Chuyên đề Lượng giác 10 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực kinh...
Trang 1Chuyên đề lượng giác lớp 10 Năm học 2015 - 2016
LƯỢNG GIÁC Phần 1: Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
A Kiến thức cần nhớ
1 Các hằng đẳng thức cơ bản
a) sin2 x+cos2 x=1 b)
x
x x
cos
sin
x
x x
sin
cos cot =
d)
x
2
cos
1 tan
x
2
sin
1 cot
2 Giá trị của các hàm lượng giác cung liên quan đặc biệt
a) Hai cung đối nhau b) Hai cung bù nhau c) Hai cung khác nhau 2
π
x x
x x
x x
x x
cot
)
cot(
tan
)
tan(
sin
)
sin(
cos
)
cos(
−
=
−
−
=
−
−
=
−
=
−
x x
x x
x x
x x
cot )
cot(
tan )
tan(
cos )
cos(
sin ) sin(
−
=
−
−
=
−
−
=
−
=
−
π π π π
x x
x x
x x
x x
cot ) 2 cot(
tan ) 2 tan(
cos ) 2 cos(
sin ) 2 sin(
= +
= +
= +
= +
π π π π
d) Hai cung khác nhau π e) Hai cung phụ nhau
x x
x x
x x
x x
cot
)
cot(
tan
)
tan(
cos )
cos(
sin )
sin(
=
+
=
+
−
=
+
−
=
+
π
π
π
π
x x
x x
x x
x x
tan 2
cot
; cot 2
tan
sin 2
cos
; cos 2
sin
=
−
=
−
=
−
=
−
π π
π π
B Bài tập
1 Tìm các giá trị của αđể biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
α
1
; sin 1
1
−
= +
A
2 Xét dấu của các biểu thức sau:
a) sin123o −sin132o b) cot304o −cot316o
3 Rút gọn các biểu thức sau:
a) 5tan540o +2cos1170o +4sin990o −3cos540o
b)
3
19 cos 2 4
13 tan 3 6
25
sin
c) sin215o +sin235o +sin255o +sin275o
d) cos215o +cos235o +cos255o +cos275o
e)
12
11 sin 12
9 sin 12
7 sin 12
5 sin 12
3 sin
12
sin2 π + 2 π + 2 π + 2 π + 2 π + 2 π
f)
12
11 cos 12
9 cos 12
7 cos 12
5 cos 12
3 cos
12
cos2 π + 2 π + 2 π + 2 π + 2 π + 2 π
+
− +
+
−
2
3 tan ) 2 cot(
2 cos )
h) A=sin4a+cos2a+sin2a.cos2a
i)
2 cos 2
sin 2
tan
1 2
cos 2
sin
2
a a a
a a
B
−
−
=
Trang 2j) C o o o o o
342 cot 252 tan
156 cos 530 tan )
260 tan(
696
cos
2 2
2 2
+
−
− +
=
4
13 cot 2
7 tan 4
17
tan
+
π
+
− +
−
−
+
− +
−
x
x x
x x
x x
x
cos 1
cos 1 cos
1
cos 1 sin
1
sin 1 sin
1
sin
1
m) sin3a(1+cota)+cos3a(1+tana)
n)
b b
b
cot
tan
tan
+
o)
a
a a
4
4 4
cos
sin cos
−
−
−
−
−
x x
x
x x
x
2
3 cot )
cot(
2
sin
) 2 sin(
)
2 cos(
)
sin(
π π
π
π π
π
q)
2 2
) 2 cos(
2
3 cos )
sin(
2
sin + − + −
+ +
2
3 tan )
tan(
3
5 cos 3
2 tan 3
s) cot(cot(5,5 6π)) tan(tan( 3,54π))
π
π
−
−
−
− +
−
b a
b a
t) tan50o.tan190o.tan250o.tan260o.tan400o.tan700o
4 Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC Chứng minh:
a) sin(A+B)=sinC ;cos(B+C)=-cosA c) tan(A+C)=−tanB ;cot(A+B)=-cotC
b)
2
sin 2
C B cos ; 2
cos 2
B
A
2
tan 2
B A cot ; 2
cot 2
5 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
2 cos sin
cos 2
− +
+
=
x x
x y
6 Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trong khoảng −π <x<π :
4 sin cos 2
3 sin 2 cos
+
−
+ +
=
x x
x x
7 Gọi a, b, c là các cạnh đối diện với các góc tương ứng của tam giác ABC
a) Cho sin2 B+sin2C=2sin2 A Chứng minh A≤60o.
