Định nghĩa nghiệm, tập nghiệm.. Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất, có vô số nghiệm, vô nghiệm.. Các phơng pháp giải hệ... D.5.1: Tìm một giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phơng trì
Trang 1Phần I Lý thuyết:
1 Định nghĩa.
2 Định nghĩa nghiệm, tập nghiệm.
Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất, có vô số nghiệm, vô nghiệm
ax by c
a' x b' y c '
(a, b, c, a’, b’, c’ khác 0)
+ Hệ có vô số nghiệm nếu a b c
a' = b' = c ' + Hệ vô nghiệm nếu a b c
a' = b' ≠ c ' + Hệ có một nghiệm duy nhất nếu a b
a' ≠ b'
3 Các phơng pháp giải hệ.
ax by c
a' x b' y c '
a) Phơng pháp cộng đại số.
+ Nếu có ax by c
ax b' y c '
ax b' y c '
+ Nếu có ax by c
ax b'y c '
(b b')y c c '
ax b' y c '
+ Nếu có ax by c
k.ax b' y c '
k.ax kby c k.ax b' y c '
(kb b')y k.c c '
ax by c
+ Nếu hệ ax by c
a' x b' y c '
có (a, a’) = 1 thì hệ ⇔
aa' x ba'y ca' aa' x ab' y ac '
b) Phơng pháp thế.
ax by c
a' x b' y c '
a' x b' y c '
= − +
⇔
= − +
…
Chú ý: Có thể đặt ẩn phụ trớc khi áp dụng các phơng pháp giải hệ:
(áp dụng cho các hệ phơng trình chứa ẩn ở mẫu, dới dấu căn bậc hai.)
Trang 2PhÇn II Ph©n d¹ng bµi tËp:
D¹ng 1: Gi¶I hÖ ph¬ng tr×nh kh«ng chøa tham sè.
VÝ dô:
Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh:
a) + =
2x y 7 4x 3y 4 b)
+ = −
3a 3b 8 a
2
c)
2 3
2
x y
1 1
5
x y
+ =
+ =
D¹ng 2: Gi¶I hÖ ph¬ng tr×nh khi biÕt gi¸ trÞ cña tham sè.
VÝ dô:
Cho hÖ pt: + − =
2
2
3mx (n 3) y 6 (m 1)x 2ny 13 a) Gi¶i hÖ pt víi m = 2; n = 1
b) Gi¶i hÖ pt víi m = 1; n = - 3
D¹ng3: Gi¶I biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh cã chøa tham sè tham sè.
VÝ dô 1:
Cho hÖ pt: + =
mx y 2 2x y 1 Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ theo m
Bµi lµm:
2x y 1
mx y 2
− =
(2 m)x 3 (1)
+ XÐt ph¬ng tr×nh (1) (2 + m)x = 3
- NÕu 2 + m = 0 ⇔m = - 2 th× ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng 0x = 3 (3)
Do ph¬ng tr×nh (3) v« nghiÖm ⇒hÖ v« nghiÖm
- NÕu 2 + m ≠0 ⇔m ≠ - 2
Th× ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm duy nhÊt x = 3
2 m+ + Thay x = 3
2 m+ vµo ph¬ng tr×nh (2) ta cã:y = 2x – 1 =
6
2 m+ - 1 =
4 m
2 m
− + VËy víi m ≠ - 2 th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt
3 x
2 m
4 m y
2 m
=
=
Trang 3
Cho hệ pt: + =
+ =
nx y 2n
nx ny n Giải và biện luận hệ theo n
Chú ý:
Phơng trình ax = b (1)
+ Nếu a = 0 thì phơng trình (1) có dạng 0x = b
- Khi b = 0 thì phơng trình (1) có dạng 0x = 0
⇒ phơng trình có vô số nghiệm
- Khi b ≠0 phơng trình (1) vô nghiệm
+ Nếu a ≠ 0 thì phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất b
a
Dạng 4: Tìm giá trị tham số khi biết dấu của nghiệm của hệ phơng trình.
Ví dụ 1:
Cho hệ pt: + =
+ =
x 2y 5
mx y 3 Tìm m để x < 0, y < 0
Ví dụ 2:
Cho hệ pt: + = + +
2
2
ax 3y a 4a Tìm m để x > 0, y < 0
Dạng5: Tìm giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phơng trình.
D.5.1: Tìm một giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phơng trình.
