MỘT số GIẢI TÍNH CHẤT các điểm cực TRỊ của đồ THỊ hàm số bặc 4 và ỨNG DỤNG PHÁT TRIỂN NĂNG lực tư DUY SÁNG tạo CHO học SINH THÔNG QUA VIỆC KHAI THÁC bài TOÁN hàm ẩn TRONG đề THI TNTHPTQG

Đây là phần bài toán trong các đề thi có đầy đủ các mức độ từ nhận biết, thông hiểu,vận dụng thấp, vận dụng cao; có khá nhiều vấn đề liên quan như đạo hàm của hàm số, bài toán tính đơn đ

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Đối với mỗi giáo viên chúng ta, giảng dạy luôn luôn đặt mục tiêu nâng caochất lượng giáo dục, năng lực, tri thức, nhận thức của học sinh Đặt mục tiêu làmsao để tri thức của học sinh được rèn luyện một cách tốt nhất Tôi nhận thấy rằngrèn luyện tư duy, kĩ năng giải toán, làm việc sáng tạo là một việc cần thiết, quantrọng để đáp ứng nhu cầu của học sinh và cũng là trách nhiệm của mỗi người giáoviên khi giảng dạy

Qua các kì thi THPT quốc gia và các đề thi thử trong các năm gần đây xuấthiện khá nhiều bài toán yêu cầu học sinh biết liên hệ nhiều kiến thức, có những bàitoán đòi hỏi tư duy, khả năng liên hệ, kết hợp các kiến thức, năng lực ở mức độcao Một trong các bài toán đó có khá nhiều bài liên quan đến các hàm hợp Đây

là phần bài toán trong các đề thi có đầy đủ các mức độ từ nhận biết, thông hiểu,vận dụng thấp, vận dụng cao; có khá nhiều vấn đề liên quan như đạo hàm của hàm

số, bài toán tính đơn điệu, cực trị của hàm số, cũng như bài toán tương giao, hay làcác bài toán về phương trình, phương trình chứa tham số, bài toán về đường tiệmcận, nguyên hàm, …

Từ những vấn đề đã nêu trên, tôi thật sự trăn trở làm sao để có thể giúp họcsinh giải quyết được các bài toán này một cách nhanh và chính xác; rèn luyện tưduy, nâng cao năng lực cho học sinh, tôi đã liên hệ các kiến thức và viết sáng kiếnkinh nghiệm

“Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc khai thác bài toán

hàm ẩn trong đề thi tốt nghiệp Trung Học Phổ Thông’’.

1.2 Mục đích của sáng kiến

Trên các nghiên cứu về lý thuyết và thực tiễn, tôi đề xuất một số cách khaithác và phát triển các dạng bài tập toán từ một số bài toán gốc, nhằm góp phần đổimới phương pháp dạy học, nâng cao kiến thức năng lực của học sinh

1.3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Học sinh lớp 12, học sinh ôn thi THPT

- Giáo viên giảng dạy môn Toán bậc THPT

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lí thuyết

Phương pháp thống kê

Phương pháp tham vấn

Phương pháp tổ chức hoạt động nhóm

2 NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

Hầu hết các giáo viên chúng ta khi giảng dạy cứ quan niệm nhẹ nhàng miễnsao học sinh có thể làm ra kết quả, đáp án đúng mà lãng quên bản chất, nguyênnhân xuất phát của bài toán từ đâu, vì thế đánh mất sự kết hợp liên quan giữa các

2

yếu tố, kiến thức, nhất là với hiện tại bây giờ các đề thi chủ yếu đánh giá năng lựcbằng hình thức trắc nghiệm Nếu chúng ta chỉ truyền thụ kiến thức cơ bản cho họcsinh mà bỏ qua hoạt động rèn luyện tư duy, kết hợp kiến thức, liên hệ và phát triểnthì không những bản thân chúng ta sẽ bị mai một kiến thức, mà các em học sinh

sẽ bị động trước một vấn đề “tưởng chừng như mới mẻ” của toán học, khả năngsuy luận, tư duy sáng tạo của học sinh sẽ bị hạn chế

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

iii Tương giao giữa đồ thị các hàm số

2.1.2 Nghiên cứu phương pháp phát triển bài toán mới liên quan

Các định hướng xây dựng bài toán xuất phát từ bài toán gốc

Ở đây chúng ta xây dựng các ( ),u x là đa thức ẩn x, hoặc các biểu thức là căn

thức chứa x, logarit, mũ chứa x, hoặc là một biểu thức lượng giác.