b) 2(acosA+bcosB+ccosC)=a+b+c⇒∆ABC đều.
c) Chứng minh: 0<sinA+sinB+sinC-sinA.sinB-sinB.sinC-sinC.sinA<1
Phần 2: Các công thức lượng giác
I Công thức cộng
A Kiến thức cần nhớ
b a b a b
a
a b b a b
a
sin sin cos cos )
cos(
)
2
cos sin cos sin )
sin(
)
1
=
±
±
=
±
b a
b a b
a
tan tan 1
tan tan ) tan(
) 3
±
=
±
B Bài tập
1 Chứng minh các công thức sau:
+
=
−
=
a
4 sin 2 4
cos 2 sin
Trang 3Chuyên đề lượng giác lớp 10 Năm học 2015 - 2016
−
=
+
=
a
4 sin 2 4
cos 2 sin
2 Rút gọn các biểu thức:
a)
+ +
−
+
−
a a
a a
4 sin 2 sin
2
4 cos 2 cos
2
π π
b) cos10o+cos11o.cos21o +cos69o.cos79o
c) (tana−tanb).cot(a−b)−tana.tanb
3 Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:
2 tan 2
tan 2 tan 2
tan 2 tan 2
c) cotA.cotB+cotB.cotC+cotC.cotA=1 d)
2 cot 2 cot 2
cot 2
cot 2
cot 2
4 a) Cho
4
π
=
−b
b
b
tan tan
1
tan
−
+
a
a
tan tan
1
tan
+
−
b) Cho
4
π
= +b
a , chứng minh: (1+tana)(1+tanb)=2 và (1−cota)(1−cotb)=2
c) Cho tan(tan(a x−+a y))==m n Chứngminh:
ab
b a y x
+
−
= +
1 )
d) Cho
5
2 tana= ,
7
3 tanb= (0<a, b<1v) Tìm a + b.
e) Cho
2
1
2
(π <a<π và tanb=3 )
2 0
( <b<π Tìm a + b.
f) Cho
3
2 1 tana= ,
4
1 tanb= (0<a, b<1v) Tìm a - b.
g) Cho
12
1 tana= ,
5
2 tanb= ,
3
1 tanb= Chứng minh a + b + c = 45o.
5 Tìm giá trị các hàm số lượng giác góc: 15ohoặc
12
π
và 75ohoặc
12
5π
.
6 Cho α ,β ,γ thoả mãn điều kiện:
2
π γ β
α+ + = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
α γ γ
β β
tan
=
A
7 Chứng minh rằng nếu các góc của tam giác A, B, C thoả mãn một trong các đẳng thức sau thì tam giác ABC cân:
2
1 sin
sin
cos
2 2
2 2
B A
B A
B
+
C
B
cos 2 sin sin =
2 tan A a A b B
b
II Công thức nhân đôi nhân ba.
