nhỏ nhất, phơng trình có tham số

Một số kiến thức cần nhớ

 Phơng pháp hàm số: Bài toán Max, Min trên 1 khoảng và một đoạn.

 Phơng pháp bất đẳng thức, nhận xét đánh giá

Các ví dụ

Ví dụ 1 Tìm GTLN, GTNN:

x x

x x

2 4

cos 2 sin 3

sin 4 cos 3







HD: t = cos2x, tìm Max, Min trên 1 đoạn M = 8/5 m = 4/3

Ví dụ 2 Cho phơng trình: cos 2xm cos 2x 1 tgx

1) Giải phơng trình khi m = 1

2) Tìm m để phơng trình có nghiện thuộc đoạn [0; /3]

HD: t = tgx, t  0; 3

  ; Lập BBT f(t) Đs: (1, 3) và (3/2, 2) S: m( 1  3 ) 1  3 ; 1

Ví dụ 3 : Tìm GTLN, GTNN: y 2 sin 8 x cos 4 2x





HD: t = cos2x, - 1≤t≤1 tìm Max, Min trên 1 đoạn f, t  0  8t3   (t 1 ) 3 Đs: (1, 3) và (3/2, 2) S:M = 3, m = 1/27

Ví dụ 4 Tìm GTLN, GTNN: cos 4 sin 4 sin cos 1







y

Ví dụ 5 Cho phơng trình: 2 (sin 4 cos 4 ) cos 4 2 sin 2 0









x

Tìm m để phơng trình có ít nhất một nghiện thuộc đoạn [0; /2] Đs: (1, 3) và (3/2, 2) S: [ -10/3; -2]

Ví dụ 6 Cho phơng trình

3 cos 2 sin

1 cos sin

2











x x

x x

a

1) Giải phơng trình khi a = 1/3

2) Tìm a để phơng trình có nghiệm

HD: Đs: (1, 3) và (3/2, 2) a về dạng: (2 - a) sinx + (2a + 1) cosx = 3a + 1 Đs: (1, 3) và (3/2, 2) S [ -1/2, 2]

Ví dụ 7 Tìm nghiệm của pt sau trong khoảng (0, ) : 



















4

3 cos

2 1 2 cos 3 2 sin

x x

x

Bài tập áp dụng

1)

2

1 3 sin 2 sin sin 3 cos 2 cos

.

2) sinx 3 cosx sinx 3 cosx  2

           

4)

x

x x

x

cos

1 3

cos 2 sin

1 3

sin

.

1 cot 2

sin 2

x x

x



  HD: Chú ý Đs: (1, 3) và (3/2, 2) K  Đs: (1, 3) và (3/2, 2) S: x = - /4 + k/2

6) cos 2xcos (2.tanx 2 x1) 2

7) 3 cos 4x 8 cos 6 x 2 cos 2  3  0

8)

1 1

cos 2

3 sin 4 2 sin 2 cos

)

3

2

























x

x x

9) 1  sinx cosx sin 2x cos 2x 0

Một số đề thi từ năm 2002 1) Tìm nghiệm thuộc khoảng 0; 2 của phơng trình  cos 2 3

2 sin 2 1

3 sin 3 cos sin















x

x x

2) Giải phơng trình

2 4

4

(2 sin 2 )sin 3

1 tan

cos

x

x



3) Tìm nghiệm thuộc khoảng 0; 2 của phơng trình  cot 2 tan 4sin 2 2

sin 2

x

4) Tìm x nghiệm đúng thuộc khoảng 0;14 của phơng trình  cos 3x 4cos 2x3cosx 4 0 KB 2003

5) Xác định m để phơng trình 2 sin 4 xcos4 xcos 4x2sin 2x m  có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn0 0;

2



  (DB 2002)

6) Giải phơng trình

cot 2

x



7) Giải phơng trình tan cos cos2 sin 1 tan tan

2

x

(DB 2002)

8) Cho phơng trình 2sin cos 1

(1)

a



a) Giải phơng trình (2) khi 1

3

a 

b) Tìm a để phơng trình có nghiệm

9) Giải phơng trình

2

1

sin 8cos x  x (DB 2002)

