LƯỢNG GIÁC Phần 1: Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt A.. Kiến thức cần nhớ 1.. Tìm các giá trị của để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất.. Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Trang 1LƯỢNG GIÁC Phần 1: Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
A Kiến thức cần nhớ
1 Các hằng đẳng thức cơ bản
a) sin 2x cos 2x 1 b)
x
x x
cos
sin
x
x x
sin
cos cot
d)
x
2
cos
1 tan
x
2
sin
1 cot
2 Giá trị của các hàm lượng giác cung liên quan đặc biệt
a) Hai cung đối nhau b) Hai cung bù nhau c) Hai cung khác nhau
2
x x
x x
x x
x x
cot
)
cot(
tan
)
tan(
sin
)
sin(
cos
)
cos(
x x
x x
x x
x x
cot )
cot(
tan )
tan(
cos )
cos(
sin ) sin(
x x
x x
x x
x x
cot ) 2 cot(
tan ) 2 tan(
cos ) 2 cos(
sin ) 2 sin(
d) Hai cung khác nhau e) Hai cung phụ nhau
x x
x x
x x
x x
cot
)
cot(
tan
)
tan(
cos )
cos(
sin )
sin(
x x
x x
x x
x x
tan 2
cot
; cot 2
tan
sin 2
cos
; cos 2
sin
B Bài tập
1 Tìm các giá trị của để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
1
; sin 1
1
A
2 Xét dấu của các biểu thức sau:
132 sin
123
316 cot 304
3 Rút gọn các biểu thức sau:
540 cos 3 990 sin 4 1170 cos 2 540
tan
b)
3
19 cos 2 4
13 tan 3 6
25
sin
75 sin 55 sin 35 sin
15
75 cos 55 cos 35 cos 15
e)
12
11 sin 12
9 sin 12
7 sin 12
5 sin 12
3 sin
12
sin2 2 2 2 2 2
f)
12
11 cos 12
9 cos 12
7 cos 12
5 cos 12
3 cos
12
2
3 tan ) 2 cot(
2 cos )
h) A sin4a cos2a sin2a cos2a
Trang 2i)
2 cos 2
sin 2
tan
1 2
cos 2
sin
2
a a a
a a
B
o o
o C
342 cot 252 tan
156 cos 530 tan ).
260 tan(
696
cos
2 2
2 2
4
13 cot 2
7 tan 4
17
x
x x
x x
x x
x
cos 1
cos 1 cos
1
cos 1 sin
1
sin 1 sin
1
sin
1
m) sin3a( 1 cota) cos3a( 1 tana)
n)
b b
b
cot
tan
tan
o)
a
a a
4
4 4
cos
sin cos
p)
x x
x
x x
x
2
3 cot ).
cot(
2
sin
) 2 sin(
).
2 cos(
).
sin(
q)
2 2
) 2 cos(
2
3 cos )
sin(
2
2
3 tan ).
tan(
3
5 cos 3
2 tan 3
s)
) 5 , 3 tan(
) 6
cot(
) 4 tan(
) 5
,
5
cot(
b a
b a
700 tan 400 tan 260 tan 250 tan 190 tan
.
50
tan
4 Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC Chứng minh:
a) sin(AB) sinC cos(B C) -cosA c) tan(AC) tanB cot(A B) -cotC
b)
2
sin 2
C B cos 2
cos 2
B
A
2
tan 2
B A cot 2
cot 2
5 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
2 cos sin
cos 2
x x
x y
6 Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trong khoảng x :
4 sin cos 2
3 sin 2 cos
x x
x x
7 Gọi a, b, c là các cạnh đối diện với các góc tương ứng của tam giác ABC
a) Cho sin2B sin2C 2 sin2A Chứng minh o
60
b) 2 (acosAbcosBccosC) abc ABC đều
c) Chứng minh: 0 sinA sinB sin C - sinA.sinB - sinB.sinC - sinC.sinA 1
Phần 2: Các công thức lượng giác
I Công thức cộng
A Kiến thức cần nhớ
Trang 3b a b a b
a
a b b a b
a
sin sin cos cos )
cos(
)
2
cos sin cos sin )
sin(
)
1
b a
b a b
a
tan tan 1
tan tan ) tan(
) 3
B Bài tập
1 Chứng minh các công thức sau:
