Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh THPT thông qua các bài tập trắc nghiệm cực trị số phức được xây dựng từ bài toán cực trị hình học phẳng

Khai thác các bài toán cực trị dạng đoạn thẳng xây dựng bài tập trắc nghiệm cực trị số phức...11 2.3.4.. Chính từ những yêu cầu và nhận thức trên, tôi chọn đề tài: “Phát triển tư duy sán

MỤC LỤC

1 PHẦN MỞ ĐẦU 2

1.1 Lý do chọn đề tài 2

1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

1.4 Phương pháp nghiên cứu 3

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 3

2.1 Cơ sở lý luận 3

2.1.1 Tư duy sáng tạo 3

2.1.2 Bài tập trắc nghiệm cực trị số phức thường gặp trong đề thi TNTHPT 3

2.1.3 Các dạng bài toán cực trị hình học phẳng khai thác trong đề tài 3

2.1.4 Giải pháp giải quyết vấn đề 4

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 4

2.2.1 Thực trạng nói chung 4

2.2.2 Nguyên nhân 5

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 5

2.3.1 Khai thác bài toán cực trị đường thẳng xây dựng bài tập cực trị số phức 6

2.3.2 Khai thác bài toán cực trị đường tròn xây dựng bài tập cực trị số phức 8

2.3.3 Khai thác các bài toán cực trị dạng đoạn thẳng xây dựng bài tập trắc nghiệm cực trị số phức 11

2.3.4 Khai thác bài toán dạng elip xây dựng bài tập trắc nghiệm cực trị số phức 13

2.3.5 Tổng quát phương pháp giải bài tập trắc nghiệm cực trị số phức bằng phương pháp hình học 14

2.4 Hiệu quả của Sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 14

2.4.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 14

2.4.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm 14

2.4.3 Kết quả thực nghiệm sư phạm 14

2.4.4 Đánh giá kết quả thực nghiệm 15

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 15

3.1 Quá trình nghiên cứu và ứng dụng đề tài 15

3.2 Ý nghĩa của đề tài 15

3.3 Kết luận 16

3.4 Kiến nghị và đề xuất 16

1 PHẦN MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Xã hội ngày nay đang phát triển với tốc độ chóng mặt về khoa học, kĩthuật, đời sống,… lượng thông tin bùng nổ đòi hỏi con người phải có tính năngđộng và khả năng thích nghi cao Như vậy, rèn luyện tư duy sáng tạo cho họcsinh là nhiệm vụ quan trọng, cấp thiết Điều này thể hiện rõ ở Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013, Hội nghị Ban chấp hành Trung ương khóa XI về đổimới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo

Ở trường phổ thông, dạy học toán là dạy hoạt động toán học, ngoài việccung cấp kiến thức, kĩ năng thì phải làm sao phát triển được năng lực, tư duysáng tạo của học sinh phù hợp với chương trình giáo dục

Nội dung số phức đưa vào chương trình phổ thông đã góp phần hoàn thiện

về tập hợp số, đồng thời cũng một lần nữa thể hiện được mối quan hệ giữa cácnội dung đại số, hình học và lượng giác khá gần gũi nhau Một số bài toán đại số

về số phức khi chuyển về hình học được minh họa một cách trực quan, sinhđộng với những phương pháp giải tối ưu, hay ngược lại từ những bài toán quenthuộc của hình học có thể sáng tạo những bài toán số phức độc đáo Chính vìthế, số phức góp phần hình thành và phát triển tư duy, năng lực và tính sáng tạocủa học sinh do đó nó thường xuyên xuất hiện trong các đề thi, đặc biệt kì thiTNTHPT với hình thức thi trắc nghiệm môn toán thì nội dung này xuất hiện đadạng và phong phú hơn ở cả bốn mức độ Song nhiều học sinh đang lúng lúngtrong quá trình làm bài, xác định phương pháp giải hay nhận dạng bài toán đặcbiệt là các bài toán cực trị số phức Thực tế cho thấy, nếu giáo viên hình thànhbài tập bắt nguồn từ kiến thức đã biết sẽ kích thích hứng thú, phát triển tư duycho học sinh hạn chế sai sót hay khó khăn trong quá trình làm bài

Để dạy tốt nội dung số phức, tôi đã trăn trở trong việc dạy cái gì? dạy nhưthế nào? để học sinh hứng thú tiếp thu bài giảng một cách tốt nhất, đây cũng làvấn đề mà được nhiều giáo viên đặc biệt quan tâm

Chính từ những yêu cầu và nhận thức trên, tôi chọn đề tài: “Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh THPT thông qua các bài tập trắc nghiệm cực trị số phức được xây dựng từ bài toán cực trị hình học phẳng”.

