Tìm các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình sau có nghiệm thực: Lop12.net... Lập bảng biến thiên t f/t.[r]
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010
Mụn Thi: TOÁN – Khối A
ĐỀ THI THAM KHẢO Thời gian: 180 phỳt, khụng kể thời gian giao đề
I:PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
CõuI: Cho hàm số 3 2
yx mx m x cú đồ thị là (Cm) 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C1) của hàm số trờn khi m = 1
2) Cho (d ) cú phương trỡnh y = x + 4 và điểm K(1; 3) Tỡm cỏc giỏ trị của tham số m sao cho
(d) cắt (Cm) tại ba điểm phõn biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giỏc KBC cú diện tớch bằng 8 2
Cõu II:
1) Giải phương trỡnh: cos 2x 5 2(2 - cos )(sin - cos )x x x
2) Giải hệ phương trỡnh: Giải hệ phương trình:
y y
x x
y y x y x
) 2 )(
1 (
4 ) ( 1
2
2
(x, y R)
CõuIII 1) Tớnh tớch phõn I =
6
1 sin sin
2
2) Tỡm cỏc giỏ trị của tham số thực m sao cho phương trỡnh sau cú nghiệm thực:
91 1x2 (m2)31 1x2 2m 1 0
Cõu IV: Cho hỡnh chúp S ABC cú gúc ((SBC), (ACB)) = 600, ABC và SBC là cỏc tam giỏc đều cạnh a
Tớnh theo a khoảng cỏch từ B đến mặt phẳng (SAC)
II PHẦN RIấNG (3.0 điểm)
Câu V.a 1 Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho parabol (P): y x2 2x
và elip (E): 1
9
2 2
y
x
Chứng minh rằng (P) giao (E) tại 4 điểm phân biệt cùng nằm trên một đường tròn
Viết phương trình đường tròn đi qua 4 điểm đó
2.Trong không gian với hệ trục Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình x2y2 z22x4y6z110 và mặt phẳng () có phương trình 2x + 2y - z + 17 = 0 Viết phương trình mặt phẳng () song song với () và
cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng 6
Câu VI.a Tìm hệ số của số hạng chứa x2
trong khai triển nhị thức Niutơn của
n
x
4
2 1
biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn:
1
6560 1
2 3
2 2
2 2
1 2
3 1 2 0
n
C n C
C
n
n n
(C n k là số tổ hợp chập k của n phần tử)
CõuVb: 1 Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d cú phương
trỡnh
3
1 1
2
x
Lập phương trỡnh mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cỏch từ d tới (P) là lớn nhất
2.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2;–3), B(3;–2), ABC cú diện tớch bằng 3
2; trọng tõm G của
ABC thuộc đường thẳng (d): 3x – y – 8 = 0 Tỡm bỏn kớnh đường trũn nội tiếp ABC
Trang 2CõuVIb: : Tỡm cỏc số thực b, c để phương trỡnh z2 + bz + c = 0 nhận số phức z = 1 + i làm một nghiệm
………
HƯỚNG DẨN GIẢI
I:PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
CõuI.1.(Học sinh tự giải)
2)Phương trỡnh hoành độ điểm chung của (Cm) và d là:
2
0
x
(d) cắt (Cm) tại ba điểm phõn biệt A(0; 4), B, C phương trỡnh (2) cú 2 nghiệm phõn biệt khỏc 0
( ) 2
a m
Mặt khỏc: 1 3 4
2
d K d Do đú: 8 21 ( , ) 8 2 16 2256
2
KBC
(x B x C) (y B y C) 256
với x x là hai nghiệm của phương trỡnh (2) B, C
(x B x C)2((x B 4) ( x C4))2 2562(x B x C)2 256(x B x C)24x x B C 128
2
2
m
CõuII:1 Phương trỡnh (cosx–sinx)2 - 4(cosx–sinx) – 5 = 0
cos - sin -1
cos - sin 5( cos - sin 2)
2 2
2) Hệ phương trình tương đương với
2
2
1
1
x
x y y
x
x y y
Đặt ,v x y 2
y
1 x u
2
Ta có hệ u v 1
1 uv
2 v u
Suy ra
1 2 y x
1 y
1
x2
Giải hệ trên ta được nghiệm của hpt đã cho là (1; 2), (-2; 5)
CõuIII:1 Ta cú: I =