Trang 4A Lý thuyết cần nhớ
2
sin 2 2sin cos
2 tan
tan 2
1 tan
a a
a
=
=
−
3 3
B Bài tập
1 Rút gọn các biểu thức sau:
a)
a a a
a
a a
sin 3 cos cos
3
sin
4 sin 4
sin
−
+
b)
8 tan
1 8
tan2
π
π −
c) cos20o.cos40o.cos80o d) 2sinacosa(cos2a−sin2a)
e) cos4a−6sin2acos2a+sin4a f)
2
cos 2 sin 4 cos2 2 a 2 a
a−
g) 1−8sin2acos2a h) 8cos10ocos20ocos40o
i) 4sin3acos3a+4cos3asin3a j) 4sin44a+sin22a
k)
5
2
cos
5
l) cos20ocos40ocos60ocos80o
m) tana+2tan2a+4tan4a+8tan8a+16tan16a+32tan32a
n)
a a
a a
3 cos
cos
3 sin
sin
3
3
−
a a
a a
3 sin sin
3 cos cos
+
−
2 Chứng minh:
4
1 3
sin 3
sin
+
Áp dụng với
9
π
=
b) 8sin318+8sin218=1
c)
32
cot 32
tan 16 tan 2 8
tan
4
d) tan236otan272o =5
4
1 3
cos 3
cos
+
Tính:
18
7 cos 18
5 cos 18
f)
a
a a
3
tan 3 1
tan tan
3
3
tan
−
−
=
3
tan 3
tan
+
Chứng minh:
5 2 10
1 5 66
tan 54 tan 6 tan
+
−
=
o o
o
.
3 a) Cho sin 2 ( , >0)
+
b a
ab
α Tìm sin2α, cos2α , tan2α.
1
2 cos
a
a
+
=
α Tìm sin2α, cos2α , tan2α.
c) Cho
4
5 cos sinα+ α = Tìm sin2α, cos2α , tan2α .
4 Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số sau:
−
+
=
4
sin 4
y b) y=cos4x−sin4x c) y=1−8sin2 xcos2x
III Công thức hạ bậc Công thức viết các hàm lượng giác theo
2 tana
Trang 5Chuyên đề lượng giác lớp 10 Năm học 2015 - 2016
A Lý thuyết cần nhớ
a a
a a
2
2
sin
2
2
cos
1
cos
2
2
cos
1
=
−
=
+
2
1
2 sin
t
t a
+
1
1 cos
t
t a
+
−
1
2 tan
t
t a
−
=
B Bài tập
1 Chứng minh các biểu thức sau:
a)
2
tan 2
sin
sin
2
2 sin
sin
a a
a
+
−
−
= +
+
+
a a
a a
4
tan 2
cos 2 sin 1
2 cos 2 sin
c)
2 cos 4 ) cos (cos
) sin
b a
b
d) a a 2cota
2
cot 2
−
=
−
+
2 4
cot
sin
1
sin
a
f) tan7o30'=( 3− 2)( 2−1)
g)
2 cos 2 ) cos (cos
cos ) sin (sin
b a
a b
a
h)
2 sin 4 ) cos (cos
) sin
b a b
i)
a
a a
a
sin 1
2 4 sin sin
1
2
4
sin
+
−
−
−
) 0
( <a<π
2 Rút gọn các biểu thức sau:
2
1 2
1
2
1
2
2
1 2
1 2
1 2
1− + (0<α ≤π)
c)
2
cot
1
2
cot
2
2 a
a
4
tan 4 cot
2
tan 2
cot
a a
a a
+
−
e)
2 tan 1 2 tan
2
tan
1
2
tan
a
a a
a
−
+
1 2
tan 1
1
a
a − +
−
g)
α α
α α
sin 2
sin
2 cos cos
1
−
+
−
h)
α
α α
α
cos 1
cos 2 cos 1
2 sin
+
+
3 Tìm giá trị biểu thức
a)
a
a
cos
2
3
sin
a a
a a
sin tan
sin tan
−
+
Biết
15
2 2 tana =
4 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
a) y=2cos2x+sin2 x b) y=2sin2x−cos2x
c) 2 (sin cos )2
4
−
IV Công thức biến đổi tổng và tích
A Lý thuyết cần nhớ
1 Công thức biến đổi tích thành tổng
Trang 6[ ]
2
1
sin
sin
) cos(
) cos(
2
1
cos
cos
) sin(
) sin(
2
1
cos
sin
b a b
a b
a
b a b
a b
a
b a b
a b
a
+
−
−
=
− +