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

1.3.1 Đối tượng nghiên cứu: Các bài tập trắc nghiệm cực trị số phức được

xây dựng từ các bài tập cực trị hình học phẳng

1.3.2 Phạm vi nghiên cứu: Nội dung số phức giảng dạy cho đối tượng học

sinh lớp 12 tiếp cận kì thi tốt nghiệp THPT ở trường THPT Đào Duy Từ TPThanh Hóa

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham

khảo, đề minh họa, đề thi THPT QG, đề thi TNTHPT năm 2017, 2018, 2019,

2020, 2021 và các vấn đề có liên quan đến đề tài

- Phương pháp điều tra, quan sát: Dự giờ, quan sát, lập phiếu điều tra thực

trạng, kiểm tra trắc nghiệm việc giải bài tập trắc nghiệm cực trị số phức

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm đánh

giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận

2.1.1 Tư duy sáng tạo

Theo nhà tâm lí học người Đức Mehlhow cho rằng:“Tư duy sáng tạo là hạt nhân của sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục” Theo giáo sư Nguyễn Bá Kim,“ Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ”.

Trong tác phẩm “ Sáng tạo Toán học”, G Polya cho rằng: “Một tư duy gọi

là có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải của một bài toán cụ thể nào đó.

Có thể coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này”.

Như vậy tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mớiđộc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao

2.1.2 Bài tập trắc nghiệm cực trị số phức thường gặp trong đề thi TNTHPT

Bài tập số phức trong đề thi TNTHPT đa dạng, phong phú ở cả bốn mức độ,trong đề tài khai thác bài tập hình học phẳng để xây dựng một số bài tập cực trị sốphức sau:

- Tính giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của môđun số phức;

- Tìm số phức để môđun số phức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất;

- Các bài toán liên quan đến tìm phần thực, phần ảo để số phức thỏa mãnđiều kiện môđun đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

2.1.3 Các dạng bài toán cực trị hình học phẳng khai thác trong đề tài

- Cho điểm ,A B và đường thẳng d Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho MA đạt giá trị nhỏ nhất, MA MB đạt giá trị nhỏ nhất; MA MB đạt giátrị lớn nhất;

- Cho điểm A và đường tròn Tìm điểm M thuộc đường tròn sao cho MA

đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất;

- Tính khoảng cách nhỏ nhất, lớn nhất giữa hai điểm thuộc hai đường tròn;giữa điểm thuộc đường tròn và điểm thuộc đường thẳng;

- Cho điểm A và đoạn thẳng Tìm điểm M thuộc đoạn thẳng sao cho MA

đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất;

- Cho điểm A và đường elip Tìm điểm M thuộc đường elip sao cho MA

đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất;

2.1.4 Giải pháp giải quyết vấn đề

a) Biểu diễn hình học của số phức

- Nếu điểm A biểu diễn số phức z thì OA

2

2 2

, ( 0)

z z

c) Tập điểm biểu diễn số phức

- z a bi   z c di tập hợp điểm biểu diễn số phức zlà đường thẳng;

- z a bi  m m,( 0) tập hợp điểm biểu diễn số phức zlà đường tròn tâm

học chủ đề “Số phức” Giáo viên dạy cho học sinh còn thiên về kĩ năng giảitoán, áp dụng công thức, các phương pháp giải, các dạng toán có sẵn Chính vìthế mà tư duy sáng tạo của học sinh bị kìm hãm, không được phát triển tốt.

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

- Sử dụng phương pháp xây dựng các bài toán cực trị số phức từ nhữngkiến thức có trước sẽ giúp học sinh tiếp cận dạng toán dễ dàng hơn, hiểu rõ bảnchất và giải quyết bài toán nhanh, chính xác Không những ở các tập số phức màcòn các dạng bài tập khác sẽ giúp học sinh tư duy tốt Học sinh không chỉ làmbài mà còn sáng tạo ra các dạng toán độc đáo hơn

- Học sinh không còn ngần ngại với cụm từ “cực trị" và có cách nhìn thânthiện với các dạng toán số phức, góp phần tạo hứng thú khi học toán và làm bàitrắc nghiệm toán, học sinh chủ động hơn khi làm bài tập, tạo ra bài tập mới

- Sáng tạo bài toán mới là bước quan trọng trong quá trình giải toán, mộtphương thức rèn luyện tư duy sáng tạo toán học, một trong những mục tiêu chínhcủa học tập sáng tạo Để xây dựng bài toán mới, có thể hướng dẫn học sinh theocác con đường sau:

- Sử dụng các thao tác tư duy như: Tương tự hóa, đặc biệt hóa hay tổngquát,… để đi đến bài toán tương tự, bài toán đảo, đặc biệt hóa hay tổng quát hóa

- Nghiên cứu sâu bản chất của bài toán, đoán được cơ sở hình thành bàitoán để xây dựng bài toán cùng dạng