Ở đây chúng ta xây dựng các ( ),u x là đa thức ẩn x, hoặc các biểu thức là căn

thức chứa x, logarit, mũ chứa x, hoặc là một biểu thức lượng giác, cũng có thể là

biểu thức chứa tham số m

2.3.2 Thiết kế các hoạt động định hướng phát triển các bài toán xuất phát từ bài toán gốc

+) Định hướng phát triển bài toán đơn điệu

+) Định hướng phát triển bài toán cực trị

+) Định hướng phát triển bài toán tương giao

a) Xây dựng các bài toán đơn điệu dựa trên bài toán gốc

*Bài toán gốc 1 Cho hàm số y  2x2  Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1.

A Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1;1).

B Hàm số đồng biến trên khoảng (0;).

C Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;0).

D Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;).

( Câu 21 mã đề 104 đề thi THPTQG năm 2017)

Ta có thể đánh giá bài toán trên ở mức vận dụng thấp, để nhằm giải quyết những bài toán dạng này thì học sinh chỉ cần nắm vững đạo hàm của hàm hợp, đồng thời nắm vững cách xét dấu ' y là làm được Đặt vấn đề phát triển bài toán tương tự, chúng ta có thể định hướng cho học sinh thay biểu thức trong căn bậc hai bằng những đa thức bậc nhất, bậc hai, bậc ba khác Chẳng hạn thay 2x 2 1,bởi các biểu thức như 2 x 1, 2x1,1 x2,3x 2 2,4 x2, x3  3 ,x2  x3 4 x,

Với biểu thức bậc nhất khi thay vào bài toán gốc ta được lớp bài toán ở mức

độ thông hiểu, ví dụ như bài sau.

Bài 1 Cho hàm số y  2x Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 1.

A Hàm số đồng biến trên đạn 

B Hàm số đồng biến trên khoảng

1( ; )

2

C Hàm số nghịch biến trên khoảng

1( ; )

2

4

D Hàm số nghịch biến trên khoảng 

x

  

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng

1( ; )

2

Với biểu thức bậc hai, bậc ba khi thay vào bài toán gốc ta được lớp bài toán

ở mức độ nhận biết tương đương bài toán gốc.

Bài 2 Cho hàm số y  1 x2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên đạn [0;1].

B Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1).

C Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1).

D Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1;0).

Đáp án C.

Bài 3 Cho hàm số y  x3  3 x2 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng (3;).

B Hàm số đồng biến trên khoảng (2;).

C Hàm số nghịch biến trên khoảng (2;).

D Hàm số nghịch biến trên khoảng (3;).

Đáp án A.

Bài 4 Cho hàm số

1.1

x y x





 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng ( 1;1).

B Hàm số đồng biến trên khoảng (  ; 1).

C Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;).

D Hàm số nghịch biến trên khoảng (  ; 1).

Đáp án B.

Khi kết hợp các biểu thức ở các dạng trên nhưng có chứa tham số , m thay vào bài toán gốc thu được lớp bài toán ở mức vận dụng, khi tổ chức thực hiện thì

có nhiều em đã sáng tạo ra nhiều bài toán hay

Bài 5 Cho hàm số

1

x y

Khim  ta có ' 0, x 1,1, y    nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Khi m  ta có ' 0,1, y     x ( ;m) (1;  hàm số đồng biến trên các khoảng),xác định, nên m  thỏa mãn yêu cầu bài toán1,

Khi m  ta có ' 0,1, y     x ( ;1) (m;  hàm số nghịch biến nên không thỏa),

mãn bài toán Đáp án A.

Bài 6 Cho hàm số y  x2  2mx2m 1. Tập tất cả các giá trị tham số m để

hàm số luôn đồng biến trên khoảng (1; là),

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên các khoảng (  ; 3);( 1;1)

2

 

C (2;4) D

1 3( ; )

1(0; )

1( ; )

2

2 2

b) Xây dựng các bài toán cực trị dựa trên bài toán gốc.

Bài toán gốc Cho hàm số y f x( ),liên tục trên , và có bảng biến thiên củahàm số '( )f x như sau

Đáp án C.

Chúng ta cỏ thể định hướng mẫu cho học sinh phát triển thành các bài toán như sau từ bài toán gốc Tìm số điểm cực trị của hàm số yf(u(x)), lưu ý các biểu thức ( ) u x không cho một cách tùy ý bởi nhiều khi không giải quyết được số nghiệm các phương trình ( ) u x =a

Bài 1 Cho hàm số yf x( ),liên tục trên , và có bảng biến thiên của hàm số'( )

Phương trình (1) với a   vô nghiệm;1

Phương trình (2) với b ( 1;0) có hai nghiệm phân biệt khác 1 ;

Phương trình (3) với c (0;1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 và khác cácnghiệm của phương trình (2) ;

Phương trình (4) với d   có hai nghiệm phân biệt khác 1 và khác các(1; )

nghiệm của phương trình (2) và (3)

Vậy phương trình ' 0y  có 7 nghiệm phân biệt và qua các gia trị nghiệm đó

đổi dấu nên hàm số yf x( 2  2 )x có 7 điểm cực trị

Đáp án C.

