Bµi tËp vÒ c«ng thøc lîng gi¸c A.. Bµi tËp vÒ c«ng thøc céng.[r]
Trang 1Bài tập về công thức lợng giác
A Lý thuyết
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
tan tan tan( )
1 tan tan tan tan tan( )
1 tan tan
a b
a b
2
sin 2 2sin cos cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin
2 tan tan 2
1 tan
a a
a
Công thức biến đổi tích thành tổng Công thức biến đổi tổng thành tích:
1 cos cos cos cos
2 1 sin sin cos cos
2 1 sin cos sin sin
2
cos cos 2cos cos
cos cos 2sin sin
sin sin 2sin cos
sin sin 2cos sin
Công thức hạ bậc nâng cung Hệ quả của công thức hạ bậc nâng cung
2
2
2
1 cos 2 sin
2
1 cos 2 cos
2
1 cos 2 tan
1 cos 2
a a
a a
a a
a
2 2
1 cos 2 2cos
1 cos 2 2sin
B bài tập
I Bài tập về công thức cộng
Bài 1 a Cho
12 sin
13 3
2 2
a a
.Tính cos(3 a)
b Cho
3 5
sin
và 2
Tính tan( 3
)
c Cho a b 3
Tính GT của biểu thức C (cosa cos )b 2 (sina sin )b 2
Bài 2 a Cho 2 góc nhọn a, b với
tan , tan
Tính a+b
b Biết tan( ) , 1
Tính tan theo m
c Cho
1 sin
5
2 1
sin
10
a
a b b
d Cho tanx, tany là nghiệm của phơng trình : at2 + bt + c = 0 ( a 0) Tính giá trị của biểu thức S = a.sin2(x + y) + b.sin(x + y).cos( x + y) + c.cos2(x + y )
Trang 2e Cho
cos( )
cos( )
Tính tana.tanb
Bài 3 : Chứng minh rằng :
a cos( a + b)cos(a - b) = cos2a - sin2b
b sina.sin( b - c) + sinb.sin( c- a) + sinc.sin( a - b) = 0
c cosa.sin(b - c) + cosb.sin( c - a) + cosc.sin( a - b) = 0
d cos( a + b)sin(a - b) + cos( b + c)sin(b - c ) + cos( c + a)sin( c - a) = 0 e
sin( ) sin( ) sin( )
0 cos cos cos cos cos cos
Bài 4 Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
a tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC
cot A B C cot A B C
an
d cotA cotB + cotB cotC + cotC cotA = 1
Bài 5 Chứng minh rằng :
sin( ) tan tan
cos cos
a b
áp dụng tính
cos cos2 cos2 cos3 cos( 1) cos
S
II Bài tập về công thức nhân đôi và hạ bậc
Bài 1 Cho
1
x x
Tính
a sin2x, cos2x, tan2x, cot2x
b sin2
x
, cos2
x
, tan2
x
, cot2
x
Bài 2 Chứng minh rằng:
2 cot tan
sin 2
x
áp dụng tính: A = tan 90 tan 270 tan 630 tan 810
Bài 3: Chứng minh rằng: cotx tanx 2cot 2x áp dụng chứng minh:
a cotx tanx 2 tan 2x 4 tan 4x 8cot 8x
b 8 4 tan 2 tan tan cot
Bài 4 Chứng minh rằng:
1 sin cos cos 2 cos 4 cos8 sin16
16
áp dụng tính:
A =
2 cos cos
2 3 4 sin sin sin sin
B = sin10 cos 20 cos 400 0 0 E =sin 6 sin 42 sin 66 sin 780 0 0 0
C = sin10 sin 50 sin 700 0 0 F =
4 5 cos cos cos
Bài 5 Chứng minh rằng:
Trang 34 4
b
8 8
c
a a
d 1
1
2
2n
Bài 6 : Chứng minh rằng :
a Nếu cos2a + cos2b = m thì cos(a + b).cos( a – b) = m -1
b Nếu sinb = sina.cos( a + b) thì 2tana = tan( a + b)
c Nếu 2sinb = sin(2a + b) thì 3tana = tan( a + b)
d Nếu m.sin(a + b) = cos(a – b) thì
1 sin 2 1 sin 2
S
thuộc a,b
III Công thức biến đổi tích thành tổng,tổng thành tích
Bài 1: Rút gọn biểu thức sau:
a)
cos 4 cos 2
sin 4 sin 2
sin 3sin 2 sin 3 cos 3cos 2 cos3
1 cos cos 2 cos3
2cos cos 1
sin 2 sin 4 sin 6
1 cos 2 cos 4
Bài 2 a Rút gọn biểu thức sau với điều kiện có nghĩa:
sin 2 sin
1 cos 2 cos
A
cos3 cos 2 cos 1
Bài 3 : Rút gọn biểu thức sau :
sin sin 3 sin 5 sin 7
cos cos3 cos5 cos7
A
sin( ) sin( )
B
sin ( ) sin sin
sin ( ) cos cos
C
1 2 cos
1 2 cos
a D
a
1 2sin
1 2sin
a E
a
Bài 4 Chứng minh rằng
a
1 cos cos( ).cos( ) cos3
b
1 sin sin( ).sin( ) sin 3
áp dụng tính:
A = sin 20 sin 40 sin 800 0 0 B = cos10 cos 50 cos 70 0 0 0
Trang 4C = cos10 cos 20 cos30 cos800 0 0 0 C = cos5 cos15 cos 25 cos85 0 0 0 0
Bài 5 : Chứng minh các đẳng thức sau :
a
sin sin sin( ).sin( )
2 cos
b
2sin sin 3 sin 5
2 cos2 cot
x
c sin6a.sin4a – sin15a.sin13a + sin19a.sin9a = 0
d 3 - 4cos2a + cos4a = 8sin4a
Bài 6 : Chứng minh rằng các biểu thức sau độc lập đối với x,y :
A = cos (2 x y)cos (2 x y) cos2 cos2x y
sin cos sin (tan tan ) 2
1 cos( ) cos sin
2
x y
B
x y
Bài 7 Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x
cos cos ( ) cos ( )
B = sin2(a + x) – sin2x – 2sinx.sina.cos( a + x) ( a là hằng số)
sin sin ( ) sin ( )
Bài 8: Tính giá trị các biểu thức sau :
2 cos cos
C tan 90 tan 270 tan 630 tan 810
cos cos cos
sin10 cos10
Bài 9: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng :
a sinA + sinB + sinC = 4 cos2.cos2.cos2
b cos cos cos 1 4sin 2.sin 2.sin2
A B C
c sin2A + sin2B + sin2C = - 4sinA.sinB.sinC
d tan2A + tan2B + tan2C = tan2A.tan2B.tan2C
e sin3A +sin3B + sin3C =
4 cos cos cos
g
cos3 cos3 cos3 1 4sin sin sin
h cos 4A + cos 4B + cos 4C = - 1 + 4cos2A.cos2B.cos2C
Mai Duy Duân