Một số phương trình quy về bậc nhất, bậc hai .... Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn .... Mệnh đề chứa biến: Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập
Trang 2DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TỐN
Lý thuyết cơ bản
TOÁN 10
NGƯỜI TỔNG HỢP: NGUYỄN BẢO VƯƠNG
Năm học: 2018 - 2019
Trang 3Nguyễn Bảo Vương Trang 1
MỤC LỤC
PHẦN 1 ĐẠI SỐ 10 3
Chương 1 Mệnh đề - tập hợp 3
Vấn đề 1 Mệnh đề và mệnh đề chứa biến 3
Vấn đề 2 Tập hợp 3
Vấn đề 3 Sai số- số gần đúng 4
Chương 2 Hàm số bậc nhất và bậc hai 5
Vấn đề 1 Đại cương về hàm số 5
Vấn đề 2 Hàm số bậc nhất 6
Vấn đề 3 Hàm số bậc 2 6
Chương 3 Phương trình và hệ phương trình 7
Vấn đề 1 Đại cương về phương trình 7
Vấn đề 2 Phương trình bậc nhất 1 ẩn 8
Vấn đề 3 Phương trình bậc hai 1 ẩn 8
Vấn đề 4 Một số phương trình quy về bậc nhất, bậc hai 10
Vấn đề 5 Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn 12
Vấn đề 6 Hệ phương trình bậc hai hai ẩn số 13
Chương 4 Bất đẳng thức, bất phương trình 14
Vấn đề 1 Bất đẳng thức 14
Vấn đề 2 Bất phương trình bậc nhất – bất phương trình bậc hai 15
Chương 6 Lượng giác 16
Vấn đề 1 Cung và góc lượng giác 16
Vấn đề 2 Giá trị lượng giác của 1 cung 17
Vấn đề 3 Công thức lượng giác 20
PHẦN 2 HÌNH HỌC 10 21
Chương 1 Vecto 21
Vấn đề 1 Khái niệm véc tơ 21
Vấn đề 2 Tổng của hai vecto 21
Vấn đề 3 Hiệu của hai vecto 22
Trang 4Nguyễn Bảo Vương Trang 2
vấn đề 4 Phép nhân vercsto với một số 22
Vấn đề 5 Hệ trục tọa độ 23
Chương 2 Tích vô hướng 24
Vấn đề 1 Giá trị lượng giác của 1 góc 24
Vấn đề 2 Tích vô hướng 25
Vấn đề 3 Các hệ thức lượng tam giác 26
Chương 3 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 27
Vấn đề 1 Đường thẳng 27
Vấn đề 2 Đường tròn 29
Vấn đề 3 Elip 30
Vấn đề 4 Hypebol 30
Vấn đề 5 Parabol 31
Vấn đề 6 3 đường conic 32
Trang 5Nguyễn Bảo Vương Trang 3
PHẦN 1 ĐẠI SỐ 10
Chương 1 Mệnh đề - tập hợp
Vấn đề 1 Mệnh đề và mệnh đề chứa biến
Mệnh đề
Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai
Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai
Mệnh đề phủ định: Cho mệnh đề P.
Mệnh đề "không phải P" được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là P.
Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng
Mệnh đề kéo theo: Cho mệnh đề P và Q
Mệnh đề "Nếu P thì Q" được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là: PQ, (P suy ra Q).
Mệnh đề PQ chỉ sai khi P đúng và Q sai
Lưu ý rằng: Các định lí toán học thường có dạng P Q Khi đó:
P là giả thiết, Q là kết luận P là điều kiện đủ để có Q Q là điều kiện cần để có P
Mệnh đề đảo
Cho mệnh đề kéo theo PQ. Mệnh đề QP được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề PQ.
Mệnh đề tương đương: Cho mệnh đề P và Q
Mệnh đề "P nếu và chỉ nếu Q" được gọi là mệnh đề tương đương và kí hiệu là PQ.
Mệnh đề PQ đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh để PQ và QP đều đúng
Lưu ý rằng: Nếu mệnh đề P Q là 1 định lí thì ta nói P là điều kiện cần và đủ để có Q
Mệnh đề chứa biến: Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập X nào đó
mà với mỗi giá trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề
Kí hiệu và : Cho mệnh đề chứa biến P x( ) với xX. Khi đó:
"Với mọi x thuộc X để P x( ) đúng" được ký hiệu là: " x X P x, ( )" hoặc " x X P x: ( )".
"Tồn tại x thuộc X để P x( ) đúng" được ký hiệu là: " x X P x, ( )" hoặc " x X P x: ( )".
