Bài tập dãy số(có tóm tắt lý thuyết đầy đủ)

DÃY SỐ A/ LÝ THUYẾT :

1) Định nghĩa : Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số ) Kí hiệu : u : N*  R

n  u(n) Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển :

u1 , u2 , u3 , u4 , ……,un, ……,

Trong đó un = u(n) hoặc viết tắt là (un) ,và gọi u1 là số hạng đầu ,un là số hạng thứ n và là

số hạng tổng quát của dãy số

2) Dãy số tăng , dãy số giảm :

+ Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu ta có un+1 > un với mọi nN*

+ Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu ta có un+1 < un với mọi nN*

* Từ đó suy ra :Để chứng minh dãy số (un) tăng , giảm ta làm như sau :

Cách 1 : Lập hiệu u n+1 - u n

+ Nếu un+1 - un > 0 thì dãy số (un) là dãy số tăng

+ Nếu un+1 - un <0 thì dãy số (un) là dãy số giảm

Cách 2 : nếu các số hạng trong dãy đều dương thì ta có thể lập tỉ số n 1

n

u u



+ Nếu n 1

n

u

u



>1 thì dãy số (un) là dãy số tăng

+ Nếu n 1

n

u

u



< 1 thì dãy số (un) là dãy số giảm

3) Dãy số bị chặn :

+ Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho : un  M , n 

+ Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho : un  m , n 

+ Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới ,tức là tồn tại

các số m ,M sao cho : m un M , n 

B / BÀI TẬP :

BÀI 1 :Viết 5 số hạng đầu của các dãy số sau :

Un = 101-2n ; Un = 3n -7 ; Un = 3n – 2n ; Un = 33

n

n ;

Un = 2n2 1

n



; Un = 3

2

n

n n

BÀI 2 :Xét tính tăng , giảm của các dãy số (Un) biết :

a) Un = 2n + 3 g) Un =

2n

n

b) Un = 2n3 – 5n + 1 f) Un = 3n2

n

c) Un = 3n – n h) Un = 3 2 2 1

1

n



d) Un = 2

1

n

n  i) Un = 2 2 1

n

 



e) Un = 2 1

2

n

n



 j) Un = n - n 2 1

f) Un = 3 1

2

n

n k) Un = n 1 n

n

 

BÀI 3 :Cho dãy số (Un) được xác định bởi : U1 = 1 và Un+1 = Un +7 , n 

   a) Tính U2 ; U4 ; U6

b) Cmr : Un = 7n - 6 , n 

  

BÀI 4 : Cho dãy số (Un) được xác định bởi : U2 = 2 và Un+1 = 5.Un , n 

   a) Tính U2 ; U4 ; U6

b) Cmr : Un = 2.5n-1 , n 

  

BÀI 5 : Cho dãy số (Un) được xác định bởi : U1 = 1 và Un+1 = 3Un +10 , n 

   Cmr : Un = 2.3n – 5 , n 

  

BÀI 6 : Cho dãy số (Un) được xác định bởi : U1 = 2 và Un+1 = 3Un +2n-1 , n 

   Cmr: Un = 3n - n , n 

  

BÀI 7 : Cho dãy số (Un) được xác định bởi :

a)

1

1

2

1 2

n

n

U

U

U











 





, n 

1

2 1

n n

U







   c)

1 1

1 2 3

n n

U









  

Tìm số hạng tổng quát của các dãy số trên

BÀI 8 :Xét tính bị chặn của các dãy số (Un) được xác định bởi :

a)

2

2

1

n

n

U

n





 , n 

   b) Un = 7 5

n

n



 , n 

   c) Un = 2n2 + 2 , n 

   d) Un = n n ( 1 1) , n 

   e) Un = 2

1

2n  3 , n 

  