LËp ph¬ng tr×nh cña parabol khi biÕt c¸c yÕu tè cña nã.. Bµi 5.[r]
Trang 1Hàm số bậc hai - một số dạng toán liên quan
Dạng 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
Bài 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a)y= x2- 6x+ 3b)y= x2- 4x+ 3 c)y= -x2 + 5x- 4 d) y= 3x2+ 7x+ 2 e) y= -x2- 2x+ 4
Bài 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a)
2
y x 4x 3 b) yx 2 4x 3
c)
2
y x 4 x 3
d)
2
yx 4 x 3
e)
2
y x 4x 3
Bài 3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
a) y = x2 -5x + 7 trên đoạn [-2;5] b) y = -2x2 + x -3 trên đoạn [1;3]
c) y = -3x2 - x + 4 trên đoạn [-2;3] d) y = x2 + 3x -5 trên đoạn [-4; -1]
Bài 4 Tìm m để các bất phơng trình sau đúng với mọi giá trị của m:
a) x2 - 3x + 1 > m b) -x2 +2x - 1 > 4m c) 2x 2 x 1 2m 1
d) 3x 2 x 3 3m e) x 1 x 2 x 3 x 4 m
f) x 2 2x 1 m 2 m
g) x 3 x 5 x 2 x 4 3m 1
Dạng 2 Lập phơng trình của parabol khi biết các yếu tố của nó
Bài 5 Xác định phơng trình các parabol:
a) y= x2+ ax+ b đi qua S(0; 1) v A(1;8)à
b) y= ax2+ x+ b đi qua S(1; -1) v B(-2;5)à
c) y= ax2+ bx- 2 đi qua S(1; 2) v B(-1;1)à
d) y= ax2+ bx+ c đi qua ba điểm A(1; -1), B(2; 3), C(-1; -3)
e) y= ax2+ bx+ c cắt trục hoành tại x1= 2và x2= 3, cắt trục tung tại: y= 6
f) y= ax2+ bx+ c đi qua hai điểm M(2; -7), N(-5; 0) và có trục đối xứng x= -2
g) y= ax2+ bx+ c đạt cực tiểu bằng –6 tại x= -3 và qua điểm E(1; -2)
h) y= ax2+ bx+ c đạt cực đại bằng 7 tại x= 2 và qua điểm F(-1; -2)
i) y= ax2+ bx+ c qua S(-2; 4) và A(0; 6)
Bài 6 Tìm parabol y=ax2+ bx+ 2 biết rằng parabol đó:
a) Đi qua hai điểm A(1; 5) và B(-2; 8) b)Cắt trục hoành tại x1= 1 và x2= 2
c) Đi qua điểm C(1; -1) và có trục đối xứng x= 2 d)Đạt cực tiểu bằng 3/2 tại x= -1
e) Đạt cực đại bằng 3 tại x= 1
Bài 7 Tìm parabol y= ax2+ 6x+ c biết rằng parabol đó
a) Đi qua hai điểm A(1; -2) và B(-1; -10)b)Cắt trục hoành tại x1= -2 và x2= -4 c) Đi qua điểm C(2; 5) và có trục đối xứng x= 1 d)Đạt cực tiểu bằng -1 tại x= -1
e) Đạt cực đại bằng 2 tại x= 3
Bài 8 Lập phơng trình của (P) y = ax2 + bx + c biết (P) đi qua A(-1;0) và tiếp xúc với đờng thẳng (d) y = 5x +1 tại điểm M có hoành độ x = 1
Dạng 3 Sự tơng giao của parabol và đờng thẳng
Bài 9 Tìm toạ độ giao điểm của các hàm số sau:
a) y= x- 1 và y= x2- 2x- 1 b) y=-x+ 3 và y= -x2- 4x +1
c) y= 2x- 5 và y=x2- 4x+ 4 d) y= 2x+ 1 và y=x2- x- 2
e) y= 3x- 2 và y= -x2- 3x+ 1f) y= - 1
4 x+ 3 và y=
1
2 x2+ 4x+ 3
Bài 10 Tìm toạ độ giao điểm của các hàm số sau:
a) y= 2x2+3x+ 2 và y= -x2+ x- 1 b) y= 4x2- 8x+ 4 và y= -2x2+ 4x- 2
c) y= 3x2+ 10x+ 7 và y= -4x2+ 3x+ 1d)y= x2- 6x+ 8 và y= 4x2- 5x+ 3
e)y= -x2+ 6x- 9 và y= -x2+ 2x+ 3 f) y= x2- 4 và y= -x2+ 4
Bài 11 Biện luận số giao điểm của đờng thẳng (d) với parabol (P)
a) (d): y= mx- 1 và (P): y= x2- 3x+ 2 b)(d): y= x- 3m+ 2 và (P): y= x2- x
c) (d): y= (m- 1)x+ 3 và (P): y= -x2+ 2x+ 3 d)(d): y= 5x+ 2m+ 5 và (P): y= 5x2+ 3x- 7
Bài 12 Cho họ (Pm) y = mx2 + 2(m-1)x + 3(m-1) với m0 Hãy viết phơng trình của parabol thuộc họ (Pm) tiếp xúc với Ox