Phơng pháp:
Cho hệ pt: + =
′ + ′ = ′
a x b y c (2) có nghiệm
0
0
x x
y y
=
=
Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (1) và giải
Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (2) và giải
Ví dụ 1: Cho hệ phơng trình − =
Tìm n để hệ có nghiệm (x; y) = (1; - 2)
Giải: Thay (x; y) = (2; 1) vào (1) ta có: 3 – 2.(- 2) = 7⇔3 + 4 = 7
Vậy (2; 1) là nghiệm của (1)
Thay (x; y) = (1; -2) vào (2) ta có: (5n + 1) + 2.(n - 2) = n2 – 4n – 3
⇔ 7n – 3 = n2 – 4n – 3⇔ n(n –11) = 0 ⇔ =n 0n 11=
Vậy với n = 0 hoặc n = 11 thì hệ đã cho có nghiệm (x; y) = (1; - 2)
Trang 4Ví dụ 2: Cho hệ phơng trình
2
2
1
3
Tìm m để hệ có 1 nghiệm duy nhất x = 1; y = 3
Giải: ĐK để hệ có một nghiệm: 2.5m.(m – 1) ≠ 1
3m.4m Thay x = 1; y = 3 vào (1) ta có:
5m2 – 5m + m = 1 – 4m + 4m2 ⇔m2 = 1 ⇔ m 1
=
= −
Thay x = 1; y = 3 vào (2) ta có:
4m + 6 = m2 + 3m + 6 ⇔ m(m – 1) = 0 ⇔ m 0
m 1
=
=
(II)
Từ (I) và (II) ⇒ Với m = 1 thì hệ pt có nghiệm x = 1 ; y = 3
D.5.2: Tìm hai giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phơng trình.
Phơng pháp:
Cho hệ pt: ax by c
a x b y c
′ + ′ = ′
0
0
x x
y y
=
=
Thay x = x0; y = y0 vào cả hệ pt ta đợc 0 0
0 0
⇒ Giải hệ pt chứa ẩn là tham số
Ví dụ:
Cho hệ pt: + − =
2mx (n 2)y 9 (m 3)x 2ny 5 Tìm m; n để hệ có nghiệm x = 3; y = - 1 Giải: Thay x = 3; y = - 1 vào hệ pt ta có:
(m 3).3 2n.( 1) 5 6m (n 2).( 1) 9
12m 2n 14
n 5
=
=
Vậy với m = 2 và n = 5 thì hệ có nghiệm x = 3; y = - 1
Dạng 6: Tìm giá trị tham số khi biết hệ thức liên hệ giữa x và y.
Phơng pháp:
Cho hệ pt: ax by c (1)
a x b y c (2)
′ + ′ = ′
(I) có nghiệm (x; y) thoả mãn: px + qy = d (3) + Do (x; y) là nghiệm của hệ (I) và thoả mãn (3)
⇒ (x; y) là nghiệm của (1), (2), (3)
+ Kết hợp 2 pt đơn giản nhất
+ Tìm nghiệm thay vào pt còn lại ⇒ Giải pt chứa ẩn là tham số
Trang 5Cho hệ phơng trình 3x 2y 8 (1)
3mx (m 5)y (m 1)(m 1) (2)
Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thoả mãn: 4x – 2y = - 6 (3)
Giải:
Điều kiện: 3.(m + 5) – 6m ≠0 ⇔ m≠5
Do (x; y) là nghiệm của hệ pt (I) và thoả mãn (3)
⇒(x; y) là nghiệm của (1), (2), (3)
Kết hợp (1) và (3) ta có: 3x 2y 8
= −
= −
Thay x = 2, y = -1 vào pt (2) ta đợc:
6m – (m +5) = m2 - 1 ⇔m2 – 5m + 4 = 0⇔ m 1
m 4
=
=
( t/m) Vậy với m = 1 hoặc m = 4 thì hệ (I) có nghiệm thoả mãn 4x – 2y = - 6
Ví dụ 2:
Cho hệ phơng trình mx y 5 (1)
2mx 3y 6 (2)
+ =
(I) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn: (2m – 1)x + (m + 1)y = m (3) Giải:
Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất: m.3≠2.m ⇒m ≠ 0
Từ (1) ⇒ y = 5 – mx Thay vào (2) ta có:
2mx + 3(5 - mx) = 6 ⇔ x = 9
m (m≠0) Thay x = 9
m vào y = 5 – mx ta có: y = 5 -
9m
m = - 4 Vậy với m≠0 hệ (I) có nghiệm x = 9
m; y = - 4 Thay x = 9
m; y = - 4 vào pt (3) ta đợc:
(2m – 1) 9
m + (m + 1)(- 4) = m
⇔18 - 9
m - 4m – 4 = m ⇔5m2 – 14m + 9 = 0⇔(m – 1).(5m – 9) = 0
⇔
m 1
9
m
5
=
=
(thoả mãn)
Vậy với m = 1 hoặc m = 9
5 thì hệ (I) có nghiệm duy nhất thoả mãn pt (3).