a
4 sin 2 4
cos 2 sin
a
4 sin 2 4
cos 2 sin
2 Rút gọn các biểu thức:
a)
a a
a a
4 sin 2 sin
2
4 cos 2 cos
2
79 cos 69 cos 21 cos 11 cos
10
c) (tana tanb) cot(ab) tana tanb
3 Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:
2 tan 2
tan 2 tan 2
tan 2 tan 2
c) cotA cotB cotB cotC cotC cotA 1 d)
2 cot 2 cot 2
cot 2
cot 2
cot 2
4 a) Cho
4
b
b
b
tan tan
1
tan
a
a
tan tan
1
tan
b) Cho
4
b
a , chứng minh: ( 1 tana)( 1 tanb) 2 và ( 1 cota)( 1 cotb) 2
c) Cho
n y a
m a x
) tan(
) tan(
Chứngminh:
ab
b a y x
1 )
d) Cho
5
2 tana ,
7
3 tanb ( 0 a, b 1v) Tìm a + b
e) Cho
2
1
2
2 0
b Tìm a + b
f) Cho
3
2 1
4
1 tanb ( 0 a, b 1v) Tìm a - b
g) Cho
12
1 tana ,
5
2 tanb ,
3
1 tanb Chứng minh a + b + c = 45o
5 Tìm giá trị các hàm số lượng giác góc: o
15 hoặc
12
và o
75 hoặc
12
5
6 Cho thoả mãn điều kiện:
2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
tan 1 tan tan 1 tan tan tan
A
7 Chứng minh rằng nếu các góc của tam giác A, B, C thoả mãn một trong các đẳng thức sau thì tam giác ABC cân:
Trang 4a) (cot cot )
2
1 sin
sin
cos
2 2
2 2
B A
B A
B A
C
B
cos 2 sin
2
b
a d) tanA 2 tanB tanA tan2B
II Công thức nhân đôi nhân ba
A Lý thuyết cần nhớ
2
sin 2 2sin cos
2 tan
tan 2
1 tan
a a
a
3 3
sin 3 3sin 4sin cos 3 4 cos 3cos
B Bài tập
1 Rút gọn các biểu thức sau:
a)
a a a
a
a a
sin 3 cos cos
3
sin
4 sin 4
sin
8 tan
1 8 tan2
80 cos 40 cos
.
20
a a
a
e) cos4a 6 sin2acos2a sin4a f)
2
cos 2 sin 4
g) 1 8 sin2acos2a h) o o o
40 cos 20 cos 10 cos 8
i) 4 sin3acos 3a 4 cos3asin 3a j) 4 sin44a sin22a
k)
5
2
cos
5
80 cos 60 cos 40 cos 20 cos
m) tana 2 tan 2a 4 tan 4a 8 tan 8a 16 tan 16a 32 tan 32a
n)
a a
a a
3 cos
cos
3 sin
sin
3
3
o)
a a
a a
3 sin sin
3 cos cos
2 Chứng minh:
4
1 3
sin 3
sin
9
a b) 8 sin318 8 sin218 1
c)
32
cot 32
tan 16 tan 2 8
tan
4
d) tan236otan272o 5
4
1 3
cos 3
cos
Tính:
18
7 cos 18
5 cos 18
f)
a
a a
3
tan 3 1
tan tan
3
3
tan
Trang 5g) a a a tan 3a
3
tan 3
tan
5 2 10
1 5 66
tan 54 tan 6 tan
o o
o
3 a) Cho sin 2 ( , 0 )
b a
ab
Tìm sin 2 , cos 2 , tan 2
1
2 cos
a
a
Tìm sin 2 , cos 2 , tan 2
c) Cho
4
5 cos sin Tìm sin 2 , cos 2 , tan 2
4 Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số sau:
4
sin 4
x x
y b) y cos4x sin4x c) y 1 8 sin2 xcos2x
III Công thức hạ bậc Công thức viết các hàm lượng giác theo
2 tana
t
A Lý thuyết cần nhớ
a a
a a
2 2
sin
2
2
cos
1
cos
2
2
cos
1
1
2 sin
t
t a
2
1
1 cos
t
t a
1
2 tan
t
t a
B Bài tập
1 Chứng minh các biểu thức sau:
a)
2
tan 2
sin
sin
2
2 sin
sin
a a
a a
a a
a
a a
4
tan 2
cos 2 sin 1
2 cos 2 sin
c)
2 cos 4 ) cos (cos
) sin
d) a a 2 cota
2
cot 2
2 4
cot sin
1
sin
a
f) tan 7o30 ' 3 2 2 1
g)
2 cos 2 ) cos (cos
cos ) sin (sin
h)
2 sin 4 ) cos (cos
) sin
i)
a
a a
a
sin 1
2 4 sin sin
1
2
4
sin
) 0
( a
2 Rút gọn các biểu thức sau:
2
1 2
1
2
1
2
2
1 2
1 2
1 2
