Lí thuyết đày đủ Toán11

Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu: Một phép thử ngẫu nhiên ký hiệu T là một thí nghiệm hay một hành động mà có thể lặp đi lặp lại nhiều lần trong các điều kiện giống nhau, kết quả c

Lớp 11

PHẦN I: ĐẠI SỐ CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC- PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

3

32

22

1

12

a180







11 Đường tròn lượng giác

2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lƣợng giác

Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác, chẳng hạn:

4

3π 4

π 4

2π

3π 2

π 2

0 π

-1 -1

1

1 O

sin

cos

Lớp 11

o Nếu f( x) f x( ) thì y f x( ) là hàm chẵn

o Nếu f(  x) f x( ) thì y f x( )là hàm lẻ

o Nếu f( x) f x f( ), (  x) f x( ) thì hàm y f x( )không chẵn cũng không lẻ

III PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1 Phương trình lượng giác cơ bản:

IV MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

1 Phương trình lượng giác đưa về bậc hai và bậc cao cùng một hàm lượng giác

2 Phương trình lượng giác bậc nhất đối với sin và cos

 Dạng tổng quát: asinx b cosxc a b, ,  \ 0   Điều kiện để phương trình có nghiệm là :

o Giải phương trình bậc hai với ẩn ttanX

4 Phương trình lượng giác đối xứng

a Dạng 1: asinxcosxbsin cosx x c 0

 Giải phương trình bậc hai ta được ẩn t Từ đó giải được x

5 Phương trình lượng giác không chuẩn mực

Công đoạn B có 1 m cách thực hiện 1

Công đoạn B có 2 m cách thực hiện 2

…

Lớp 11

Công đoạn B có k m cách thực hiện k

Khi đó , công việc đó có thể thực hiện theo n1.n 2 n cách k

3 Nguyên lí bù trừ

Vấn đề 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP

I Hoán vị

1 Định nghĩa : Cho tập hợp gồm n phần tử, n là số nguyên dương, mỗi cách xếp n phần tử này theo

một thứ tự nào đó gọi là một hoán vị của n phần tử: P n n!

2 Dấu hiệu:

 Tất cả n phần tử đều có mặt

 Mỗi phần tử chỉ xuất hiện 1 lần

 Có phân biệt thứ tự giữa các phần tử

n A

n k





3 Dấu hiệu:

 Phải chọn k phần tử trong n phần tử cho trước

 Có phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn

n C

 Phải chọn k phần tử trong n phần tử cho trước

 Không phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn

1 BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

a Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu:

Một phép thử ngẫu nhiên (ký hiệu T) là một thí nghiệm hay một hành động mà có thể lặp đi lặp lại nhiều lần trong các điều kiện giống nhau, kết quả của nó không dự đoán trước được và có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra

Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử gọi là không gian mẫu của phép thử, ký hiệu

Ω

b Xác suất các biến cố:

Định nghĩa : Giả sử phép toán thử T có không gian mẫu Ω là một tập hợp hữu hạn và kết quả của

T là đồng khả năng Nếu A là một biến cố liên quan với phép thử T và ΩA là tập hợp các kết quả mô tả A

thì xác suất của A là một số ký hiệu là P(A), được xác định bởi công thức:

P A( ) A





trong đó A và  lần lượt là số phần tử của tập ΩA và Ω

- Biến cố chắc chắn (luôn xảy ra khi thực hiện các phép thử T) có xác suất bằng 1

- Biến cố không thể (không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử T) có xác xuất bằng 0

Lớp 11

Một cách tổng quát: Cho k biến cố A1, A2, …, Ak cùng liên quan đến phép thử T Biến cố “ có ít nhất một trong các biến cố A1, A2, …, Ak xảy ra, ký hiệu là A1A2 Ak, được gọi là hợp của k biến cố đó

được gọi là biến cố đối của A

Cho biến cố A xác suất của biến cố đối A¸

Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến phép thử T Biến cố “ Cả A và B cùng xảy ra”, ký hiệu

là A.B, được gọi là giao của hai biến cố A và B

Nếu ΩA và ΩB lần lượt là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A và B thì tập hợp các kết quả thuận

lợi cho AB là ΩA ΩB

Một cách tổng quát: Cho k biến cố A1, A2, …, Ak cùng liên quan đến phép thử T Biến cố “ tất cả

k biến cố A1, A2, …, Ak xảy ra “, ký hiệu là A A 1 2 Ak, được gọi là giao của k biến cố đó

b Biến cố độc lập

Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến phép thử T Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới việc xảy ra hay không

xảy ra của biến cố kia

c Quy tắc nhân xác suất

Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là:

( ) ( ) ( )

P AB P A P B

 Dãy số vô hạn tuần hoàn

 Dãy số vô hạn không tuần hoàn

 Nếu u n 0 với mọi n và lim u n a thì a0 và lim u n  a

4 Định lý liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực

3 3

 Đặt nhân tử chung là lũy thừa cao nhất của x

 Quy đồng mẫu phân số

 Nhân chia lượng liên hợp để khử căn

1 Xét tính liên tục cảu hàm số tại 1 điểm xx0

x x f x x x f f x

Thì hàm số liên tục tại xx0

2 Xét tính liên tục của hàm số trên khoảng, đoạn

 Để chứng minh hàm số y f x liên tục trên một khoảng, đoạn ta dung các định nghĩa về hàm số liên tục trên khoảng, đoạn và nhận xét để suy ra kết luận

 Khi nói xét tính liên tục của hàm số thì ta hiểu là xét trên tập xác định của nó

 Tìm các điểm gián đoạn của hàm số tức là xét xem trên tập xác định của nó hàm số không liên tục tại điểm nào

3 Chứng minh phương trình có nghiệm

 Biến đổi về dạng f x( )0

 Tìm hai số a b, sao cho f a f b( ) ( )0

 Chứng minh f x( ) liên tục trên  a b từ đó suy ra ; f x( )0 có nghiệm

 Chú ý: Nếu f a f b( )  0 thì phương trinh có nghiệm thuộc  a b ;

Để chứng minh f x( )0 có ít nhất n nghiệm thì ta chia đoạn  a b thành n đoạn nhỏ rời ;nhau, rồi chứng minh trong mỗi đoạn đó phương trình có ít nhất một nghiệm

CHƯƠNG 5 : ĐẠO HÀM

1 Định nghĩa,

2 Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa

Bước 1: Với x là số gia của đối số tại x , tính 0  y f x( 0  x) f x( )0

 





3 Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M x f x( ; ( ))0 0 có dạng : y f x'( )(0 xx0) f x( )0

x x

u u

u u

u u u

u

a a a u

e e u

u u

a u u u

u u u u u u

Các phép biến hình có chung tính chất :

- Bảo toàn khoảng cách giữa 2 điểm bất kì

- Biến một đường thẳng thành đường thẳng

- Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho

- Biến 1 tam giác thành một tam giác bằng tam giác đã cho

- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

22

Lớp 11

1 Tính chất

 Biến đường thẳng không qua tâm vị tự thành một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho

 Biến đường thẳng qua tâm vị tự thành chính nó

 Biến tia thành tia

 Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên k

 Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỷ số đồn dạng là k

 Biến góc bằng góc ban đầu

2 Ảnh của đường tròn qua phép vị tự

Cho đường tròn (C) tâm I ; bán kính R

Lớp 11

CHƯƠNG 2: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẢNG TRONG KHÔNG GIAN

a Dạng toán 1: Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng

 Tìm hai điểm chung phân biệt của 2 mặt phẳng

 Đường thẳng nối 2 điểm chung đó là giao tuyến của hai mặt phẳng

b Dạng toán 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ( )

 Tìm một mặt phẳng phụ ( ) chứa d sao cho dễ tìm giao tuyến với mặt phảng ( ) Mặt phảng này tạo bởi đường thẳng d và một điểm của ( )

 Tìm giao tuyến u của ( ) và ( )

 Trong ( ) , d cắt u tại I, mà u( ) Vậy d( ) I

c Dạng toán 3: Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng ( )

Ta tìm các đoạn giao tuyến nối tiếp nhau của mặt phẳng ( ) với hình chóp cho đến khi khép kín thành một đa giác phẳng Đa giác đó là thiết diện cần tìm và các đoạn giao tuyến chính là các cạnh của thiết diện

Bài toán : Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng chứa 2 đường thẳng song song

Bài toán 1: Chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P)

CHƯƠNG 3 : QUAN HỆ VUÔNG GÓC

Cách 1 :Nếu 1 đường thẳng vuông góc với 2 đường cắt nhau trong một mặt phẳng thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng đã cho

Cách 2: Hai đường thẳng song song Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc

Lớp 11 Cách chứng minh: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia

là hình chiếu của trên