Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau thì: • Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi bằng hệ số tỉ lệ.. Khái niệm: Nếu đại lượng phụ thuộc vào đại lượng thay đổi sao cho v
Trang 1LÝ THUYẾT TOÁN 7
ĐẠI SỐ Chương I - SỐ HỮU TỈ SỐ THỰC
I. Tập hợp
¤
các số hữu tỉ
1. Số hữu tỉ: Là số được viết dưới dạng phân số với
Tập hợp số hữu tỉ được kí hiệu là
2. Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số
3. So sánh hai số hữu tỉ
Phương pháp:
Bước 1: Viết chúng dưới dạng phân số có cùng mẫu số dương
Bước 2: So sánh hai tử số
Bước 3: Kết luận
II. Cộng, trừ số hữu tỉ.
1. Cộng, trừ hai số hữu tỉ.
• Phương pháp:
Bước 1: Viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương
Bước 2: Giữ nguyên mẫu số, cộng trừ tử số
• Tính chất phép cộng số hữu tỉ: giao hoán, kết hợp, cộng với số 0
Với ta có:
• Mỗi số hữu tỉ đều có một số đối : số đối của là
2. Quy tắc chuyển vế
Khi chuyển một số hạng tử từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó
Biếu diễn bằng ngôn ngữ toán học: Với mọi
Trang 2III. Nhân, chia số hữu tỉ.
1. Nhân hai số hữu tỉ.
Với ta có:
2. Chia hai số hữu tỉ.
Với ta có:
Chú ý: Thương của phép chia số hữu tỉ cho số hữu tỉ gọi là tỉ số của hai số và , kí hiệu
là hay
IV. Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ Cộng, trừ, nhân, chia số thập phân.
1. Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ.
Nhận xét: Với mọi ta luôn có :.
2. Cộng, trừ, nhân, chia số thập phân.
Phương pháp:
Bước 1: Viết chúng dưới dạng phân số thập phân
Bước 2: Thực hiện cộng, trừ, nhân, chia các phép tính đã biết về phân số
V. Lũy thừa của một số hữu tỉ.
1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên.
Lũy thừa bậc của một số hữu tỉ , kí hiệu , là tích của thừa số ( là một số tự nhiên lớn hơn 1)
Biểu diễn:
gọi là cơ số, gọi là số mũ
Quy ước: với
Lũy thừa của một số hữu tỉ với số mũ tự nhiên: Với thì
2. Tích và thương của hai lũy thừa có cũng cơ số.
Quy tắc:
• Khi nhân hai lũy thừa có cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ Biểu diễn ngôn ngữ toán học:
• Khi chia hai lũy thừa có cùng cơ số, ta giữ nguyên có số và lấy số mũ của lũy thừa
bị chia trừ đi số mũ của lũy thừa chia
Trang 3Biểu diễn ngôn ngữ toán học: : hay
3. Lũy thừa của lũy thừa.
Quy tắc: Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ Biểu diễn ngôn ngữ toán học :
4. Lũy thừa của một tích.
Quy tắc: Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa
Biểu diễn ngôn ngữ toán học:
5. Lũy thừa của một thương.
Quy tắc: Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa
Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa
Biểu diễn ngôn ngữ toán học:
VI. Tỉ lệ thức.
1. Định nghĩa.
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số
Tỉ lệ thức còn được viết là
2. Tính chất.
Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức: Nếu thì (Tích chéo bằng nhau).
Tính chất 2: Nếu thì ta có các tỉ lệ thức sau:
VII. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
VIII. Số vô tỉ Khái niệm về căn bậc hai.
1. Số vô tỉ.
Số vô tỉ là số được viết dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn
Tập hợp số vô tỉ được kí hiệu là
2. Khái niệm về căn bậc hai.
KN: Căn bậc hai của một số không âm là số sao cho
Trang 4Số dương có đúng hai căn bậc hai là và
Số chỉ có một căn bậc hai là
IX. Số thực.
1. Số thực.
Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực Tập hợp các số thực được kí hiệu là
TỔNG KẾT
Số tự nhiên
{0;1;2;3; }
=
¥
Số tự nhiên khác 0
* ={1; 2;3; 4;5 }
¥
Số nguyên
{ ; 3; 2; 1;0;1; 2;3 }
= − − −
¢
Số nguyên dương
{1; 2;3; 4;5 }
+ =
¢
Số nguyên âm
{ ;-4;-3;-2;-1}
− =
¢
Tập hợp số thực
Chương II- HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
I. Đại lượng tỉ lệ thuân.
1. Định nghĩa.