+
=
− +
+
=
2 Công thức biến đổi tổng thành tích
2 sin 2 sin 2 cos
cos
2 cos 2 cos 2 cos
cos
2 sin 2 cos 2 sin
sin
2 cos 2 sin 2 sin
sin
b a b a b
a
b a b a b
a
b a b a b
a
b a b a b
a
− +
−
=
−
− +
=
+
− +
=
−
− +
=
+
b a
b a b
a
b a
b a b
a
b a
b a b
a
b a
b a b
a
sin sin
) sin(
cot cot
sin sin
) sin(
cot cot
cos cos
) sin(
tan tan
cos cos
) sin(
tan tan
−
−
=
−
+
= +
−
=
−
+
= +
B Bài tập
1 Rút gọn biếu thức
a) cosa+cos(a+b)+cos(a+2b)+ +cos(a+nb )(n∈N)
b)
a a
a a
a a
a a
7 sin 5 sin 3 sin
sin
7 cos 5 cos 3 cos
cos
+ +
+
− +
−
c)
a a
a
a a
a
3 sin 2 sin sin
3 cos 2 cos 2 cos
+ +
+ +
d)
a
a a
a
cos 2
6 2 cos 6
2 cos
cos
−
−
π
π
e)
2 cot cot
3
cos 3
cos
a a
a a
−
− +
2
1 4 cos 4
1 cos
2
h) sin1o+sin91o +2sin203o(sin112o+sin158o)
i) cos35o +cos125o +2sin185o(sin130o+sin140o)
j) sin20osin40osin60osin80o k) tan20otan40otan60otan80o
2 Chứng minh:
a)
16
3 80 sin 60 sin 40
sin
20
a n a
a a
a n a
a a
tan )
1 2 cos(
5 cos 3 cos
cos
) 1 2 sin(
5 sin 3 sin
sin
=
− +
+ +
+
− +
+ +
+
c)
2 sin 2
) 1 ( sin 2
sin sin
3 sin 2
sin
sin
a
a n na na
a a
a
+
= +
+ +
+
d)
2 sin
2
) 1 ( cos 2
sin cos
3 cos 2 cos
cos
a
a n na na
a a
a
+
= +
+ +
+
3 Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:
Trang 7Chuyên đề lượng giác lớp 10 Năm học 2015 - 2016 a)
2
cos 2
cos 2 cos 4 sin sin
b)
2
sin 2
sin 2 sin 4 1 cos cos
c) sin2 A+sin2B+sin2C=2(1+cosAcosBcosC)
d) cos2 A+cos2B+cos2C=1−2cosAcosBcosC
e)
2
cos 2
sin 2 sin 4 sin sin
2
sin 2
cos 2 cos 4 cos cos
g) sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC
h) cos2A+cos2B+cos2C=−1−4cosAcosBcosC
i) sin2 A+sin2B−sin2C=2sinAsinBcosC
4 Chứng minh bất đẳng thức: (sin sin )
2
1 2
sinx+y ≥ x+ y với 0<x, y<π .
5 Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
16
7 sin 16
5 sin 16
3 sin
16
sin4 π + 4 π + 4 π + 4 π
b) tan67o5'−cot67o5'+cot7o5'−tan7o5'
c) cos5ocos55ocos65o
d)
11
9 cos 11
7 cos 11
5 cos 11
3 cos
11
6 Chứng tỏ các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x:
− +
+
2 4 cos 4 2 sin sin
x
với
2
3π
π <x< b) 4cos4x+cos22x−4cos2xcos2x
− +
+
x
3
cos 3
cos
+
x
3
2 sin 3
2 sin
7 Điều kiện cần và đủ để một tam giác vuông ở A là:
B A
C B
A
cos cos
sin sin
sin
+
+
=
8 Chứng minh nếu các góc của ∆ABC thoả mãn:
2
3 cos cos
cosA+ B+ C= thì nó là tam giác đều.
9 Chứng minh rằng nếu các cạnh và các góc của ∆ABC thoả mãn hệ thức:
a
c b B
cos
giác đó là tam giác vuông.
10 Cho tam giác ABC và 1
2
tan 2 tan
5 A B = Chứng minh rằng: 3c = 2(a+b).