Đây là bài toán đòi hỏi người làm được cần có một năng lực toán học tốt, biết

kết hợp, vận dụng nhiều kiến thức liên quan như đạo hàm của hàm hợp, kĩ năngđọc bảng biến thiên, kĩ năng giải và biện luận số nghiệm của phương trình Sau đâytôi xin trình bày lời giải chi tiết

Bài 3 Cho hàm số yf x( ),liên tục trên , và có bảng biến thiên của hàm số'( )

f x như sau :

Số điểm cực trị của hàm số yf( x 1) là :

A 1 B 3 C 2 D 4.

Lời giải

Từ bảng biến thiên ta có phương trình '( ) 0,f x  có các nghiệm là

, ( ; 1), ( 1;0), (0;1), (1; )

Do x   suy ra ta có: Các phương trình (1);(2) vô nghiệm;1 0,

Phương trình (3) với c (0;1) có nghiệm làx c 2  1 (1;2)

Phương trình (4) với d   có nghiệm (1; ) x d 2  1 (1;)

Vậy phương trình ' 0y  có 2 nghiệm lẻ phân biệt và qua các giá trị nghiệm đó

đổi dấu nên hàm số yf( x 1) có 2 điểm cực trị

2

2 2

x      suy ra ta có: Các phương trình (1);(2);(3) vô nghiệm;

Phương trình (4) với d   có nghiệm (1; ) x  d2  1 0

Vậy phương trình ' 0y  có 3 nghiệm lẻ phân biệt nên hàm số y f( x2 1) có 3

c) Xây dựng các bài toán tương giao dựa trên bài toán gốc.

Với các định hướng tương tự như trên, chúng ta có thể đưa ra các bài toán gốc

về tương giao của các đồ thị, hay bài toán tìm số nghiệm của một phương trình đêcác em phát triển bài toán tương tự và các bài toán nâng cao lên ở mức độ khó hơn

*Bài toán gốc Cho hàm số bậc ba: yf x  có đồ thị như hình vẽ dưới đây

y

Số giao điểm của đồ thị hàm số yf x  với đường thẳng y  là 3 nên số2,

nghiệm của phương trình là 3 Đáp án A

Ta cỏ thể định hướng cho học sinh phát triển bằng cách thế x bởi ( ), u x hoặc

là vận dụng phép biến đổi đồ thị, hoặc kết hợp cả hai để tạo ra những bài toán mới

Bài 1 Cho hàm số bậc bay f x  có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt Đáp án B

Bài 2 Cho hàm số bậc ba: yf x  có đồ thị như hình vẽ dưới đây

y

3

14

Các phương trình (2); (3) mỗi phương trình có hai nghiệm trái dấu

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm dương Đáp án D

Bài 3 Cho hàm số bậc ba: y f x  có đồ thị như hình vẽ dưới đây Số nghiệmthực của phương trình:  3  3

Phương trình x3 3x a có 3 nghiệm phân biệt.1

Phương trình x3 3x a có 3 nghiệm phân biệt.2

Hình thức giáo viên giao nhiệm vụ, học sinh nghiên cứu các bài toán với sựhướng dẫn của giáo viên

Tiết 1

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

Nêu mục tiêu và ý tưởng đề tài Quan sát, chú ý lắng nghe

Đưa ra bài toán gốc ( Bài toán gốc 1) và

một số ví dụ bài toán ( Các bài 1, 3, 5)

đã được giáo viên phát triển, cho học

sinh giải bài toán gốc và các bài toán đó

Quan sát, thảo luậnThực hiện nhiệm vụTrình bày báo cáo Nhận xét báo cáo của các bạnCho học sinh phát triển và giải các bài

toán này trên lớp bài toán gốc được đưa

ra

Thực hiện nhiệm vụTrình bày báo cáo Nhận xét báo cáo của các bạnPhân công nhiệm vụ về nhà

16

( Bài toán gốc 2 phần đơn điệu).

Nhóm 2: Phát triển bài toán cực trị

( Bài toán gốc phần cực trị)

Nhóm 3: Phát triển bài toán tương giao

( Bài toán gốc phần tương giao)

Tiết 2-3

Tổ chức cho đại diện các nhóm báo cáo

Cho các thành viên trong mỗi nhóm tự

nhận xét nhóm mình ( Nội dung, mức

độ hợp tác, khối lượng hoàn thành công

việc của các thành viên)

- Số lượng học sinh được khảo sát: 50 em

1 Tôi đã học được kiến thức gì? Hiểu biết về nội dung kiến thức có liên quan tới dự án: 50 em

Tìm kiếm, chọn lọc dữ liệu, xử lí thông tin: 20 em

Tôi đã xây dựng được thái độ nào tích cực?