Nếu đại lượng liên hệ với đại lượng theo công thức với là hằng số khác 0) thì ta nói tỉ
lệ thuận với theo hệ số
Chú ý: Nếu tỉ lệ thuận với theo hệ số thì tỉ lệ thuận với theo hệ số
2. Tính chất.
Nếu hai đại lượng tỉ lệ thuân với nhau thì:
• Tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi
• Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia
II. Đại lượng tỉ lệ nghịch
1. Định nghĩa.
Trang 5Nếu đại lượng liên hệ với đại lượng theo công thức hay ( với là hằng số khác 0) thì
ta nói tỉ lệ nghịc với theo hệ số tỉ lệ
2. Tính chất.
Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau thì:
• Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi ( bằng hệ số tỉ lệ)
• Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia
Lưu ý: tỉ lệ thuận với
⇒ = =
tỉ lệ nghịch với
x a y b z c
⇒ = =
III. Hàm số.
Khái niệm: Nếu đại lượng phụ thuộc vào đại lượng thay đổi sao cho với mỗi giá trị của
ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của thì được gọi là hàm số của và được
gọi là biến số.
IV. Đồ thị của hàm số
1. Khái niệm.
Đồ thị của hàm số là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng trên mặt phẳng tạo độ
2. Đồ thị của hàm số
Đồ thị của hàm số là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ
Chương III - Thống kê.
I. Thu thập số liệu thống kế, tần số.
• Tần số của một giá trị là số lần xuất hiện của giá trị đó trong dãy giá trị của dấu hiệu
• Mốt của dấu hiệu là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng tần số, kí hiệu là
• Cách tính số trung bình cộng của dấu hiệu:
Cách 1: Tính theo công thức:
Cách 2: Tính theo bảng tần số dạng dọc
Bước 1: Lập bảng tần số dạng dọc ( 4 cột)
Trang 6Bước 2: Tính các tích
Bước 3: Tính tổng các tích
Bước 4: Tính số trung bình cộng bằng cách lấy tổng các tích chi cho tổng tần số()
• Các loại biểu đồ: Biểu đồ đoạn thẳng, biểu đồ hình chữ nhật, biểu đồ hình quạt
Chương IV - Biểu thức đại số.
I. Khái niệm biểu thức đại số.
Những biểu thức mà trong đó ngoài các số, các kí hiệu phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa còn có các chữ ( đại diện các số) được gọi là biểu thức đại số
II. Giá trị của một biểu thức đại số.
Phương pháp:
Bước 1: Thay các giá trị cho trước tương ứng vào biểu thức
Bước 2: Thực hiện phép tính
III. Đơn thức.
1. Đơn thức.
Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến
2. Đơn thức thu gọn.
Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm một tích của một số với các biến, mà mỗi biến được nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương
Số nói trên được gọi là hệ số, phần còn lại là phần biến
Các bước thu gọn đơn thức:
Bước 1: Xác định dấu duy nhất thay thế cho các dấu có trong đơn thức
Bước 2: Nhóm các số hay hằng số và nhân chúng với nhau
Bước 3: Nhóm các biến giống nhau, xếp chúng theo thứ tự chữ cái và nhân chúng với nhau
3. Bậc của đơn thức thu gọn.
Trang 7Bậc của đơn thức có hệ số khác không là tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức
Số thực khác 0 là đơn thức bậc không
Nếu viết thì biến có bậc là một
4. Nhân hai đơn thức.
Để nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau và nhân các biến với nhau
IV. Đơn thức đồng dạng.
1. Đơn thức đồng dạng.
Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến
2. Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng.
Để cộng ( hay trừ) các đơn thức đồng dạng, ta cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến
V. Đa thức.
1. Đa thức.