10) Giải phơng trình cos 2 2 1

x

x

11) Giải phơng trình 3 tan xtanx2sinx6cosx (DBKA 2003) 0

12) Giải phơng trình cos 2xcosx2 tan2 x1  (DBKA 2003) 2

13) Giải phơng trình 3cos 4x 8cos6x2cos2x  (DBKB 2003) 3 0

14) Giải phơng trình 2 3 cos 2sin2

1

x x

x





(DBKB 2003)

15) Giải phơng trình sin2 tan2 cos2 0

x



16) Giải phơng trình  

2

2 1 sin

x





(DBKD 2003)

17) Giải phơng trình 2sin 4

sin 2

x

x

18) Giải phơng trình 5sinx 2 3 1 sin   xtan2x (KB 2004)

19) Giải phơng trình 2cosx1 2sin  xcosx sin 2x sinx (KB 2004)

Chuyên đề 4: Mũ & Lôgarit

Đ1 Phơng trình và hệ phơng trình Mũ lôgarit

Một số kiến thức cần nhớ

 Các công thức về mũ và lôgarit.

 Giới thiệu một số phơng trình cơ bản.

 Khi giải phơng trình về logarit chú ĐK

Các ví dụ

Ví dụ 1 Cho phơng trình: log log 2 1 2 1 0

3 2

3 x x  m 

1) Giải phơng trình khi m = 2

Ví dụ 2













4 log

log

2

5 ) (

log

2 4

2 2 2

y x

y x

đs (4, 4)

Ví dụ 3 log ( 1 ) log ( 4 )

4

1 ) 3 ( log

2

1

2

8 4

2 x  x  x HD: Đs: (1, 3) và (3/2, 2) K x>0 Và x≠1; Đs: (1, 3) và (3/2, 2) S x = 2, x2 3 3

Ví dụ 4 log 5 x log 3x log 5 x  log 3x HD: Đổi cơ số  ĐS: x = 1 và x = 15

Ví dụ 5 











6 3 3 ) ( 3 9

2 2

3 log )

(

x y y

x

xy xy

Ví dụ 6 x x



 1 ) ( log3

2

HD: Đs: (1, 3) và (3/2, 2) K x> - 1 TH1: - 1<x ≤ 0 phơng trình vn

TH2: x>0, đặt y = log 3 (x + 1) Suy ra 1

3

1 3

2



























2

x

x















 

HD: VP ≤ 1 với x>0, BBT VT ≥ 1 ; Côsi trong lôgagrit  Đs: (1, 3) và (3/2, 2) S x = 1

Ví dụ 8 















y y y

x x x

2 2

2 4

4 5

2

1 3

ĐS (0, 1) (2, 4)

Ví dụ 9 Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thuộc [32, + ) : log log 3 log 2 3

4 2

2 1 2

2x x  m x 

1 3 1

1 , 0

2

2   















m t m m m m

Ví dụ 10 





 3 2 2

log log

y x

x

HD Đs: (1, 3) và (3/2, 2) K x, y>0 và khác 1; BĐs: (1, 3) và (3/2, 2) (1) đợc

TH1: y = x thay vào (2) có nghiệm

y

x  thay vào (2) CM vô nghiệm chia thành 2 miền y>1 và 0<y<1

Đ2 Bất phơng trình và hệ bất phơng trình Mũ lôgarit

Một số kiến thức cần nhớ

Giới thiệu một số bất phơng trình về mũ và logarit

Chú y ĐK

Các ví dụ

Ví dụ 1 Tìm k để hệ phơng trình sau có nghiệm: 

















1 ) 1 ( log 3 log 2

0 3

1

3 2 2

2 3

x x

k x x

HD: ĐK x>1; Giải (2) 1<x ≤2; BBT f x   x 1  3 3 x ĐS: k > - 5

Ví dụ 2 log 2 log ( 1 ) log26 0

4

1 2

x

2

3 log

2

1

2

2  HD: Lấy logarit 2 vế theo cơ số 2

Ví dụ 4 logx(log3.( 9x  27 ))  1

4

log  log ( x  2 x  x )   0

Ví dụ 6 ( 1)log (2 5)log 6 0

2 1 2

2

x

HD: Đs: (1, 3) và (3/2, 2) ặt t = log x , coi BPT đã cho là Bpt bậc 2 ẩn t; Chú ý so sánh 2 trờng hợp t 1 , t2

