Lời nói đầu: Bài viết nói về việc khai thác một chùm bài toán hay bắt nguồn từ một bài toán rất hay trên Aops, qua đó chỉ ra vẻ đẹp của những lời giải cùng những điều gợi mở.. Bài toán 1[r]
Trang 1Khai thác cho một chùm bài toán hay về đường thẳng Euler và các mở rộng của nó
Lời nói đầu: Bài viết nói về việc khai thác một chùm bài toán hay bắt nguồn từ một bài toán rất hay trên Aops, qua đó chỉ ra vẻ đẹp của những lời giải cùng những điều gợi mở
Bài toán 1(Aops): Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Lấy P đối xứng A qua BC
AO ∩ (OBC) = O, M Chứng minh rằng: M P song song đường thẳng Euler của tam giác ABC
Trang 2điểm BC Ta có: OE
OA =
N E
N D Gọi OK ∩ BC = J , ta có: ∠NOJ = ∠OKA =
∠OAK = ∠EON suy ra OJE là tam giác cân tại O do đó N là trung điểm JE Vậy N E
N D =
N J
N D Lại theo định lí T hales thì:
N J
ON =
DJ
KD =
N D HA
2 + KD
suy ra
N J
N D =
ON
HA
2 + KD
= HA
HA + 2HD =
HA
AK =
HA
AD + HD =
HA
DP + HD =
HA
HP Thế
nên: OA
OM =
HA
HP nên theo định lí T hales đảo thì: OHkP M hay điều phải chứng minh
Khai thác bài toán trên sẽ cho ta một lời giải khá đẹp cho bài toán sau của bạn Nguyễn Tiến Hoàng-PTNK TPHCM khác với lời giải của tác giả Trần Quang Hùng bằng phép nghịch đảo(tại https://l.facebook.com/l.php?u=https)
Bài toán 2(Nguyễn Tiến Hoàng): Cho tam giác ABC có tâm ngoại tiếp (O) và trực tâm H Lấy X đối xứng A qua BC AO ∩ (OBC) = O, Y Chứng minh rằng:
Y H, OX, BC đồng quy tại D và AD đi qua tâm đường tròn Euler của tam giác ABC
Trang 3Lời giải: Theo bài toán 1 ta có: OHkXY Gọi I là chân đường cao hạ từ A xuống
BC AO ∩ BC = J và M là trung điểm BC Theo định lí T hales thì: DO
DX =
HO
XY = AH
AX =
AH
2AI =
2OM 2AI =
OM
AI =
J O
J A Do đó
J A
J O.
DO
DX.
IX
IA =
J A
J O.
J O
J A = 1 hay là theo định lí M enelaus đảo ta có: D, I, J thẳng hàng Áp dụng bổ đề hình thang thì: AD chia đôi HO nên AD đi qua tâm Euler của tam giác ABC
Tiếp tục, đảo thành mô hình tâm nội tiếp tôi có bài toán hay sau:
Bài toán 3: Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I) (I) tiếp xúc BC, CA, AB tại D, E, F Lấy K đối xứng D qua EF Gọi IK ∩ EF = J Chứng minh rằng: DJ đi qua tâm đường tròn Euler của tam giác DEF
Trang 4của tam giác DEF
Ta nhận thấy yếu tố tiếp tuyến trong bài có thể thu gọn lại hơn, rút gọn bớt hai tiếp tuyến ta được bài toán mới, khi đó vai trò điểm S tương đương với A và J có vai trò tương đương điểm đồng quy của KA, BC và đường thẳng Euler của tam giác DEF Lời giải: Ta chuyển về bài toán mới như sau: "Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có trực tâm H Tiếp tuyến tại B, C của (O) cắt nhau tại S Lấy K đối xứng A qua BC
và gọi SK ∩ OH = J Chứng minh rằng: J A tiếp xúc (O)"
Trang 5Bổ đề : Cho hình thang ABCD Lấy X, Y trên BC, AD sao cho AXkCY Khi đó
BY kDX
Chứng minh bổ đề(Bạn đọc tự vẽ hình): Gọi AD ∩ BC = K Ta có: KA
KD =
KB
KC, KA
KY =
KX
KC do đó chia 2 vế cho nhau ta có:
KY
KD =
KB
KX nên theo định lí T hales đảo thì: BY kDX
Quay trở lại bài toán, gọi tiếp tuyến tại A của (O) cắt SK tại J0, gọi AO∩(OBC) = P thế thì: J0AkKP Theo bài toán 1 thì: HOkKP Áp dụng bổ đề ta lại có: J0OkKP
Trang 6Sử dụng ý tưởng giống bài toán 2, tôi đề xuất lời giải sau cho bài toán mở rộng xuất hiện trong chuyên mục Mỗi Tuần Một Bài Toán-Tuần 2-Tháng 6 của thầy Trần Quang Hùng Thay thế 2 điểm O, H bởi 2 điểm đẳng giác bất kì ta có bài toán này
Bài toán 6(Mở rộng bài toán 1 và bài toán 2)(Ngô Quang Dương-Trần Quang Huy): Cho tam giác ABC, P và Q là 2 điểm liên hợp đẳng giác trong tam giác ABC AP ∩ (P BC) = A, X và AQ ∩ (BQC) = A, Y Chứng minh rằng:
P Y, QX, BC đồng quy tại D và AD chia đôi P Q
Trang 7Lời giải(Nguyễn Duy Khương): Ta có: ∠BAY = ∠P AC mà ∠BY Q = ∠BCQ =
∠P CA do đó 4BAY ∼ 4P AC(g.g) suy ra AB
AP =
AY
AC Chứng minh tương tự thì: AQ
AC =
AB
AX do đó AQ.AX = AP.AY hay là:
AP
AQ =
AX
AY nên theo định lí T hales đảo thì: P QkXY Gọi P Y cắt QX tại D thì theo bổ đề hình thang ta có: AD chia đôi P Q Ta chứng minh D ∈ BC Gọi AP ∩ BC = I, AQ ∩ BC = J Theo định lí
T hales ta có: DQ
DX =
P Q
XY =
AP
AX Theo định lí hàm số sin thì:
QB
QC =
sin ∠QCB sin ∠P BA đồng thời: AP
AB =
sin ∠P BA sin∠AP B =
sin ∠P BA sin ∠BP X =
sin ∠P BA sin ∠BCX.
Trang 8Tài liệu tham khảo
1 Aops.com
2 Chuyên mục Mỗi Tuần Một Bài Toán-Trần Quang Hùng-GV chuyên KHTN
3 Một số bài toán liên quan tới đường tròn Euler và đường thẳng Euler-Nguyễn Duy Khương,Trương Tuấn Nghĩa