6
1
2
6
3 sin co s
2
2
x t
Do vậy:
2 2
4
3 sin 2
16
2 Tỡm cỏc giỏ trị của tham số thực m sao cho phương trỡnh sau cú nghiệm thực:
Trang 391 1x2 (m2)31 1x2 2m 1 0(1)
* Đk x [-1;1], đặt t = 31 1x2
; x [-1;1]t [3;9]
Ta cú: (1) viết lại
2
2
t
Xột hàm số f(t) =
2
2
t
, với t [3;9] Ta cú:
2
3
t
t t
Lập bảng biến thiờn
7
4
Căn cứ bảng biến thiờng, (1) cú nghiệmx [-1;1] (2) cú nghiệm t [3;9] 4 48
7
m
CõuIV:Gọi M là trung điểm của BC và O là hỡnh chiếu của S lờn AM
Suy ra: SM =AM = 3
2
60
AMS và SO mp(ABC)
d(S; BAC) = SO =3
4
a
Gọi VSABC- là thể tớch của khối chúp S.ABC
VS.ABC =1 . 3 3
a
S SO (đvtt)
Mặt khỏc, VS.ABC =1 ( ; )
3SSAC d B SAC
SAC cõn tại C cú CS =CA =a; SA = 3
2
a
16
SAC
a
S
Vậy: d(B; SAC) = 3 3
13
S ABC
SAC
S (đvđd)
II PHẦN RIấNG (3.0 điểm)
Câu V.a 1Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm của(E) và (P)
Hoành độ giao điểm của (E) và (P) là nghiệm của phương trình
0 9 x 37 x 36 x 9 1 )
x
2
x
(
9
Xét (x) 9x4 36x3 37x2 9
, f(x) liên tục trên R có f(-1)f(0) < 0,
f(0)f(1) < 0, f(1)f(2) < 0, f(2)f(3) < 0 suy ra (*) có 4 nghiệm phân biệt, do đó (E) cắt (P) tại 4 điểm phân biệt
Toạ độ các giao điểm của (E) và (P) thỏa mãn hệ
1 y 9 x
x x y
2 2 2
0 9 y x 16 y 9 x 9 9
y
9
x
y x
16
2
2
2
C
S
A
B
Trang 4(**) là phương trình của đường tròn có tâm
9
4
; 9
8
I , bán kính R =
9
161
Do đó 4 giao điểm của (E) và (P) cùng nằm trên đường tròn có phương trình (**)
2.Viết phương trình mặt phẳng ()
Do () // () nên () có phương trình 2x + 2y – z + D = 0 (D 17)
Mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; 3), bán kính R = 5
Đường tròn có chu vi 6 nên có bán kính r = 3
Khoảng cách từ I tới () là h = R2r2 52 32 4
(loại) 17 D
7 D 12 D 5 4
) 1 ( 2 2
D 3 ) 2 ( 2
1
2
2 2
2
Vậy () có phương trình 2x + 2y – z - 7 = 0
Câu VI.a Tìm hệ số của số hạng chứa x2
trong khai triển nhị thức Niutơn của
n
x
4
2
1 ,
biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn:
1
6560 1
2 3
2 2
2 2
1 2
3 1 2 0
n
C n C
C
n
n n
BG: Ta cú
2
0
n n n 2
2 n 1 n 0 n 2
0
n
dx x C x
C x C C dx
)
x
1
(
2
0
1 n n n 3
2 n 2 1 n 0
1 n
1 x
C 3
1 x C 2
1 x
1 n 2
n
3 1 n
2 0
1 n
2 C
3
2 C 2
2 C
2
Mặt khác
1 n
1 3 )
x 1 ( 1 n
1 I
1 n 2 0 1 n
(2)
1 n 2
n
3 1 n
2 0
1 n
2 C
3
2 C 2
2 C 2
1 n
1
3n 1
1 n
6560 1
n
1
1 n
7
0
4 k 14 k 7 k
k 7
k 7 k 7 7
2
1 x
2
1 x
C x
2
1 x
Số hạng chứa x2 ứng với k thỏa mãn 2 k 2
4
k 14
Vậy hệ số cần tìm là
4
21 C 2
1 2 7
CõuVb *1.Gọi H là hỡnh chiếu của A trờn d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đú
khoảng cỏch giữa d và (P) là khoảng cỏch từ H đến (P)
Giả sử điểm I là hỡnh chiếu của H lờn (P), ta cú AH HI=> HI lớn nhất khi A I
Vậy (P) cần tỡm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH làm vộctơ phỏp tuyến
Mặt khỏc, Hd H(12t;t;13t)vỡ H là hỡnh chiếu của A trờn d nờn AH d AH u 0 (u(2;1;3)
là vộc tơ chỉ phương của d) H(3;1;4) AH(7;1;5)
Vậy: (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0 7x + y – 5z –77 = 0
Trang 52.*Gọi C(a; b) , (AB): x –y –5 =0 d(C; AB) = 5 2
2
ABC
AB
5 3
2(2)
a b
a b
a b
; Trọng tâm G 5; 5
a b (d) 3a –b =4 (3)
Từ (1), (3) C(–2; 10) r = 3
S
Từ (2), (3) C(1; –1) 3
2 2 5
S r p
CâuVIb: Vì z = 1 + i là một nghiệm của phương trình: z2 + bx + c = 0 ( b, c R), nên ta có :