Lý thuyết đầy đủ Toán 10

Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai... Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai... Một số phương trình dùng ẩn phụ để đưa về phương trình bậc hai.. Chú ý : Số nghiệm củ

PHẦN I: ĐẠI SỐ CHƯƠNG 1: MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP

I Mệnh đề

 Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai Một mệnh đề không thể vùa đúng vừa sai

 Mệnh đề phủ định của mệnh đề P kí hiệu là P

 Mệnh đề “ Nếu P thì Q” Kí hiệu “ PQ”, được gọi là mệnh đề kéo theo

 Mệnh đề “Pkhi và chỉ khi Q” Kí hiệu “PQ”, được gọi là mệnh đề tương đương

 Phủ định của mệnh đề “ x X P x, ( )” là mệnh đề “ x X P x, ( )” Ngược lại tương tự

II Tập hợp

 Phép giao: A B { |x xA và xB}.

 Phép hợp : A B { |x xA hoặc xB}.

 Hiệu của 2 tập hợp : A B\ { |x xA và xB}.

 Phép lấy bù: Nếu AE thì C A E E A\ { |x xE và xA}.

CHƯƠNG 2: HÀM SỐ

I Hàm số

0 ( )0

Hàm số đồng biến trên K :

1; 2 : 1 2 ( )1 ( )2

Hàm số nghịch biến trên K :

1; 2 : 1 2 ( )1 ( )2

x

y

x

y

Hàm số f không đổi trên K : ym

( )

y f x là hàm số chẵn:

:

    và f( x) f x( )

( )

y f x là hàm số lẻ:

:

    và f(  x) f x( )

II Hàm số bậc nhất

 Hàm số cho bởi biểu thức ya x b a  ( 0) Tập xác định là : D

 Bảng biến thiên :

 Đồ thị hàm số ya x b  (a0) là đường thẳng có hệ số góc bằng a , cắt Ox tại đểm

;0

b

a

 

  và cắt Oy tại điểm  0;b

 Nếu    d1 ; d2 là 2 đường thẳng phân biệt có hệ số góca a1; 2 thì :

x   x  

ya x b

(a0)





ya x b (a0)





1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2













1

d cắt d2  a1 a2

d d a a  

III Hàm số bậc hai

 Hàm số cho bởi biểu thức yax2bx c a ( 0) Tập xác định là : D

 Bảng biến thiên:

x



2

b a

  x



2

b a

 

2

yax bx c

(a0)

 

4a





2

yax bx c

(a0)

4a





 

 Đồ thị của hàm số 2

( 0)

yax bx c a  là parabol có đỉnh là điểm ;

2 4

b



đối xứng là

2

b x a

  ; hướng bề lõm lên trên khi a0 và xuống dưới khi a0

IV Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Cho hàm số y f x( ) xác định trên miền D

( )

y f x

Phần 1: Đồ thị hàm số y f x( ) phía trên trục Ox

Phần 2: Lấy đối xứng phần dưới trục Ox của đths

( )

y f x

qua trục Ox

 

y f x

Phần 1: Đths y f x( )

bê phải trục Oy

Phần 2: Lấy đối xứng của phần 1 qua trục Oy

CHƯƠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH

I Phương trình bậc nhất ax b 0

Xét phương trình bậc nhất ax b 0

0

a

Pt có nghiệm duy nhất x b

a

 

0

a b0 Pt vô số nghiệm

0

b Pt vô nghiệm

II Phương trình bậc hai 2

0

ax bx c 

1 Cách giải

2 4

0

 

Pt có hai nghiệm phân biệt 1,2

2

b x

a

  

0

 

Pt có nghiệm kép : 1;2

2

b x

a

0

2 Định lý Vi-ét

 Thuận : Khi phương trình 2

0

ax bx c  có 2 nghiệm x x1; 2 thì ta có

b S a c P a

  





 



 Đảo : Nếu x y; là hai số thỏa

P x y

 



 

 thì x y; là nghiệm của phương trình:

2

0

X SX P

3 Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

Cho phương trình 2

0

ax bx c  (1) (a0) Đặt S b;P c

  

 Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu  P 0

 Phương trình (1) có 2 nghiệm cùng dấu 0

0

P

 



 Phương trình (1) có 2 nghiệm âm

0 0 0

P S

 





 



 Phương trình (1) có 2 nghiệm dương

0 0 0

P S

 





 



 Phương trình (1) có đúng 1 nghiệm dương

1 2

0; 0 0; 0

0

0; 0 2

b

a













  



 Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm dương

1 2

0; 0 0; 0

0; 0; 0 0



 Phương trình (1) có đúng 1 nghiệm âm

1 2

0; 0 0; 0

0

0; 0 2

b

a













  



 Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm âm

1 2

0; 0 0; 0

0; 0; 0 0



III Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

Dạng 1: A B A B





Dạng 2:

0

B











Dạng 3: A B B 02





  



Dạng 4: A B A 0





Dạng 5 : aXb X  c 0

Đặt X t t( 0)

Phương trình trở thành : 2

0

at   bt c

Dạng 6: m n

A B k với aA bB c (c hằng số )

Đặt

m

n

 







 ( Đk: u v; 0 nếu m n; chẵn)

Đưa phương trình về hệ phương trình : u m v k n

 





Dạng 7: A B A B C

Đặt t A B t; 0

2

2

2

2 2

2

AB

   

   

 

Khi đó ta có phương trình:

2

0 2

Dạng 8: 3 A3 B  3C

2

 

3

3

3

3

3

Dạng 9 : f x( ) g x( ) h x( ) k x( ) với ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

f x h x g x k x



 Biến đổi về dạng : f x( ) h x( ) k x( ) g x( )

 Bình phương và giải phương trình hệ quả

IV Một số phương trình dùng ẩn phụ để đưa về phương trình bậc hai

Dạng 1: Phương trình trùng phương 4 2

0

ax bx  c (1) Đặt 2

( 0)

x t t

Khi đó phương trình trở thành : 2

0

at   bt c (2)

Chú ý : Số nghiệm của phương trình trùng phương

(1) Vô nghiệm (2) Vô nghiệm

(2) có nghiệm kép âm

(2) có 2 nghiệm âm

(1) có 1 nghiệm (2) có nghiệm kép bằng 0

(2) có 1 nghiệm bằng 0, một nghiệm âm (1) có 2 nghiệm (2) có nghiệm kép dương

(2) có 1 nghiệm âm , 1 nghiệm dương

(1) có 3 nghiệm (2) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương (1) có 4 nghiệm (2) có 2 nghiệm phân biệt dương

Phương trình chứa căn

Sử dụng cách giải pt cơ bản

Đặt ẩn phụ

Nhân lượng liên hợp

Thêm bớt để nhân lượng liên hợp

Dạng 2: (x a x b x c x d )(  )(  )(  )m (với a b  c d )

Đặt t(x a t )( b) ta sẽ được phương trình bậc hai với ẩn t

Giả phương trình đó ta được ẩn t từ đó duy ra x

Dạng 3 : 4 4

(x a )  (x b) m (1)

 Nếu m0 thì phương trình vô nghiệm

 Nếu m0 thì :

 ab thì (1) vô nghiệm

 ab thì (1) có nghiệm bội x1x2x3x4  a

 Nếu m0

Đặt

2

a b

t x 

sẽ đưa (1) về phương trình trùng phương theo t

Dạng 4: ax4bx3cx2dx a 0(a0) (4)

Vì x0 không là nghiệm của (4) nên ta chia cả 2 vế cho 2

x ta được :

2

2

0

      

         

Ta đưa về phương trình bậc hai theo ẩn t

Dạng 5:      2

(5)( )

x a x b x c x d ex ad bc

      2

(5) x a x d    x b x c ex

Xét x0

Xét x0 , chia cả 2 vế cho x2 , ta được:

Đặt t x ad

x

  được phương trình theo t Tính t suy ra x

V Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

1 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

( 0; ' ' 0) ' ' '

a x b y c



' ' ' '