Đa thức là một tổng của những đơn thức Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của
đa thức đó
Chú ý: Mỗi đơn thức được coi là một đa thức
2. Thu gọn đa thức.
Bước 1: Nhóm các hạng tử là đơn thức đồng dạng với nhau ( lấy cả dấu của đơn thức) Bước 2: Thực hiện phép cộng( trừ) các đơn thức đồng dạng
3. Bậc của đa thức.
Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó
Cách xác định bậc của đa thức:
Bước 1: Thu gọn đa thức
Bước 2: Xác định hạng tử có bậc cao nhất trong đa thức đã thu gọn
VI. Cộng, trừ đa thức.
• Cách 1: Cộng , trừ theo hàng ngang( áp dụng cho tất cả các đa thức)
Bước 1: Viết hai đa thức đã cho dưới dạnh tổng hoặc hiệu, mỗi đa thức để trong dấu ngoặc đơn
Trang 8Bước 2: Bỏ ngoặc.
Nếu trước dấu ngoặc có dấu cộng thì giữ nguyên dấu các hangjt ử bên trong
Nếu trước dấu ngoặc là dấu trừ thì đổi dấu toàn bộ các hạng tử bên trong ngoặc
Bước 3: Nhóm các đơn thức đồng dạng
Bước 4: Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng để ra kết quả
• Cách 2: Cộng, trừ theo hàng dọc ( Chỉ áp dụng cho đa thức 1 biến)
Bước 1: Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến Bước 2: Viết các đa thức vừa sắp xếp dưới dạng tổng hoặc hiệu sao cho các đơn thức đồng dạng thẳng cột với nhau
Bước 3: Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng trong từng cột để được kết quả
VII. Nghiệm của đa thức một biến.
1. Kiểm tra 1 số cho trước có là nghiệm của đa thức một biến không?
Phương pháp:
Bước 1: Tính giá trị của biểu thức tại giá trị của biến cho trước đó
Bước 2: Nếu các giá trị của đa thức bằng 0 thì giá trị của biến đó là nghiệm của đa thức
2. Tìm nghiệm của đa thức một biến.
Phương pháp:
Bước 1: Cho đa thức bằng 0
Bước 2: Giải toán tìm
Bước 3: Giá trị của vừa tìm là nghiệm của đa thức
3. Tìm hệ số chưa biết trong đa thức biết
Phương pháp:
Bước 1: Thay giá trị vào đa thức
Bước 2: Cho biểu thức đó bằng
Bước 3: Tính được hệ số chưa biết
HÌNH HỌC
Trang 9Chương I - Đường thẳng vuông góc Đường thẳng song song.
I. Hai góc đối đỉnh.
1. Định nghĩa: Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của
một cạnh của góc kia
2. Tính chất: Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
II. Hai đường thẳng vuông góc.
1. Định nghĩa: Hai đường thẳng cắt nhau và trong các góc tạo thành có một góc
vuông được gọi là hai đường thẳng vuông góc và được kí hiệu là
2. Tính chất: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua điểm O và vuông góc với
đường thẳng cho trước ( Hay dùng để chứng minh 3 điểm thẳng hàng)
3. Đường trung trực của đoạn thẳng.
Định nghĩa: Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng
đó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy
là đường trung trực của đoạn thẳng
Chú ý: Khi là đường trung trực của đoạn thẳng thì ta nói: Hai điểm và đối xứng với
nhau qua đường thẳng
III. Các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng.
1. Góc so le trong
2. Góc đồng vị
3. Góc trong cùng phía
IV. Hai đường thẳng song song.
1. Ghi nhớ: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:
• Hai góc so le trong bằng nhau
• Hai góc đồng vị bằng nhau
• Hai góc trong cùng phía bù nhau
2. Các dấu hiệu nhận biết:
Nếu đường thẳng cắt hai đường thẳng và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau) thì và song song với nhau
V. Từ vuông góc đến song song.
1. Quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song.
Tính chất 1: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì
chúng song song với nhau
Biểu diễn ngôn ngữ toán học:
Tính chất 2: Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó
cũng vuông góc với đường thằng kia
Trang 10Biểu diễn ngôn ngữ toán học:
2. Ba đường thẳng song song.
Tính chất 3: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng
song song với nhau
Biểu diễn ngôn ngữ toán học:
Chương II -Tam giác.