Mệnh đề phủ định của mệnh đề " x X P x, ( )" là " x X P x, ( )"
Mệnh đề phủ định của mệnh đề " x X P x, ( )" là " x X P x, ( )"
Phép chứng minh phản chứng: Giả sử ta cần chứng minh định lí: AB.
Cách 1 Giả sử A đúng Dùng suy luận và kiến thức toán học đã biết chứng minh B đúng
Cách 2 (Chứng minh phản chứng) Ta giả thiết B sai, từ đó chứng minh A sai Do A không thể vừa đúng
vừa sai nên kết quả là B phải đúng
Lưu ý:
Số nguyên tố là số tự nhiên chỉ chia hết cho 1 và chính nó Ngoài ra nó không chia hết cho bất cứ số nào
khác Số 0 và 1 không được coi là số nguyên tố
Các số nguyên tố từ 2 đến 100 là 2; 3; 5;7;11;13;17;19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59;
Ước và bội: Cho a b , Nếu a chia hết b, thì ta gọi a là bội của b và b là ước của a.
Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của 2 hay nhiều số tự nhiên là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó
Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của 2 hay nhiều số tự nhiên là số nhỏ nhất trong tập hợp các ước chung của các số
đó
Vấn đề 2 Tập hợp
Tập hợp
Trang 6Nguyễn Bảo Vương Trang 4
+
Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa
Có 2 cách xác định tập hợp:
Liệt kê các phần tử: viết các phần tử của tập hợp trong hai dấu móc ; ;
Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp
Tập rỗng: là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu
Giao của hai tập hợp: ABx xA và x B
Hợp của hai tập hợp: ABx xA hoặc x B
Hiệu của hai tập hợp: A B\ x xA và x B
Phần bù: Cho BA thì C B A A B\
Vấn đề 3 Sai số- số gần đúng
Số gần đúng
Trong đo đạc, tính toán ta thường chỉ nhận được các số gần đúng
Sai số tuyệt đối
Nếu a là số gần đúng của số đúng a thì a a a gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a
B
A
Trang 7Nguyễn Bảo Vương Trang 5
Độ chính xác của một số gần đúng
Nếu a a a d thì a d aa d Ta nói a là số gần đúng của a với độ chính xác d và qui ước viết gọn là
.
aa d
Sai số tương đối
Sai số tương đối của số gần đúng a là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và a, kí hiệu a
a
a
a càng nhỏ thì độ chính xác của phép đo đạc hoặc tính toán càng lớn
Ta thường viết a dưới dạng phần trăm
Chữ số chắc
Cho số gần đúng a của số a với độ chính xác d Trong số a, một chữ số được gọi là chữ số chắc (hay đáng tin)
nếu d không vượt quá nửa đơn vị của hàng có chữ số đó
Nhận xét: Tất cả các chữ số đứng bên trái chữ số chắc đều là chữ số chắc Tất cả các chữ số đứng bên phải chữ
số không chắc đều là chữ số không chắc
x được gọi là biến số (đối số), y được gọi là giá trị của hàm số f tại x Kí hiệu: y f x( ).
D được gọi là tập xác định của hàm số
Ty f x( ) x D được gọi là tập giá trị của hàm số
Cách cho hàm số: cho bằng bảng, biểu đồ, công thức y f x( ).
Tập xác định của hàm y f x( ) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f x( ) có nghĩa
Chiều biến thiên của hàm số: Giả sử hàm số y f x( ) có tập xác định là D. Khi đó:
Hàm số y f x( ) được gọi là đồng biến trên D x1, x2D và x1x2 f x( )1 f x( 2).
Hàm số y f x( ) được gọi là nghịch biến trên D x1, x2D và x1x2 f x( )1 f x( 2).
Tính chẵn lẻ của hàm số
Cho hàm số y f x( ) có tập xác định D
Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu x D thì x D và f( x) f x( ).
Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu x D thì x D và f( x) f x( ).
Tính chất của đồ thị hàm số chẵn và hàm số lẻ:
+ Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung Oy làm trục đối xứng
+ Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng
Đồ thị của hàm số
Trang 8Nguyễn Bảo Vương Trang 6
Đồ thị của hàm số y f x( ) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm M x f x ; ( ) trên mặt phẳng toạ độ
Oxy với mọi xD.
Chú ý: Ta thường gặp đồ thị của hàm số y f x( ) là một đường Khi đó ta nói y f x( ) là phương trình của đường
và nghịch biến (0; ).
Do đó để vẽ hàm số y ax b , ta sẽ vẽ hai đường thẳng yax b và y ax b , rồi xóa đi hai
phần đường thẳng nằm ở phía dưới trục hoành Ox.