1 ( 0 )
c)
2
cot
1
2
cot
2
2 a
a
4
tan 4 cot
2
tan 2 cot
a a
a a
Trang 6e)
2 tan 1 2 tan 2
tan
1
2
tan
a
a a
a
2 tan 1 1 2
tan 1
1
a
g)
sin 2
sin
2 cos cos
1
cos 1
cos 2 cos 1
2 sin
3 Tìm giá trị biểu thức
a)
a
a
cos
2
3
sin
biết tan2a 2 b)
a a
a a
sin tan
sin tan
Biết
15
2 2 tana
4 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
a) y 2 cos 2x sin2 x b) y 2 sin2x cos 2x
) cos (sin
4
IV Công thức biến đổi tổng và tích
A Lý thuyết cần nhớ
1 Công thức biến đổi tích thành tổng
cos( ) cos( )
2
1
sin
sin
) cos(
) cos(
2
1
cos
cos
) sin(
) sin(
2
1
cos
sin
b a b
a b
a
b a b
a b
a
b a b
a b
a
2 Công thức biến đổi tổng thành tích
2 sin 2 sin 2 cos
cos
2 cos 2 cos 2 cos
cos
2 sin 2 cos 2 sin
sin
2 cos 2 sin 2 sin
sin
b a b a b
a
b a b a b
a
b a b a b
a
b a b a b
a
b a
b a b
a
b a
b a b
a
b a
b a b
a
b a
b a b
a
sin sin
) sin(
cot cot
sin sin
) sin(
cot cot
cos cos
) sin(
tan tan
cos cos
) sin(
tan tan
B Bài tập
1 Rút gọn biếu thức
a) cosa cos(ab) cos(a 2b) cos(anb) (n N)
b)
a a
a a
a a
a a
7 sin 5 sin 3 sin
sin
7 cos 5 cos 3 cos
cos
a a
a
a a
a
3 sin 2 sin sin
3 cos 2 cos 2 cos
d)
a
a a
a
cos 2
6 2 cos 6
2 cos
cos
e)
2 cot cot
3
cos 3
cos
a a
a a
1 1
Trang 7h) sin 1o sin 91o 2 sin 203o(sin 112o sin 158o)
i) cos 35o cos 125o 2 sin 185o(sin 130o sin 140o)
80 sin 60 sin 40
sin
20
80 tan 60 tan 40 tan 20 tan
2 Chứng minh:
a)
16
3 80 sin 60 sin 40 sin
20
a n a
a a
a n a
a a
tan )
1 2 cos(
5 cos 3 cos
cos
) 1 2 sin(
5 sin 3 sin
sin
c)
2 sin 2
) 1 ( sin 2
sin sin
3 sin 2
sin
sin
a
a n na na
a a
a
d)
2 sin
2
) 1 ( cos 2
sin cos
3 cos 2 cos
cos
a
a n na na
a a
a
3 Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:
a)
2
cos 2
cos 2 cos 4 sin sin
b)
2
sin 2
sin 2 sin 4 1 cos cos
c) sin 2 sin 2 sin 2 2 ( 1 cos cos cos )
C B A C
B
d) cos2A cos2B cos2C 1 2 cosAcosBcosC
e)
2
cos 2
sin 2 sin 4 sin sin
2
sin 2
cos 2 cos 4 cos cos
g) sin 2A sin 2B sin 2C 4 sinAsinBsinC
h) cos 2A cos 2B cos 2C 1 4 cosAcosBcosC
i) sin 2A sin 2B sin 2C 2 sinAsinBcosC
4 Chứng minh bất đẳng thức: (sin sin )
2
1 2 sinxy x y với 0 x, y
5 Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
16
7 sin 16
5 sin 16
3 sin
16
b) tan 67o5 ' cot 67o5 ' cot 7o5 ' tan 7o5 '
65 cos 55
cos
5
cos
d)
11
9 cos 11
7 cos 11
5 cos 11
3 cos
11
6 Chứng tỏ các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x:
2 4 cos 4 2 sin sin
với
2
3
x b) 4 cos4x cos22x 4 cos2xcos 2x
Trang 8c)
x
3
cos 3
cos
x
3
2 sin 3
2 sin
7 Điều kiện cần và đủ để một tam giác vuông ở A là:
B A
C B
A
cos cos
sin sin
sin
8 Chứng minh nếu các góc của ABC thoả mãn:
2
3 cos cos
cosA B C thì nó là tam giác đều
9 Chứng minh rằng nếu các cạnh và các góc của ABC thoả mãn hệ thức:
a
c b B
cos
giác đó là tam giác vuông
10 Cho tam giác ABC và 1
2
tan 2 tan
5 A B Chứng minh rằng: 3c = 2(a+b)