' ' ' '

' ' ' '

x

y

 D0 : Hpt có nghiệm duy nhất ( ; )x y , trong đó D x; D y

 D0,D x 0 hoặc D y0 thì hpt vô nghiệm

 DD x D y0 hpt có vô số nghiêm ( ; )x y tính theo công thức :

by c x

a y

 

 





 



nếu a0 hoặc

x

ax c y

b







 

 nếu b0

2 Hệ phương trình bậc hai hai ẩn

Dạng 1: Hệ đối xứng loại I ( ; ) 0

( ; ) 0

f x y

g x y





 với f x y( ; ) f y x g x y( ; ), ( ; )g y x( ; )

Dấu hiệu nhận biết : Khi ta đổi chỗ x và y thì f x y( ; ) và g x y( ; ) không thay đổi

Phương pháp giải :

 Đặt S x y và Px y

 Đưa hpt ban đầu về hệ với ẩn S và P

 Giải hệ đó ta tìm được S và P

 Tìm nghiệm ( ; )x y bằng cách giải phương trình X2SX P 0

Dạng 2: Hệ đối xứng loại II ( ; ) 0(1)

( ; ) 0(2)

f x y

f y x





Dấu hiệu nhận biết : Khi hoán vị x và y thì phương trình (1) trở thành phương trình (2) và ngược lại

Phương pháp giải :

 Trừ vế với vế của (1) cho (2) ta được hệ ( ; ) ( ; ) 0(3)

( ; ) 0(1)

f x y f y x

f x y



 Biến đổi phường trình (3) về phương trình tích : ( ) ( ; ) 0

( ; ) 0

x y g x y

g x y





 Lúc đó hpt ban đầu tương đương :

( ; ) 0

( ; ) 0 ( ; ) 0

f x y

f x y

g x y











 Gải hệ trên ta được nghiệm

Dạng 3: Hệ đẳng cấp :

a x b xy c y d

a x b xy c y d





 Giải hệ khi x0

 Khi x0 ta đặt yxt Thế vào hệ đã cho ta được hệ mới với ẩn là x và t Khử x , ta tìm

được phương trình bậc hai theo t Tìm được t từ đó suy ra x y;

CHUƠNG 4: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

I Nhị thức bậc nhất

a Dạng a x b 

b Bảng xét dấu

x

 b

a

 

a x b Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a

II Tam thức bậc ba

a Dạng a x 2b x c 

b Bảng xét dấu

TH1:  0 : Tam thức bậc hai có 2 nghiệm phân biệt x x 1; 2

x  x 1 x 2  2

a x b x c Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a

TH2:  0 : Tam thức bậc hai có nghiệm kép x 0

x  x 0  2

a x b x c Cùng dấu với a 0 Cùng dấu với a

TH3:  0 : Tam thức bậc hai vô nghiệm

x   2

a x b x c Cùng dấu với a

Các bước giải bất phương trình:

Bước 1: Chuyển hết sang vế trái, vế phải bằng 0

Bước 2: Quy đồng rút gọn vế trái thành tích ( thương) của các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai

Bước 3: Lập bảng xét dấu về trái rồi kết luận

III Bất phương trình chứa trị và chứa căn

1

2

0

0

0

B

A

B

















2

2

0

0

B

A



 



 



3

0

B









1









2

0

B







 





3



CHƯƠNG 6: GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

I Sơ lược về góc lượng giác

1 Đơn vị đo góc

a Độ

b Radian(rad)

c Công thức liên hệ giữa độ và radian

0

180 (rad)

0

0

180

 

  (rad)

Khi số đo góc không ghi đơn vị thì đơn vị là rad

Bảng đổi một số góc thường gặp:

Độ 0

0 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600 Rad 0

6



4



3



2

3

4

6

2 Góc và cung lượng giác

a Đường tròn lượng giác

 Tâm là gốc tạo độ

 Bán kính bằng 1 đơn vị

 Chiều dương ngược chiều kim đồng hồ

b Cách xác định điểm cuối của 1 góc/ cung lượng giác trên đường tròn lượng giác

Bước 1: Biến đổi số đo về dạng:

0

0 k.360

   hay   0k2

Bước 2: Xác định điểm cuối của góc/ cung lượng giác theo 0

3 Các hàm số lượng giác:

sin

tan

cos







 , cot cos

sin









4 Lưu ý:

Nhất cả ; nhì sin; tam tan;cot ,tứ cos

II Công thức lượng giác cơ bản

1 Hệ thức cơ bản

sinx cosx 1

sin

tan

cos

x

x

x



cos

cot

sin

x

x

x



tan cotx x1 2

2

1

cos

x

x

 

2

2

1 cot 1

sin

x

x

2 Công thức nhân đôi

sin 2x2.sin cosxx

cos 2 xcosx sinx 2cosx   1 1 2sinx

2

2 tan sin 2

tan 2

1 tan cos 2 x

x

x

3 Công thức nhân ba

2 sin 3x3sinx4sinx

3

cos3x4cosx 3cosx

4 Công thức hạ bậc, nâng cung

2 1 cos 2 x

cos

2

2 1 cos 2

sin

2

x

x 

5 Công thức cộng

sin(a b ) sin cosa bsin cosab

cos(a b) cosa.cosb sina.sinb

tan tan

tan( )

1 tan tan

a b



6.Công thức biến đổi tổng  tích

a Tổng thành tích

cosa cosb 2cos cos

a b a b

cosa cosb 2sin sin

a b a b

sina sinb 2sin sin

a b a b

sina sinb 2cos sin

a b a b

b Tích thành tổng

1

cosa cosb [ cos(a ) cos(a b)]

1

sina sinb [ cos(a b) cos(a b)]

2

1

sina cosb [sin( ) sin( )]

PHẦN II: HÌNH HỌC CHƯƠNG 1: VECTO

I Vecto, tổng và hiệu của hai vecto

1 Các định nghĩa: Vecto, hai vecto cùng phương, 2 vecto cùng hướng, vecto- không , độ dài veto ,

hai veto bằng nhau

2 Tổng của hai vecto

;

 Quy tắc 3 điểm : ABBCAC

 Quy tắc hình bình hành: Cho ABCD là hình bình hành thì ABADAC

Tính chất :

 Giao hoán : a b  b a

 Kết hợp :  a b    c a  b c

 Cộng với vecto đối : a   a 0

 Cộng với vecto không : a   0 0 a a

3 Hiệu của 2 vecto

ABACCB

II Tích của một số đối với một vecto

1 Định nghĩa : Tích k a là một vecto :

 Cùng hướng với a nếu k 0

 Ngược hướng với a nếu k0.

2 Tính chất

( 1)

3 Điều kiện để 2 vecto cùng phương

Điều kiện cần và đủ để hai vecto a b; (b0) cùng phương là tồn tại một số k để akb

III Những điểm đặc biệt

1 Trung điểm của đoạn thẳng:

Cho I là trung điểm của AB ta có : 0

2

IA IB





2 Trọng tâm của tam giác

Cho G là trọng tâm của ABC ta có : 0

3

GA GB GC





A

3 Chân đường phân giác trong của tam giác

Cho D là chân đường phân giác trong của góc A :

DB c

b

DC  

IV Tọa độ

1 Tọa độ của vecto

Trong hệ trục tọa độ cho aa i1 a j2 (i 1;0 ;j 0;1 ) Khi đó a a1; 2 được gọi là tọa độ của vecto a Kí hiệu aa a1; 2

2 Định lý

Cho hai vecto aa a1; 2;bb b1; 2 và số thực k Khi đó:

2 2





 a b a1b a1; 2b2 và a b a1b a1; 2b2

 kaka ka1; 2

/ a kb a b

k





3 Công thức tính tọa độ vecto

Cho A x y( A; A); (B x y B; B) ta có ABx Bx y A; By A

4 Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng

Cho I là trung điểm của AB khi đó 2

2

A B I

A B I

x

y



 



 