I. Tổng ba góc của một tam giác.
1. Tổng của một tam giác
Định lí: Tổng ba góc của một tam giác bằng
Biểu diễn bằng ngôn ngữ toán học: Xét có
2. Áp dụng vào tam giác vuông.
Định lí: Trong một tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau
Biểu diễn bằng ngôn ngữ toán học: Xét
3. Góc ngoài của tam giác.
Định nghĩa: Góc ngoài của tam giác là góc kề bù với một góc của tam giác ấy
Định lí: Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó
Biểu diễn bằng ngôn ngữ toán học: Xét có là góc ngoài
II. Hai tam giác bằng nhau.
1. Trường hợp bằng nhau thứ nhất cảu tam giác cạnh - cạnh - cạnh(c.c.c)
Tính chất : Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác
đó bằng nhau
Xét và có:
A
x
Trang 112. Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác cạnh- góc- cạnh(c.g.c)
Tính chất: Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau
Xét và có:
3. Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác góc - cạnh - góc (g.c.g)
Tính chất: Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau
Xét và có:
III. Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.
Hệ quả 1: Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau
Xét và có:
Trang 12Hệ quả 2: Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau
Xét và có:
IV. Tam giác cân.
1. Định nghĩa.
Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau
cân tại
2. Tính chất.
Định lí 1: Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau
cân tại
Định lí 2: Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân
có cân tại
Định nghĩa: tam giác vuông cân là tam giác có hai cạnh góc vuông bằng nhau
3. Tam giác đều.
Định nghĩa: tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau
Hệ quả:
• Trong một tam giác đều, mỗi góc bằng
• Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều
• Nếu một tam giác cân có một góc bằng thì tam giác đó là tam giác đều
V. Định lí Py-ta-go.
1. Định lí Py-ta-go.
Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông
vuông tại ( định lí Py-ta-go)
2. Định lí Py-ta -go đảo.
Trang 13Nếu một tam giác có bình phương một cạnh bằng tổng hai bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông
Chương III- Quan hệ giữa cá yếu tố trong tam giác Các đường thẳng đồng quy của tam giác.
I. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác.
1. Góc đối diện với cạnh lớn hơn.
Định lí 1: Trong một tam giác, góc đói diện với cạnh lớn hơn là cạnh lớn hơn
Xét
2. Cạnh đối diện với góc lớn hơn.
Định lí 2: Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn
Xét
II. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu.
1. Khái niệm đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu của đường xiên.
Lấy kẻ tại , lấy Khi đó:
• Đoạn thẳng được gọi là đường vuông góc kẻ từ đến đường thẳng
• Điểm gọi là hình chiếu của trên đường thẳng
• Đoạn thằng gọi là một đường xiên kẻ từ đến đường thằng
• Đoạn thẳng được gọi là hình chiếu của đường xiên trên đường thằng
2. Quan hệ đường vuông góc và đường xiên.
Định lí 1: Trog các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường thằng ngắn nhất
là đường vuông góc, ;à đường xiên
3. Các đường xiên và hình chiếu của chúng.
Định lí 2:
Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó :
• Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn
• Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn
Trang 14• Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau, và ngược lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau
III. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác Bất đẳng thức tam giác.
1. Bất đẳng thức tam giác.
Định lí: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại
Xét có:
•
• ( bất đẳng thức tam giác)
•
2. Hệ quả của bất đẳng thức tam giác
Hệ quả: Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại
Xét có:
•
• ( Hệ quả bất đẳng thức trong tam giác)
•
IV. Tính chất ba đường trung tuyến trong tam giác.
1. Đường trung tuyến trong tam giác.
Định nghĩa: Đường trung tuyến là đường nối từ đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện đỉnh đó Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến
có là trung điểm của là đường trung tuyến của
2. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác.
Định lí: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm Điểm đó cách đều mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy
có là dường trung tuyến
Điểm được gọi là trọng tâm của
V. Tính chất tia phân giác của một góc.
1. Định lí thuận.
Định lí 1: Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó
là tia phân giác của ,
x