Lưu ý: Cho hai đường thẳng d y: ax b và d y : a x b Khi đó:
Trang 9Nguyễn Bảo Vương Trang 7
Giữ nguyên phần ( )P phía trên Ox.
Lấy đối xứng phần ( )P dưới Ox qua
đối xứng nhau qua Oy và vẽ như sau:
Giữ nguyên phần ( )P bên phải Oy
Lấy đối xứng phần này qua Oy
Đồ thị y f x là hợp 2 phần trên
Chương 3 Phương trình và hệ phương trình
Vấn đề 1 Đại cương về phương trình
Khái niệm phương trình một ẩn
— Cho hai hàm số y f x( ) và yg x( ) có tập xác định lần lượt là D f và D g. Đặt DD f D g.Mệnh đề chứa biến
" ( )f x g x( )" được gọi là phương trình một ẩn, x gọi là ẩn và D gọi tập xác định của phương trình
Trang 10Nguyễn Bảo Vương Trang 8
— Số x oD gọi là 1 nghiệm của phương trình f x( ) g x( ) nếu " ( )f x o g x( )"o là 1 mệnh đề đúng
Phương trình tương đương
— Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng 1 tập nghiệm Nếu phương trình f x1( ) g x1( ) tương đương với phương trình f x2( ) g x2( ) thì viết f x1( ) g x1( ) f x2( ) g x2( ).
— Định lý 1: Cho phương trình f x( ) g x( ) có tập xác định D và yh x( ) là một hàm số xác định trên D. Khi đó trên miền D, phương trình đã cho tương đương với mỗi phương trình sau:
(1) : ( )f x h x( ) g x( ) h x( ) (2) : ( ) ( )f x h x g x h x( ) ( ) với h x( ) 0, x D.
Phương trình hệ quả
— Phương trình f x1( ) g x1( ) có tập nghiệm là S1 được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f x2( ) g x2( )
có tập nghiệm S2 nếu S1S2. Khi đó viết: f x1( ) g x1( ) f x2( ) g x2( ).
— Định lý 2: Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương trình hệ quả của phương trình đã cho:
0
a b 0 ( )i vô nghiệm
0
b ( )i nghiệm đúng với mọi x.
Để phương trình ( )ii có nghiệm duy nhất a 0.
Để phương trình ( )ii có tập nghiệm là (vô số nghiệm) 0
0
a b
a a b
Lưu ý: Có nghiệm là trường hợp ngược lại của vô nghiệm Do đó,
tìm điều kiện để ( )ii có nghiệm, thông thường ta tìm điều kiện để ( )ii
vô nghiệm, rồi lấy kết quả ngược lại
Vấn đề 3 Phương trình bậc hai 1 ẩn
0
ax bx c ( )i
Trang 11Nguyễn Bảo Vương Trang 9
Phương pháp:
Bước 1 Biến đổi phương trình về đúng dạng 2
0.
ax bx c
Bước 2 Nếu hệ số a chứa tham số, ta xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1: a 0, ta giải và biện luận ax b 0.
bằng phương pháp cộng ở (1) và (2) được x1, x2 theo m và thế x1, x2 vào (3) để tìm m
Dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:
Phương trình có 2 nghiệm trái dấu: x1 0 x2 P 0.