Bài 13 Cho họ (Pm) y = x2 + (2m+1)x + m2 – 1 Chứng minh rằng với mọi m đồ thị (Pm) luôn cắt đờng thẳng y = x tại hai điểm phân biệt và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng hằng số
Dạng 4 Phơng trình tiếp tuyến của Parabol
Bài 14 Viết phơng trình tiếp tuyến của (P) y = x2 - 2x +4 biết tiếp tuyến:
a) Tiếp điểm là M(2;4) b) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng (d1) y = -2x + 1
c) Tiếp tuyến đi qua điểm A(1:2) d) Tiếp tuyến vuông góc với (d2) y = 3x + 2
Bài 15 Viết phơng trình tiếp tuyến của (P) y = -2x2 + 3x -1 biết tiếp tuyến:
a) Tiếp điểm là M(-1;3) b) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng (d1) y = 3x -2
c) Tiếp tuyến đi qua điểm A(-3:2) d) Tiếp tuyến vuông góc với (d2) y = -3x -1
Dạng 5 Điểm đặc biệt của Parabol
Bài 16 Tìm điểm cố định của (Pm): y = mx2 + 2(m-2)x - 3m +1
Bài 17 Tìm điểm cố định của (Pm): y = (m+1)x2 - 3(m+1)x - 2m -1
Trang 2Bài 18 Tìm điểm cố định của (Pm): y = (m2 - 1)x2 - 3(m+1)x - m2 -3m + 2
Dạng 6 Quĩ tích điểm
Bài 19 Tìm quĩ tích đỉnh của (Pm) y = x2 - mx + m
Bài 20 Tìm quĩ tích đỉnh của (Pm) y = x2 - (2m+1)x + m-1
Bài 21 Cho (P) y = x2
a) Tìm quỹ tích các điểm mà từ đó có thể kẻ đợc đúng hai tiếp tuyến tới (P)
b) Tìm quỹ tích tất cả các điểm mà từ đó ta có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến tới (P) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau
Dạng 7 Khoảng cách giữa hai điểm liên quan đến parabol
Bài 22 Cho (P)
2
x y 4
và điểm M(0;-2) Gọi (d) là đờng thẳng qua M có hệ số góc k a) Chứng tỏ với mọi m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
b) Tìm k để AB ngắn nhất
Bài 23 Cho (P) y = x2, lấy hai điểm thuộc (P) là A(-1;1) và B(3;9) và M là một điểm thuộc cung AB Tìm toạ độ của M để diện tích tam giác AMB là lớn nhất
Bài 24 Cho hàm số y = x2 +(2m+1)x + m2 - 1 có đồ thị (P)
a) Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị (P) luôn cắt đờng thẳng y = x tại hai điểm phân biệt và khoảng cách giữa hai điểm này không đổi
b) Chứng minh rằng với mọi m, (P) luôn tiếp xúc với một đờng thẳng cố định Tìm phơng trình đờng thẳng đó
Bài 25 Cho (P)
2
y 2x x 3 Gọi A và B là hai điểm di động trên (P) sao cho AB = 4 Tìm quĩ tích
trung điểm I của AB
Dạng 8 ứng dụng của đồ thị trong giải phơng trình, bpt
Bài 26 Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình:
a) x2 + 2x + 1 = m b) x2 -3x + 2 + 5m = 0 c) - x2 + 5x -6 - 3m = 0
Bài 27 Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình:
a)
2
x 5x 6 3m 1
b)
2
x 4 x 3 2m 3
c)
2
2x x 4m 3 0
Bài 28 Tìm m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất:x 22x2 4 x 22x 5 m
Bài 29 Tìm m để phơng trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
2
x x 2 4m 3
Bài 30 Tìm m để phơng trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
2
x x 2 5 2m
Bài 31 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của yf x( )x 4 4x 3 x 210x 3 trên đoạn [-1;4]
Bài 32 Cho x, y, z thay đổi thoả mãn x2 + y2 + z2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P= x + y + z + xy+ yz + zx
Bài 33 Tìm m để bất đẳng thức x 2 2x 1 m 2 0 thoả mãn với mọi x thuộc đoạn [1;2].
Nguyễn Quang Vinh – THPT Vũ Tiờn