Trang 6Dạng 7: Tìm giá trị tham số để hệ phơng trình có nghiệm nguyên.
Chú ý:
+) a
Z
m∈ ⇔ m∈Ư(a) (a, m∈ Z)
+)
a Z m
m
∈
∈
⇔m ∈ Ư(a,b)
Ví dụ 1:
Cho hệ pt: + + =
(m 2)x 2y 5
Tìm m∈ Z để hệ có nghiệm nguyên
Giải:
Từ (2) ta có: y = mx – 1 Thay vào (1) ta đợc:
(m + 2)x + 2(mx - 1) = 5
⇔3mx + 2x = 7
⇔ x.(3m + 2) = 7 (m ≠ 2
3
− )
⇔x =
+
7 3m 2. Thay vào y = mx – 1 ⇒ y =
+
7 3m 2.m – 1 ⇒ y = −
+
4m 2 3m 2
Để x∈ Z ⇔
+
7 3m 2∈ Z ⇔3m + 2 ∈ Ư(7) = {7; 7;1; 1− − }
+) 3m + 2 = - 7⇔m = - 3 +) 3m + 2 = 7⇔m = 5
3 (Loại) +) 3m + 2 = 1⇔m = 1
3
− (Loại) +) 3m + 2 = -1⇔m = - 1
Thay m = - 3 vào y = −
+
4m 2 3m 2 ⇒ y = 2 (t/m) Thay m = - 1 vào y = −
+
4m 2 3m 2 ⇒ y = 6 (t/m) Kết luận: m∈ Z để hệ có nghiệm nguyên là m = -3 hoặc m = -1
Trang 7Cho hệ pt: (m 3)x y 2
mx 2y 8
Tìm m để hệ có nghiệm nguyên
Giải:
Từ (1) ta có y = 2 – (m – 3).x ⇔ y = 2 – mx + 3x
Thay vào (2) ta có: mx + 2.(2 – mx + 3x) = 8⇔ - mx + 6x = 4
⇔x.(6- m) = 4 (m ≠6)
⇔x = 4
6 m− Thay vào y = 2 – (m – 3).x ta có: y =
24 6m
6 m
−
−
Để x∈ Z ⇔ 4
6 m− ∈ Z ⇔ 6 - m ∈ Ư(4) = {1; 1;2; 2;4; 4− − − }
+) 6 – m = 1 ⇔ m = 5
+) 6 – m = -1⇔ m = 7
+) 6 – m = 2 ⇔ m = 4
+) 6 – m = - 2⇔ m = 8
+) 6 – m = 4⇔ m = 2
+) 6 – m = - 4⇔ m = 10
Thay m = 5 vào y = 24 6m
6 m
−
− ⇒ y = - 6 (t/m) Thay m = 7 vào y = 24 6m
6 m
−
− ⇒ y = 18 (t/m) Thay m = 4 vào y = 24 6m
6 m
−
− ⇒ y = 0 (t/m) Thay m = 8 vào y = 24 6m
6 m
−
− ⇒ y = 17 (t/m) Thay m = 2 vào y = 24 6m
6 m
−
− ⇒ y = 3 (t/m) Thay m = 10 vào y = 24 6m
6 m
−
− ⇒ y = 9 (t/m) Kết luận: Để hệ có nghiệm nguyên thì m ∈ {5;7;4;8;2;10}
Dạng 8: Tìm giá trị tham số để biểu thức liên hệ giữa x, y nhận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Ví dụ 1:
Cho hệ pt:
2
2
mx y m
a) CMR hệ pt luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
b) Tìm m để biểu thức: x2 + 3y + 4 nhận GTNN Tìm giá trị đó
Giải:
(2) (1)
Trang 8a) Do m2 ≥ 0 với mọi m
⇒ m2 + 2 > 0 với mọi m
Hay m2 + 2 ≠ 0 với mọi m
Vậy hệ pt luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
b) Rút y từ (1) ta có: y = mx – m2 (3)
Thế vào (2) ta đợc
2x + m(mx – m2) = m2 + 2m +2 ⇔2x + m2x – m3 = m2 + 2m +2
⇔2x + m2x = m3 + m2 + 2m +2⇔ x(2 + m2) = (m3 + 2m) + (m2 + 2)
⇔ x(2 + m2) =(m + 1)(m2 + 2) do m2 + 2 ≠0
⇔ x = m + 1
Thay vào (3) ⇒y = m.(m + 1) – m2 = m
Thay x = m + 1; y = m vào x2 + 3y + 4 ta đợc:
(m + 1)2 + 3m + 4 = m2 + 5m + 5
= (m2 + 2 5m 25) 5
2 + 4 − 4 = 5 2 5 5
−
2
Vậy min (x2 + 3y + 4) = 5
4
