LÝ THUYẾT SỐ PHỨC TOÁN 12

Khi đó, ta sử dụng điểm M a b ; để biểu diễn số phức ztrên mặt phẳng tọa độ.. Các phép toán về số phức.. Sử dụng định nghĩa cùng tính chất của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia trên t

SỐ PHỨC

Vấn đề 1: DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC

I Số phức và thuộc tính của nó

Với số phức z a bi , các dạng câu hỏi thường đặt ra :

1 Xác định phần thực và phần ảo của số phức z Khi đó ta có :

 Phần thực bằng a

 Phần ảo bằng b

2 Hãy biểu diễn hình học của số phức z

Khi đó, ta sử dụng điểm M a b( ; ) để biểu diễn số phức ztrên mặt phẳng tọa độ

3 Tính môđun của số phức z ; khi đó ta có z  a2b2

4 Tìm số đố của số phức z ; khi đó ta có    z a bi

5 Tìm số phức liên hợp của số phức z ; khi đó ta có z a bi 

6 Tìm số phức nghịch đảo của số phức z ; khi đó ta có z 1 12.z a bi2 2

z



II Các phép toán về số phức

Sử dụng định nghĩa cùng tính chất của các phép toán (cộng, trừ, nhân, chia) trên tập số phức Cần nhớ các hằng đẳng thức sau :

1 2 2 2 2

( ) ( )( )

a b a  bi  a bi a bi  z z

2 (a bi )2 a2 b2 2abi

3 (a bi )2 a2 b2 2abi

4 (a bi )3a33a bi2 3 ( )a bi 2( )bi 3 a33ab2(3a b b i2  3)

5 (a bi )3a33a bi2 3 ( )a bi 2( )bi 3a33ab2(3a b b i2  3)

6 i4k 1;i4k1i i; 4k2 1;i4k3  i

III Tập hợp điểm

1 Phương pháp trổng quát

Giả sử số phức z x yiđược biểu diễn bởi M x y( ; ) tìm tập hợp điểm M là tìm hệ thức giữa

;

x y thỏa mãn yêu cầu của đề bài

2 Giả sử các điểm M A B, , lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z a b; ;

Nếu z   a z b MAMBMthuộc đường trung trực của đoạn AB

Nếu z a   z b k k(  ,k0,k  a b)MA MB  k M( )E nhận A ,B là hai

tiêu điểm và độ dài trục lớn bằng k

3 Giả sử M và M' lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z và w f z( )

Đặt z x yi  và w u vi ( , , ,x y u v )

Hệ thức w f z( ) tương đương với hai hệ thức liên hệ giữa x y u v, , ,

 Nếu biết một hệ thức giữa x y, ta tìm được một hệ thức giữa u v, và suy ra được tập hợp điểm M'

 Nếu biết một hệ thức giữa u v, ta tìm được một hệ thức giữa x y, và suy ra được tập hợp điểm M'

4 Nhắc lại một số kiến thức về hình học giải tích

 Phương trình đường thẳng :

Dạng tổng quát :ax by  c 0

Dạng đại số : ya x b 

Dạng tham số : 0

0



  

Dạng chính tắc : x x0 y y0

  

Phương trình đoạn chắn : x y 1

a b Phương trình đường thẳng đi qua M x y biết hệ số góc ( ;0 0) k : yk x( x0)y0

 Phương trình đường tròn tâm I a b( ; ) bán kính R : (x a )2(y b )2 R2

 Phương trình Elip :

a b  Với 2 tiêu cự F1(c;0);F c2( ;0),F F1 22c

Trục lớn 2a , trục nhỏ 2b và a2 b2c2

Vấn đề 2: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH

I Căn bậc hai của số phức

Tìm căn bậc hai của số phức w

Trường hợp 1: Nếu w là số thực (tức w a )

 Với a0 thì w có hai căn bậc hai là  a

 Với a0 thì w có hai căn bậc hai là  i a

Trường hợp 2: Nếu w a bi a b( ,  ;b0) thì z x yi x y( ,  ) là căn bậc hai của w khi

và chỉ khi :

2

xy b



II Phương trình

1 Phương trình bậc nhất

Để giải phương trình bậc nhất trên tập hợp số phức , ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau :

Cách 1: Sử dụng ccacs phép biến đổi đại số và các phép toán về số phức

Cách 2: Thực hiện theo các bước sau :

Bước 1: Giả sử số phức cần tìm là z a bi a b( ,  )

Bước 2: Thay z vào phương trình và sử dụng tính chất hai số phức bằng nhau của hai số phức

để tìm a và b

Bước 3 : Kết luận về số phức cần tìm

2 Phương trình bậc hai

Sử dụng máy tính

III Dạng lượng giác của số phức

1 Viết dạng lượng giác của số phức

Để tìm dạng lượng giác r(cosisin ) của số phức z a bi , ta thwucj hiện các bước sau :

Bước 1: Tìm r là mô đun của z , r a2b2 , r là khoảng cách từ gốc O đến điểm M biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức

Bước 2: Tìm  là acgument của z ,  là só thực sao cho cos a;sin b

   ; cũng là góc

lượng giác tạo bởi tia đầu Ox và tia cuối OM

r r

2 Công thức Moivre

 Công thức Moivre : Với mọi số nguyên dương n , ta có :

cos sin  n ncos sin 

 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác :

Số phức có căn bậc hai là : cos sin

r  i  r   i  

Vấn đề 3: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VẬN DỤNG CAO

I Phương pháp đại số , lượng giác trong bài toán min-max

1 Bất đẳng thưc tam giác

 z1z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra khi z1kz k2; 0

 z1z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra khi z1kz k2; 0

 z1z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra khi z1kz k2; 0

 z1z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra khi z1kz k2; 0

2 Bất đẳng thức AM-GM

Với a a1; 2; ;a n không âm ta có 1 2 n 1 2 ,

a   a a n a a a n là số tự nhiên lớn hơn 1 Dấu bằng xảy ra khi a1a2   a n

3 Bất đẳng thức Bunhia-Copski

(a a   a n ) b b   b n  a b a b   a b n n

Dấu bằng xảy ra khi 1 2

n n