Đs: (1, 3) và (3/2, 2) S (0;2] v (x≥ 4)

Ví dụ 7 Giải bất phơng trình x x

2

3 log 2

1

2

Ví dụ 8 Giải bất phơng trình:

0 1

) 3 ( log ) 3 (

3 1 2 2

1











x

x x

Ví dụ 9 Giải bất phơng trình: 2

log (x 3 )x log (3x1)

Bài tập áp dụng

3 3 2

2

1 3 log log

.

3

























2) 2log 2 log3 log3( 2 1 1 )

3

1 2

9

2 2

2 2





















x x x

x

4) 













0 log log

0 3

4

2

4x x

y

x

ĐK x, y≥ 1  ĐS: (1, 1) (9, 3)

5)





















3 ) 5 3 2

(

log

3 ) 5 3 2

(

log

2 3

2 3

x y y

y

y x x x

y

x

6)















 25

1 ) 1 ( log ) (

log

2 2

4 4

1

x

y

y x

y

7) log (2 1).log (2 1 2) 6

2

8) Tìm a để hệ sau có nghiệm:



















0 )

1 (

1 )

3 2 (

2

4 2 log

a x a x

x

HD: a>3/2

9) log log (93 x 6) 1

10) Giải phơng trình log ( 2 1 ) log ( 2 2 )

2

2

3 x  x  x  x

11) 















x y y

x

x

y

2 2

2

2

12) 















0 6

) (

8

1 3

).

(

4 4

4

4

y x x y y

x

y

x

13) Tìm m để phơng trình 4log  log 0

2 1 2

2 x  xm có nghiệm thuộc khoảng (0;1)

Chuyên đề 5 Tích phân xác định và ứng dụng

Đ1 Phơng pháp tính tích phân

I Tích phân các hàm số hữu tỉ

Ví dụ : Tính các tích phân sau

1)

2 3 B

; ) 1

(

1 2 3

2

9

2











x x

dx x

dx x

A

) 1 ( B

; 1

2 2

2

10

3 2

1

3

2











x

dx x x

dx x x

A

3)

) 1 ( ) 3 (

B

; 6

5

)

1 16 10

2

(

1

0

2 2

1

1

2

2 3

























x x

dx

x x

dx x

x x

A

4)

2 3

) 4 7 ( B ; 6 5

)

6 3

1 3 1

1

2 3

2 3























x x

dx x

x x x

dx x

x x

A

3 4 B

; 2

2

1

2 4 2

1

2







x x

dx x

x x

dx A

) 4 (

B

; ).

1 4

0

2 8

3 2

1

3 4

2 3













x

dx x x

x

dx x

x x A

) 1 (

)

1 ( B

; ) 1 (

3

1 4

4 2

1

2





x x

dx x x

x

dx A







1 0

2 2

2 4

3

3 6

5

; ) 1 )(

2 (

13 2 2 B

; 2

3

3

dx x

x

x x x

x

dx x A

Bài tập

1) (CĐSP HN 2000):  

3

0

2

2

1

2

x

x I

2) (ĐHNL TPHCM 1995)   

1

0

2 5x 6

x

dx I

3) (ĐHKT TPHCM 1994)  

1

0

3 ) 2 1

x I

4) (ĐHNT HN 2000)

   



1

0

2

2 3

9 2

).

1 10 2

(

x x

dx x

x x

I

5) (ĐHSP TPHCM 2000)   

1

0

).