− khi m = 5
2
−
Ví dụ 2:
Cho hệ pt:
2
2
Tìm m để biểu thức: A = 2y2 – x2 nhận GTLN Tìm giá trị đó
Giải:
Từ (1) ta có: y = 3mx - 6m2 + m + 2 Thay vào (2) ta có:
5x + m.( 3mx - 6m2 + m + 2) = m2 +12m
⇔x.(5 + 3m2) = 6m3 + 10m (5 + 3m2 ≠0 với mọi m)
+
+ Thay x = 2m vào y = 3mx - 6m2 + m + 2 ta đợc y = m + 2
Thay x = 2m ; y = m + 2 vào A ta đợc: A = 2(m + 2)2 – (2m)2 = -2(m2 – 4m – 4)
A = -2(m2 – 4m + 4 – 8)
= -2(m2 – 4m + 4) +16 = −2(m 2)− 2 +16 16≤ Do −2(m 2)− 2 ≤0 ( )∀m Vậy max A = 16 khi m = 2
Trang 9Ví dụ 1: Cho hệ pt: + =
2mx 3y 5
x 3my 4 a) CMR hệ luôn có nghiệm duy nhất b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m Giải:
a) Để hệ có nghiệm duy nhất ta xét hiệu:
2m.3m – 3.(-1) = 6m2 + 3 > 0 với mọi m Vậy 6m2 + 3 ≠0 với mọi m Hay hệ luôn có nghiệm duy nhất
b) Rút m từ (1) ta đợc m = 5 3y
2x
− thay vào (2) ta có: -x + 3 5 3y
2x
4
⇔ 2x2 + 8x -15y + 9y2 = 0
Đây chính là hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m
Ví dụ 2: Cho hệ pt: (m 1)x y m
x (m 1)y 2
+ − =
Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m
Ví dụ 3:
Cho hệ pt: + = +
2
2
3ax y 6a a 2 Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào a
Trang 10Bài tập về nhà:
Bài 1: Giải hệ phơng trình:
( 2 1) 1
2
1
−
+
−
Bài 2: Cho hệ phơng trình 2x 3y 7 2
Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) = (2; 1)
Bài 3: Cho hệ pt: (m 1)x 2ny 2
3mx (n 2)y 9
a) Giải hệ pt với m = 1; n = - 3
b) Tìm m; n để hệ có nghiệm x = 3; y = - 1
Bài 4: Cho hệ phơng trình 3x 2y 8 2
Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thoả mãn: 4x – 2y = -6 (3)
Bài 5: Cho hệ phơng trình x my 3
2x 3my 5
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn: (m2 – 1)x – 10my = 4m + 5
(2)
Trang 11Bài 6: Cho hệ pt:
mx 3y 7
a) Giải hệ pt với m = -1
b) Tìm m để x > 0, y > 0
Bài 7: Cho hệ pt: mx my mmx y 2m+ =
Tìm m để nghiệm của hệ thoả mãn điều kiện x > 0, y > 0
Bài 8: Cho hệ pt: (m 1)x 2y 5mx y 1+ + =
a) Giải hệ pt với m = 2
b) Tìm m∈ Z để hệ có nghiệm nguyên
Bài 9: Cho hệ pt: (m 3)x y 2mx 2y 5− + =
Tìm m để hệ có nghiệm nguyên
Bài 10: Cho hệ pt:
2
2
Tìm m để biểu thức: A = 2y2 – x2 nhận GTLN Tìm giá trị đó
Bài 11: Cho hệ pt:
2
2
x my 2m
Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m
HD:
2
2
x my 2m
⇔
2
2
3x 3my 6m
x my 2m
Rút m từ (1) ta đợc: 3x 2y 2
m 6x 3y 4
=
− + Thay vào (2) ta có:
2
− + − + Đây chính là hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m