- Xét sự vận động giả thiết dẫn đến sự vận động tương ứng của kết luận, từ

đó xây dựng bài toán mới

Sau đây, tôi xin trình bày quá trình xây dựng, giải bài tập cực trị số phức

từ việc khai thác các bài tập cực trị hình học phẳng:

2.3.1 Khai thác bài toán cực trị đường thẳng xây dựng bài tập cực trị số phức

Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d ax by c:   0,điểm A x y( ;A A) không thuộc đường thẳng d Điểm M x y thuộc đường thẳng( ; )

d

a) Tính độ dài MA sao cho MA đạt giá trị nhỏ nhất.

b) Tìm điểm M x y để độ dài MA nhỏ nhất.( ; )

Hướng giải bài toán gốc:

a) Gọi M0là hình chiếu của điểm A lên

đường thẳng d Khi đó MA M A 0

Giá trị nhỏ nhất của MA bằng

0 ( ; )

M A d A d

b) Viết phương trình đường thẳng M A0 qua

A và vuông góc với đường thẳng d

Khi đó M0 là giao của đường thẳng d và

0

M A.

Xây dựng bài toán cực trị số phức

Phân tích: z bằng khoảng cách từ gốc tọa độ O(0;0) đến điểm biểu diễn

số phức z , z z 0 là khoảng cách từ điểm A biểu diễn số phức z0 đến điểm biểu

Hướng xây dựng 2: Xuất phát từ câu hỏi b của bài toán 1

Cho tập hợp số phức z biểu diễn là đường thẳng Tìm số phức z để z nhỏ

nhất, z z 0 nhỏ nhất

Ví dụ 3: Cho tập hợp số phức z thỏa mãn z 1 2i  z i Tìm số phức

z có môđun nhỏ nhất.

A z  1 2i B z 1 3i C z x yi  D z x yi Giải: Gọi điểm M x y biểu diễn số phức z x yi( ; )   , ,x y  Khi đó

x y

x

,

1.5

y

Vậy

310

x y 

Chọn đáp án A

Bài toán 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng :ax by c  0,điểm A x y( ;A A), B x y( ;B B) không thuộc đường thẳng  Điểm M x y thuộc( ; )đường thẳng 

a) Tính độ dài MA MB sao cho MA MB đạt giá trị nhỏ nhất.

b) Tìm điểm M x y để độ dài MA MB( ; )  nhỏ nhất

Hướng giải bài toán gốc:

Trường hợp 1: Điểm ,A B nằm về hai phía

đường thẳng  Khi đó MA MB AB 

Giá trị nhỏ nhất của MA MB bằng AB khi

M là giao điểm của đường thẳng AB và đường

thẳng 

Trường hợp 2: Điểm ,A B nằm về một phía

đường thẳng  Gọi 'A là điểm đối xứng của A

qua 

Khi đó MA MB MA MB A B  '  '

Giá trị nhỏ nhất của MA MB bằng 'A B khi

M là giao của đường thẳng ' A B và đường thẳng



Xây dựng bài toán cực trị số phức

Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn z 2i   Tìm phần thực của sốz i

Giải: Gọi điểm M x y( ; )biểu diễn số phức z x yi  , x y  ,

Từ giả thiết z 2i   , ta có M thuộc đường thẳng z i :2y 1 0, điểm(1;2), (0; 4)

A B  ở vị trí khác phía so với đường thẳng  Đường thẳng

2.3.2 Khai thác bài toán cực trị đường tròn xây dựng bài tập cực trị số phức

Bài toán 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A x y( ;A A) và đường tròn

2 2

( ) :C x  y  2ax 2by c  Điểm 0 M x y( ; ) thuộc đường tròn ( )C .

a) Tính độ dài MA sao cho MA đạt giá trị nhỏ nhất, ( MA đạt giá trị lớn

nhất)

b) Tìm điểm M x y( ; ) để độ dài MA nhỏ nhất, ( MA đạt giá trị lớn nhất).

Hướng giải bài toán gốc: Đường tròn ( ) C có tâm ( ; ) I a b , bán kính R

a) Gọi M N0, 0là giao điểm của đường

thẳng AI với đường tròn (hình vẽ) Khi đó,

Khi đó M N0, 0 là giao của AI và ( )C .

Xây dựng bài toán cực trị số phức

Hướng xây dựng 1: Cho tập hợp số phức z biểu diễn là đường tròn Tìm

A  biểu diễn số phức z0  1 i Khi đó z    1 i z 1 i MA

Từ giả thiết z 2 3 i  thì 1 M x y( ; )thuộc đường tròn có tâm I(2;3), bán

kính R  Khi đó 1 z 1 imax IA R  13 1

Chọn đáp án B.