11 4 (

x x

dx x

I

6) (ĐHXD HN 2000)  

1

0

3 1

3

x

dx I

7) (ĐH MĐC 1995 )   

1

0

2

4 4x 3

x

dx I

8) (ĐHQG HN 1995) Xác định các hằng số

A,B,C để

2 1

) 1 ( 2 3

3 3 3

2 3

2





















x

C x

B x

A x

x

x x

x x

x x

2 3

3 3 3

3

2

  



9) (ĐHTM 1995)  

1

0 2

5

1

.

x

dx x I

10) (ĐH Thái Nguyên 1997)

x x

dx x





(1 ).1 HD: t x1

2

1 4 2

11) Xác định các hằng số A,B để

1 )

1 ( ) 1 (

2

2

2    





x

B x

A x

x

Tính

dx x

x

) 1 (

) 2 (

3

2

2

 



) 1 ( ) 1 ( ) (







x x

x x

f

a) Định các hệ số A,B,C,D,E sao cho















1 1

) 2 )(

1 ( )

2

x

dx E x

dx D x

x

C Bx Ax dx x f

b) Tính 

3

2

) (x dx f

II Tích phân các hàm số lợng giác

Ví dụ : Tính các tích phân sau

1)

3 2

2 0

6

tan

; B

A







2)

0

6

tan

cos 2

x dx

x





x

dx x x

A ; B sin cos 2

cos 1

) sin

0 2 4











sin 1

cos

2

0

2

 





x

dx x x A

Bài tập

1) (ĐHQG TPHCM 1998) Tính :







2

0 4 2

0

2 sin J

va

; sin

1

2 sin





x

dx x x

dx x I

2) (ĐHSP TPHCM 1995)

Cho

x x

x x

f

cos sin

sin )

(





a) Tìm A,B sao cho





















x x

x x B A x

f

sin cos

sin cos )

(

b) Tính





3

0

)

(



dx x f I

3) (ĐHGTVT TPHCM 1999)

a) CMR





2

0

4 4

4 2

0

4 4

4

sin cos

sin sin

cos

cos





x x

dx x x

x

dx x

b) Tính



2

0

4 4

4

sin cos

cos



x x

dx x I

4) (ĐHTS 1999) Tính :



2

0

2 ) cos 1 (

cos sin



dx x x

x

I

5) (ĐHTM HN 1995) Tính





4

0 4

cos



x

dx I

6) (HVKTQS 1999):Tính

 



4

0

4

3

cos 1

sin 4



x

dx x I

7) (ĐHNN1 HN Khối B 1998)

 



2

2 cos



x

dx x I

8) (ĐHQGHN Khối A 1997)





2

0

2 3

cos 1

sin



x

dx x I

9) (ĐHNN1 HN 1998) Tính

  



2

6

cos sin

2 cos 2

sin 1





dx x x

x x

I

10) (ĐHQG TPHCM 1998)





2

0

2

3 sin cos



dx x x I

11) (HVNH TPHCM 2000)

 



4

0

2

cos 1

4 sin



x

dx x I

12) (ĐHBK HN 1999) Cho hàm số

2

) sin 2 (

2 sin )

(

x

x x

h





a) Tìm A,B để

x

x B x

x A x

h

sin 2

cos ) sin 2 (

cos )









b) Tính 





0

2

)

(



dx x h I

13) (ĐHBK HN 1998)



2

0

4

.(cos 2 cos



dx x x

x I

14) (HVNH TPHCM 2000)

 



3

0

2

cos

) sin (



x

dx x x

I

III Tích phân các hàm số vô tỉ

Ví dụ : Tính các tích phân sau :

1)





a

a dx x a x dx

x x

A

2

0

2 1

0

8

15 1 3 ; B 2 ( 0 )

2)











4

1 0

2 2

) 1 ( B

;

x x

dx dx

x a x

A

a









2 1

0

1 2 1; B (x 1 )(x 2 )

dx x

x

dx A







0

1 1

2

2

2 4

B

; 1

x x

dx x

dx x A





2 2

0 2 2

1 B

; 1

x

dx A

6)







2 7

0 3

1

dx x

dx x A









3

0 2

3

) 2 1 ( (*)B

;

dx x

x x

dx A

1 1

1 (*)

0

1

3







x

dx x

x A













0

1 2 1

0

2 ; B 2 2

A

1

2 1 2

2 2

1

2

1 B

;

1

dx x

x dx

x x A