5 Tọa độ trọng tâm của tam giác

Cho G là trọng tâm của ABC khi đó 3

3

G

G

x

y





CHƯƠNG 2: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA 2 VECTO VÀ ỨNG DỤNG

I Tích vô hướng của 2 vecto

1 Định nghĩa: a b  a b .cos a b;

Đặc biệt :

2 2

a aa  a

AB  AB 0.aa.0 0, a

 a b; 0 a b; cùng hướng : a b  a b

 a b; 180 a b; ngược hướng : a b  a b

2 Tính chất : a b c; ; bất kì và  k , ta có:

 

  

 

2 2

2

a b b a

k a b k a b a kb



 

 

 

 

2

a b c a b a c

  

II Biểu thức tọa độ của tích vô hường

Nếu u x y v; ; x y'; ' thì ta có u v x x 'y y '

III Độ dài vecto

2 2

u  x y

IV Góc giữa 2 vecto

' ' cos ;

' '

x x y y

u v





V Trong tam giác

Cho ABC Khi đó ta có :

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

I Đường thẳng

1 Vecto pháp tuyến của đường thẳng là vecto có giá vuông góc với đường thẳng đó

Vecto chỉ phương của đường thẳng là vecto có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đó

2 Phương trình tổng quát của đường thẳng

a Đường thẳng (d) đi qua M x y và có vtpt ( ;0 0) n( ; )a b có phương trình tổng quát là :

a xx b yy 

b Đường thẳng (d) : x B.y C 0A    có vecto pháp tuyến là n( ; )A B

3 Phương trình chính tắc và phương trình tham số của đường thẳng

Đường thẳng (d) qua M x y và có vtcp là( ;0 0) u( ; )a b có

 Phương trình chính tắc : x x0 y y0

  

 Phương trình tham số : 0

0



  



Lưu ý :

 (d) có vtpt là n( ; )a b thì đường thẳng đó có vtcp là u ( b a; )

 Phương trình (d) qua M x y có hệ số góc là k thì có phương trình là : ( ;0 0)

0 ( 0)

yy k xx

3 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho ( ) : d1 a x b y c1  1  1 0 và (d2) :a x b y c2  2  2 0

 ( )d1 cắt (d2) 1 1

2 2

 

( ) (d d ) a b c

( )d (d ) a b c

4 Góc giữa hai đường thẳng

Cho ( ) : d1 a x b y c1  1  1 0 và (d2) :a x b y c2  2  2 0

Gọi  là góc giữa ( )d1 và (d2) 1 2 1 2

cos

a a b b

5 Khoảng cách từ một điểm đến 1 đường thẳng

Cho ( ) : a.x b.y c   0 và M x y ( ;0 0)

2 2

[ ;( )] a x b y c

d M

 

II Đường tròn

 Phương trình tổng quát của đường tròn ( C ) tâm I(a;b) và bán kính R>0 là :

( ) : (C x a ) (y b ) R hay x2y22ax2by c 0 trong đó R a2 b2 c

 Tiếp tuyến tại A( )C tâm I là đường thẳng qua A có vecto pháp tuyến là AI

 Tiếp tuyến của ( ) C tâm I bán kính R kẻ từ B ( ) C là đường thẳng qua B và cách I một khoảng bằng R

 d I Ox( , ) | y0|

 d I Oy( , ) | x0|

III Đường elip

 Elip (E) là đường cong khéo kín dạng bầu dục có phương trình tổng quát là :

(E) :x y 1;a b 0

 Trục lớn của elip trên trục hoành có độ dài là 2a và trục nhỏ của elip trên trục tungcos dộ dài là 2b (vì quy ước là a>b>0)

 Hai tiêu điểm của elip là F c1( ;0) và F2  ( c;0) với c a2b2

 Tiêu cự của elip là khoảng cách giữa 2 tiêu điểm và bằng 2 2

2c2 a b

 Tâm sai của elip là tỉ số e c

a

 Với M( )E thì bán kính qua tiêu là MF1 a e x M , MF2  a e x M