Hướng xây dựng 2: Tìm các yếu tố liên quan đến số phức

Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn z 4 3 i  Giả sử biểu thức P z2 đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại z1 a1b i a b1 , 1, 1  và

2 2 2 , 2, 2

z a b i a b   Tính S a 1a2

x 

,

215

y 

hoặc

125

x 

,

95

y Vậy a1a2 8 Chọn đáp án C

Bài toán 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phương trình đường trònI a b2( ; )2 2

A B C D là các giao điểm của

đường thẳng I I1 2với hai đường tròn

Xây dựng bài toán cực trị số phức

Hướng xây dựng: Cho tập hợp số phức z z1, 2 có tập điểm biểu diễn làđường tròn Tìm z1 z2 nhỏ nhất, z1 z2 lớn nhất

Ví dụ 9: (Đề thi thử Sở giáo dục Kiên Giang) Cho hai số phức z z1, 2 thỏamãn z1 2 3i  và 2 z2  1 2i 1

Giá trị lớn nhất của Pz1 z2

Giải: Gọi điểm M x y( ; )biểu diễn số phức z x yi  , x y , .

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 là

đường tròn tâm I 1( 2;3), bán kính R 1 2, biểu

diễn số phức z2 là đường tròn tâm I2(1; 2) , bán

Hướng giải bài toán gốc: Đường tròn ( )C1

có tâm I a b( ; ), bán kính R Gọi H là hình chiếu

của I lên đường thẳng d Điểm , A B là các giao

điểm của đường thẳng IH với đường tròn (hình

vẽ) Khi đó

1 2

Xây dựng bài toán cực trị số phức

Hướng xây dựng: Cho tập hợp số phức z z1, 2 có tập điểm biểu diễn lầnlượt là đường tròn và đường thẳng Tìm z1 z2 nhỏ nhất, z1 z2 lớn nhất

Ví dụ 11: Cho hai số phức z z thỏa mãn , ' z   và5 5

' 1 3 ' 3 6

z   i  z  i Giá trị nhỏ nhất nhất của P z z'

A

52

P 

B

54

P 

C P  10 D P 3 10

Giải: Gọi điểm , M M biểu diễn số'

phức , 'z z H là hình chiếu của I lên đường

Hướng giải bài toán gốc:

Gọi H là hình chiếu của điểm I lên đường

b) Trường hợp 1: Khi H thuộc đoạn thẳng AB

Tìm điểm H là giao của đường thẳng AB và đường thẳng qua I vuông góc với đường thẳng AB Khi đó MI IH , IH max MA MB , 

Trường hợp 2: Khi H nằm ngoài đoạn AB

MI min MA MB , MI max MA MB ,  Điểm M cần tìm là điểm A hoặc điểm B

Xây dựng bài toán cực trị số phức

Hướng xây dựng: Cho tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đoạn thẳng.

Tìm z nhỏ nhất, tìm z z 0 nhỏ nhất

Ví dụ 12: (Đề minh họa) Cho số phức z thỏa mãn

2

IH d I d 

Chọn đáp án C.

Ví dụ 13: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 i  z 3 2 i  5

Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất của môđun z Tính giá trị M m

A 5 5 13 B 2  13 C 2 2 13 D

5 5 135



Đáp án: B

Nhận xét: Sai lầm thường gặp của học sinh trong trường hợp này là môđun

nhỏ nhất của số phức z bằng IH d I AB ( , ) nhưng do H không thuộc đoạn AB nên không tồn tại điểm M

Ví dụ 14: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 i  z 2 3 i 2 5.Tích giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của môđun w z  1 2i

4 55

2.3.4 Khai thác bài toán dạng elip xây dựng bài tập trắc nghiệm cực trị số phức

Bài toán 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tập hợp điểm M x y( ; )0 0 thuộcđường elip có phương trình

2 2

2 2 1

a  b  , điểm (0;0)O là gốc tọa độ.

a) Tính độ dài MO sao cho MO đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.

b) Tìm điểm M x y( ; ) để độ dài MO đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.

Hướng giải bài toán gốc:

Xây dựng bài toán cực trị số phức

Phân tích: z bằng khoảng cách từ gốc tọa độ O đến điểm biểu diễn số

phức z , z z 0 là khoảng cách từ điểm A biểu diễn số phức z0 đến điểm biểu

F , ( 1;0)F 2 biểu diễn số phức z11,z2 1 Từ giả thiết z 1 z 1 4

ta có MF1MF2  4 F F1 2 2 Vậy quỹ tích điểm M x y( ; ) là đường elip có độ

dài trục lớn 2a  , đọ dài trục bé 24 b 2 3 Khi đó 3z  Chọn đáp án C2

Ví dụ 16: Cho số phức z thỏa mãn z 3  z3 8 Tính tổng giá trị nhỏ

nhất và giá trị lớn nhất của z

Chọn đáp án B