2. Trong kgian vôùi heä toaï ñoä Oxyz cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi, AC vaø BD caét nhau taïi goác toaï ñoä O. Goïi M laø trung ñieåm cuûa caïnh SC. a) Tính goùc vaø[r]
Trang 1ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐH,CĐ NĂM 2004 ( KHỐI A)
Câu I: ( 2 điểm) Cho hàm số y = − x 2(x −1)2+3 x − 3 (1)
1 Khảo sát hàm số (1)
2 Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A,B sao cho AB = 1
Câu II: ( 2 điểm)
1 Giải bất phương trình : √2(x2−16)
√x − 3 +√x − 3>
7 − x
√x −3
2 Giải hệ phương trình :
¿ log1
4
(y − x)−log41
y=1
x2+y2=25
¿{
¿
Câu III: (3điểm)
1 Trong mp với hệ tọa độ Oxy, cho 2 điểm A(0; 2) và B( −√3 ;−1 ) Tìm toạ độ trực tâm và toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB
2 Trong kgian với hệ toạ độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC và BD cắt nhau tại gốc toạ độ O Biết A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2 √2 ) Gọi M là trung điểm của cạnh SC
a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BM
b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểmN Tính thể tích khối chóp S.ABMN
Câu IV: (2 điểm)
1 Tính tích phân : I = ∫
1
2
x
1+√x −1dx
2 Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1 + x2(1 – x)]8
Câu V: (1 điểm) Cho tam giác ABC không tù , thoả mãn điều kiện cos2A + 2 √2 cosB + 2 √2 cosC = 3 Tính ba góc của tam giác ABC
Trang 2Câu I: ( 2 điểm) 2 Pt hđgđiểm (C) và (d) : y = m là − x2+3 x − 3
2(x −1) = m
x2 + (2m – 3)x – 2m + 3 = 0 (*) ( vì x = 1 không thoả)
(C) cắt (d) tại hai điểm A,B (*) có hai nghiệm phân biệt Δ > 0
4m2 – 4m – 3 > 0 m<−1
2∨m>3
2 A(xA, m); B(xB, m), (với xA, xB là hai nghiệm của (*))
AB = 1 (xB – xA )2 = 1 (xB + xA )2 - 4xAxB = 1
[-(2m – 3 )]2 – 4( - 2m + 3) = 1
4m2 – 4m – 4 = 0 m = 1 ±√5
2 ( nhận)
Câu II: ( 2 điểm)
1 Đk :
x − 3>0
x2−16 ≥ 0
⇔
¿x>3
x ≥ 4
¿
x ≤ − 4
¿
¿
¿⇔ x ≥ 4
¿
¿{
¿
¿
Bpt √2(x2−16)+x − 3>7 − x √2(x2−16)>10 −2 x
10 −2 x<0
x2− 16 ≥0
¿
¿
10 −2 x ≥ 0
10 −2 x¿2
¿
¿{
2(x2− 16)>¿
¿
4 ≤ x ≤5
10 −√34<x <10+√34
⇔ x>10 −√34
¿x >5 ∨{
¿
2 Đk :
¿
y >0
y − x>0
¿{
¿
Trang 3Hpt
¿ log1
4
(y − x)+log1
4
1
y=1
x2+y2=25
⇔
¿ y − x
1 4
x2+y2=25
⇔
¿4 y − 4 x= y
x2+y2=25
⇔
¿y =4
3x
x2 +16
9 x
2=25
¿{
¿
¿
y=4
3 x
x2=9
⇔
¿x=−3
y =−4
x =3
y =4
¿(l)∨{
{
¿
Câu III: (3điểm) 1 Gọi H là trực tâm của tam giác OAB
AH⃗❑ ⊥ OB⃗❑ AH có vectơ pháp tuyến OB⃗❑
=(−√3 ;−1)
Pt AH : √3 (x – 0) + (y – 2) = 0 √3 x + y – 2 = 0
BH
⃗
❑
⊥ OA❑⃗ BH có vectơ pháp tuyến OA❑⃗
=(0 ;2)
PT BH : 0(x + √3 ) + 2(y + 1) = 0 y + 1 = 0
H=AH ∩BH ⇒ H (√3;− 1)
Gọi I(x0,y0) là tâm đtròn ngoại tiếp tam giác OAB : IA2 = IO2 = IB2
y0− 2¿2⇒− 4 y0+4=0
¿
y0+1¿2
¿
⇔
¿
¿y0=1
¿
x0=−√3
x0+√3¿2+¿
¿
x02
+y02
=x02 +¿
2
Cách 1 : Gt SO (ABCD); SA = SC = 2 √3
Trang 4OB (SAC) OB OM
Δ OBM có tgOMB = OBOM tgOMB = 1
√3 gócOMB = 300 Vẽ OH SA OH OM và OH OB OH (OMB)
Vì SA // OM SA // (OMB)
⇒ d(SA, MB) = d(H, (OMB)) = OH = 2√36
b) (ABM) SD = N ⇒ N là trung điểm SD
Ta có : VSBMN
VSBCD=
SM
SC .