Phương trình có 2 nghiệm dương: 1 2
Trang 12Nguyễn Bảo Vương Trang 10
Phương trỡnh cú 2 nghiệm dương phõn biệt: 1 2
Lưu ý: Nếu đề bài yờu cầu so sỏnh 2 nghiệm x1, x2 với số ta thường cú 2 cỏch làm sau: ,
Một là đặt ẩn phụ tx để đưa về so sỏnh 2 nghiệm t1, t2 với số 0 như trờn
Hai là biến đổi, chẳng hạn:
Để ( ) cú 2 nghiệm phõn biệt
( ) có nghiệm kép dương ( ) có 2 nghiệm trái dấu
Để ( ) cú 3 nghiệm ( ) cú 1 nghiệm bằng 0 và nghiệm cũn lại dương
Để ( ) cú 4 nghiệm ( ) cú 2 nghiệm dương phõn biệt
Một số dạng phương trỡnh bậc bốn quy về bậc hai
Trang 13Nguyễn Bảo Vương Trang 11
Phương pháp giải: Tạo ra dạng 2 2
A B bằng cách thêm hai vế cho một lượng
Lưu ý: Với sự hổ trợ của casio, ta hoàn toàn có thể giải được phương trình bậc bốn bằng
phương pháp tách nhân tử Tức sử dụng chức năng table của casio để tìm nhân tử bậc hai, sau
đó lấy bậc bốn chia cho nhân tử bậc hai, thu được bậc hai Khi đó bậc bốn được viết lại thành
tích của 2 bậc hai
Phân tích phương trình bậc ba bằng Sơ đồ Hoocner
Khi gặp bài toán chứa tham số trong phương trình bậc ba, ta thường dùng nguyên tắc nhẩm
nghiệm sau đó chia Hoocner
— Chia Hoocner: đầu rơi – nhân tới – cộng chéo
Để giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối, ta tìm cách khử dấu trị tuyệt đối bằng cách: dùng
Trang 14Nguyễn Bảo Vương Trang 12
Loại 3: a A b B C dùng phương pháp chia khoảng để giải
Lưu ý: Giải và biện luận phương trình ax b cx d ta làm như sau:
Giải và biện luận từng phương trình (1) và (2)
Xét trường hợp nghiệm của phương trình (1) trùng với nghiệm phương trình (2)
Cặp số ( ;x y o o) đồng thời thỏa cả 2 phương trình (1) và (2) được gọi là nghiệm của hệ
Công thức nghiệm: Quy tắc Crame
Biểu diễn hình học của tập nghiệm:
Nghiệm ( ; )x y của hệ ( )I là tọa độ điểm M x y( ; ) thuộc cả 2 đường thẳng:
( ) :d a x b y c và ( ) :d2 a x b y2 2 c2.
Hệ ( )I có nghiệm duy nhất ( )d1 và ( )d2 cắt nhau
Hệ ( )I vô nghiệm ( )d1 và ( )d2 song song với nhau
Hệ ( )I có vô số nghiệm ( )d1 và ( )d2 trùng nhau
Trang 15Nguyễn Bảo Vương Trang 13
Một nghiệm của hệ là bộ 3 số ( ;x y z o o; o) thỏa cả 3 phương
trình của hệ Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về
các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các
phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Vấn đề 6 Hệ phương trình bậc hai hai ẩn số
HỆ GỒM 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Phương pháp giải: Từ phương trình bậc nhất (1), rút x theo y (hoặc y theo x) và thế vào
phương trình còn lại (2) để giải tìm x (hoặc tìm y)
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I
Dấu hiệu nhận dạng: Khi thay đổi vị trí x và y cho nhau thì hệ không thay đổi và trật tự các
phương trình cũng không thay đổi
Phương pháp giải: Biến đổi về dạng tổng và tích 2 biến
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II
Dấu hiệu nhận dạng: Khi thay đổi vị trí x và y cho nhau thì hệ phương trình không thay đổi
và trật tự các phương trình thay đổi (phương trình này trở thành phương trình kia)
Phương pháp giải: Lấy vế trừ vế và phân tích thành nhân tử, lúc nào cũng đưa được về dạng
(x y f x ) ( ) 0, tức luôn có xy.
Lưu ý: Đối với hệ đối xứng loại II chứa căn thức, sau khi trừ ta thường liên hợp
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI
M
Trang 16Nguyễn Bảo Vương Trang 14
a b c
abc
Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi abc.
BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACÔPXKI (CAUCHY SCHWARZ)
Trang 17Nguyễn Bảo Vương Trang 15
Để chứng minh một bất đẳng thức bằng phương pháp tương đương, ta có thể làm theo 2 ý tưởng:
— Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đã biết là luôn đúng
— Sử dụng một BĐT đã biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh
Vấn đề 2 Bất phương trình bậc nhất – bất phương trình bậc hai
DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
Định nghĩa: Bất phương trình bậc nhất là bất phương trình có dạng: ax b 0, ax b 0,
Lưu ý: Ta giải tương tự với ax b 0, ax b 0, ax b 0
Dấu của nhị thức bậc nhất: Cho nhị thức bậc nhất f x( ) axb, (a 0).
Trang 18Nguyễn Bảo Vương Trang 16
-+ A
D
M C O
― Giải từng bất phương trình trong hệ
― Lấy giao nghiệm
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
Dấu của tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai 2
f x Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a
Nhận xét: Cho tam thức bậc hai 2
Chương 6 Lượng giác
Vấn đề 1 Cung và góc lượng giác
1 Đường tròn định hướng và cung lượng giác
Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta chọn một chiều chuyển động gọi là
chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim
đồng hồ làm chiều dương
Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A và B. Một điểm M di động trên đường tròn luôn theo một chiều (âm hoặc dương) từ A đến B tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B.
Với hai điểm A B, đã cho trên đường tròn định hướng ta có vô số cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B.
Mỗi cung như vậy đều được kí hiệu là AB.