3 Vui vẻ hoà đồng, hăng say tích cực làm việc: 30 em

Chia sẻ ý kiến và thảo luận: 30 em

Có trách nhiệm: 36 em

Tôi có hài lòng với các kết quả nghiên cứu của dự án không? Vì sao?

4 Hài lòng, vì nhóm đã làm việc và cố gắng hết mình: 25 em

Hài lòng, vì cả nhóm đoàn kết làm việc: 30 em

Hài lòng, do kết quả sản phẩm dự án tốt, tăng vốn kiến thức: 9 em

Tương đối hài lòng, vì vẫn còn một số sai sót không như ý: 25 em

Nhìn chung, tôi thích/ không thích dự án này vì…

Thích, vì hay và thiết thực, gắn liền với thực tiễn: 20 em

Thích, vì phát hiện được khả năng của mình/thể hiện khả năng: 6 em

Thích, vì có cơ hội học thêm kiến thức và những kĩ năng làm việc nhóm: 10 em Thích, vì được trải nghiệm cảm giác làm việc thực sự: 20 em

Thích, vì cá nhân yêu thích môn học: 20 em

Thích, vì luyện khả năng tự tìm hiểu, sáng tạo: 6 em

Thích, vì tìm hiểu thêm về kiến thức toán học: 12 em

Thích, là cách học mới rất thú vị và mới mẻ: 25 em

Thích, đem lại nhiều lợi ích: 10 em

Mức độ hứng thú của tôi với phương pháp dạy học theo dự án (5 cấp độ):

(1: Rất không thích; 2: Không thích; 3 Bình thường; 4: Thích; 5: Rất thích)

2.4.2 Khả năng ứng dụng, triển khai sáng kiến kinh nghiệm

+ Học sinh phát huy cao tính chủ động, sáng tạo, cũng như giao tiếp và hợptác trong việc giải quyết các vấn đề liên quan

+ Học sinh đã chủ động thu thập tài liệu, tích lũy kiến thức và phối hợp vớinhau trong hoạt động nhóm để tạo ra các sản phẩm, do đó kiến thức sẽ được ghinhớ tốt, đồng thời phát triển kỹ năng tìm kiếm tài liệu và khai thác tốt hơn cácnguồn thông tin

Vì vậy, tôi khẳng định đề tài này có khả năng ứng dụng, triển khai trong thực

tế dạy học Không những với chủ đề hàm số mà có thể áp dụng cho rất nhiều chủ

kỳ thi nhất là kỳ thi THPTQG

3.2 Kiến nghị

Trong quá trình dạy học thói quen biết phân tích, tổng hợp, khái quát hóa,đặc biệt hóa để đào sâu nghiên cứu các góc cạnh trong toán học kiểu như trên làmột điều rất cần thiết cho phát triển tư duy và kích thích tính tích cực khám phá

của các em học sinh.Việc sử dụng hệ thống bài toán trên đã cho ta cách giải các bàitập liên quan một cách khá đơn giản nếu tiếp tục sáng tạo và khai thác sâu hơnchắc chắn ta sẽ tìm được nhiều vấn đề thú vị mà tôi chưa làm được trong đề tàiphạm vi này Tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu, bổ sung kiến thức về đề tài và rất mongđược đón nhận những góp ý bổ ích của Quí vị Giám khảo và bạn bè đồng nghiệp

để đề tài phong phú chất lượng và hữu ích hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn !

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 02 tháng 5 năm 2021

Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinhnghiệm của tôi, không sao chép nội dungcủa người khác

Người viết sáng kiến

Gv: Trịnh Hữu Đại

Tài liệu tham khảo

20

[1] Các bài thi THPTQG Việt nam

[2] Bộ đề thi thử môn Toán THPTQG

DANH MỤC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINHNGHIỆM CẤP NGÀNH GIÁO DỤC TỈNH XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá

xếp loại (Cấp Tỉnh)

Kết quả đánh giá xếp loại

Năm học

1 S d ng tính đ n đi uử dụng tính đơn điệu ụng tính đơn điệu ơn điệu ệu

c a hàm s trong gi iủa hàm số trong giải ố trong giải ải

PT, BPT, HPT, HBPT

Ngành giáo dục cấp tỉnh

B 2015

3 Phát triển tư duy sáng tạo

cho học sinh thông qua

việc khai thác một bài

toán hình học

Ngành giáo dục cấp tỉnh

B 2018

22