SN
SD=
1 4
⇒ VSMNB = 14 VSBCD = 18 VSABCD
Tương tự : VSABN = 14 VSABCD
Vậy VSABMN = VSMNB + VSABN = 38 VSABCD = 38.1
3.
1
2 AC BD SO=
1
16 4 2 2.√2=√2
Cách 2: a) O là trung điểm BD ⇒ D(0 ; -1 ; 0)
O là trung điểm AC ⇒ C(-2; 0 ;0 )
M là trung điểm SC ⇒ M(-1; 0 ; √2 )
SA❑⃗ =(−2 ;0 ;2√2) ; BM❑⃗
=(− 1;−1 ;√2) ; Gọi là góc nhọn tạo bởi SA và BM
cos = |2+0+4|
√4+8√1+1+2=
√3
2 ⇒ = 300 Gọi () là mặt phẳng chứa SA và // BM
⇒ PT ( √2 x +z +−2√2=0
Ta có : d(SA,BM) = d(B,) = 2√6
3
PT mp ( ABM) √2 x +2√2 y +3 z − 2√2=0
PT tham số SD :
¿
x=0
y =−1 −t z=−2√2t
(t∈ R)
¿{ {
¿
N = SD (ABM) ⇒ N(0; −1
2;√2¿
BS❑⃗ =(0 ; −1 ; 2√2) ; BA❑⃗
=(2 ; −1 ;0) ; BN⃗❑ =(0 ;−3
2;√2) ; BM❑⃗
=(− 1;−1 ;√2) ; [BS
⃗
❑
, BN
⃗
❑
]=(2√2; 0;0) ; [BS
⃗
❑
, BN
⃗
❑
] BA
⃗
❑
=4√2 ; [BS
⃗
❑
, BN
⃗
❑
] BM
⃗
❑
=− 2√2 ; Vậy VSABMN = VSABN +VSMNB = 61 4√2+1
6 2√2=√2 (đvdt)
Câu IV: (2 điểm) 1 Tính tích phân : I = ∫
1
2
x
1+√x −1dx
Đặt t = √x −1 ⇒ t 2 = x – 1 ⇒ 2tdt = dx
X = 1 ⇒ t = 0; x =2 ⇒ t = 1
I = ∫
0
1
(t2+1)2 t
1+t dt=2∫
0
1
t3+t t+1 dt=2∫
0
1
(t2−t +2− 2
t +1)dt=2(t3
3 −
t2
2+2 t −2 ln|t +1|)¿01=11
3 − 4 ln2
Trang 52 [1 + x2(1 – x)]8 =
1 − x¿8
1− x¿5+ +C88x16¿
1− x¿4+C85x10
¿
1− x¿3+C84x8
¿
1 − x¿2+C83x6
¿
C80+C81x2(1 − x )+C82x4
¿
Số hạng chứa x8 trong khai triển trên chỉ có trong 1− x¿
3
C83x6¿ và
1− x¿4
C84x8¿
Suy ra hệ số của x8 là : 3 C83+C84=238
Câu V: (1 điểm) Cho tam giác ABC không tù , thoả mãn điều kiện cos2A + 2 √2 cosB + 2 √2 cosC = 3.
Tính ba góc của tam giác ABC
Cách 1: Gt tương đương :
sin2A − 2√2 sin A
2 cos
B −C
2 +1=0(∗)
Vì ∆C không tù nên ⇒ A /2 ⇒ 0 < A/2 /4
⇒
¿ sin A
2 >0
cosA
2 ≥
√2 2
⇒sin A=2sin A
2 cos
A
2≥√2sin
A
2
¿{
¿ VT(∗)≥ 2 sin2A −2√2 sin A
2 cos
B −C
2 +1=T
∆’= 2 cos2B −C
2 − 2≤ 0 ; ∆’< 0 ⇒ T < 0 ( vô lý )
∆’= 0 ⇒
¿ cosB −C
2 =1 sin A
2=
√2
2 cos
B− C
√2 2 cosA
2 ≥
√2 2
¿{ {
¿
A = /2 và B = C = /4
Cách 2: Gt 2(cos2A + cos2B + cos2C) = 2 + √2 cosC − 1¿
2
√2cos B −1¿2+¿
¿
Mà : cos2A + cos2B + cos2C = 1 – 2cosA.cosB.cosC 1 ( do tam giác ABC không tù )
Dấu “=” xảy ra : cosA.cosB.cosC = 0 và cosB = cosC = √2 / 2 A = /2 và B = C = /4
Cách 3: Gt 2 sin2A −2√2(cos B+cos C )+2=0 ⇔sin2
A −2√2 sin A
2 cos
B − C
2 +1=0 (∗) Tam giác không tù nên cosA
2 ≥ cos
π
4=
√2 2
Do đó : VT(∗)≥ sin2A − 4 sin A
2 cos
A
2 cos
B −C
2 +1≥(sin A − cos B −C
2 )2+sin2B −C
2 ≥ 0 (*) A = /2 và B = C = /4