Đờng thẳng qua D và song song với BC cắt đờng tròn O tại điểm thứ hai F.. Đờng thẳng AF cắt đờng tròn O tại điểm thứ hai G.. Hai đờng thẳng EG và BC cắt nhau tại M.. Cán bộ coi thi không
Trang 1Kì thi chọn học sinh giỏi huyện lớp 9 vòng 1 nĂm học
2010-2011
đề thi môn: toán
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Đề có 01 trang
Câu 1 (1,5 điểm)
1
M
x
−
a) Hãy tìm điều kiện của x để M có nghĩa, rút gọn M
b) Với giá trị nào của x thì M đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị nhỏ nhất đó của M?
Câu2 (2,0 điểm)
a) Giải phơng trình 4x2 − +1 x = 2x2 − +x 2x+1
b) Giải bất phơng trình 4 2 2 ( 2 1)3
x
+
Câu 3 (1,0 điểm)
Cho ∆ABC có diện tích bằng 1(đvdt) Gọi a,b,c và ha, hb, hc tơng ứng là độ dài các cạnh và đờng cao của ∆ABC Chứng minh:
(a2 + b2 + c2)( ha2 + hb2 + hc) ≥ 36
Dấu bằng xảy ra khi nào?
Câu 4 (2,0 điểm)
a) Tìm các số x,y nguyên dơng thoả mãn phơng trình: 6x2 + 5xy – 25y2 -221 = 0 b) Tính tổng sau:
2 1 1 2 3 2 2 3 2011 2010 2010 2011
Câu 5 (2,5 điểm)
Cho đờng tròn tâm O, và một điểm A nằm bên ngoài đờng tròn Qua A kẻ hai đ-ờng thẳng cắt đđ-ờng tròn O tại các điểm B,C và D,E tơng ứng (B nằm giữa A và C, D nằm gữa A và E) Đờng thẳng qua D và song song với BC cắt đờng tròn O tại điểm thứ hai F
Đờng thẳng AF cắt đờng tròn O tại điểm thứ hai G Hai đờng thẳng EG và BC cắt nhau tại
M Chứng minh:
a) AM2 = MG.ME
b) 1 1 1
AM = AB+ AC
Câu 6 (1,0 điểm)
Với các số a,b,c là các số thực dơng thoả mãn điều kiện abc = 1
a b c
ab a + bc b + ca c ≥
+ +
……… Hết………
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Đề chính thức
Trang 2Họ và tên thí sinh: SBD:
Hớng dẫn chấm thi Chọn học sinh giỏi huyện lớp 9 vòng 1
nĂm học 2010-2011 Môn: toán Câu 1 (1,5 điểm)
1
M
x
−
a, Hãy tìm điều kiện của x để M có nghĩa, rút gọn M
b, Với giá trị nào của x thì M đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị nhỏ nhất đó của M?
M có nghĩa khi
0
0
( 1)(2 1) 0
1
x
x
x x
≥
0,25
M
0,5
Do x ≥ 0 nên (x x + ≥1) 0,x+ x +1>0 vì vậy ( 1) 0
x x x x M
MinM = 0 khi x = 0
0,75
Câu2 (2,0 điểm)
a) Giải phơng trình 4x2 − +1 x = 2x2 − +x 2x+1
b) Giải bất phơng trình sau: 4 2 2 ( 2 1)3
x
+
a, 4x2 − +1 x = 2x2 − +x 2x+1 (1) ĐK: x≥ 12 0,25
Trang 3(1)
2 1( 2 1 1) ( 2 1 1) 0
( 2 1 1)( 2 1 ) 0
1
2 1
x
⇔
0,5
Nhận xét: x=-1 không thuộc tập xác định => loại nghiệm x = -1 0,25 Vậy nghiệm của phơng trình là x=1
b) ĐK: x > 0 chia cả 2 vế cho x x( 2 +1) và biến đổi BPT trở thành
1
+ + (1)
0,25
Đặt x 1 t 2
x
+ = ≥ khi đó (1) trở thành
Do cả 2 vế dơng biến đổi chỉ ra đợc
2
1
t t
Điều này luôn đúng với ∀t ≥ 2
Vậy BPT đã cho có nghiệm ∀x > 0
0,75
Câu 3 (1,0 điểm)
Cho ∆ABC có diện tích bằng 1(đvdt) Gọi a,b,c và ha, hb, hc tơng ứng là độ dài các
cạnh và đờng cao của ∆ABC Chứng minh:
(a2 + b2 + c2)( ha2 + hb2 + hc)≥36
Dấu bằng xảy ra khi nào?
áp dụng BĐT Cô-si với bộ ba số dơng a,b,c và ha, hb, hc ta có:
3 3
a b c a b c
h h h h h h
a b c h h h a b c h h h
Lại có: aha = bhb = chc = 2SABC = 2 Thay vào (1) ta có:
(a +b +c )(h a +h b +h c ) 9 64 36≥ =
Dấu đẳng thức xảy ra khi
a b c
a b c
h h h
= =
= =
=>∆ABC đều
0,5
0,5
Trang 4Câu 4 (2,0 điểm)
a, Tìm các số x,y nguyên dơng thoả mãn: 6x2 + 5xy – 25y2 -221 = 0
b, Tính tổng sau:
2 1 1 2 3 2 2 3 2011 2010 2010 2011
a, 6x2 + 5xy – 25y2 -221 = 0 (2x+5y)(3x-5y) = 13.17 0,5
Do x,y ∈Z+ nên 2x+5y > 0 => 3x-5y > 0, do đó 2x+5y và 3x-5y là các ớc tự nhiên của 221 0,5 Tìm đợc x = 6, y = 1 là nghiệm nguyên dơng duy nhất của phơng trình đã cho
b, Chứng minh đợc với mọi k = 1,2,3… n ta có
0,5
2 1 1 2 +3 2 2 3 + +2011 2010 2010 2011 = = − 2011
0,5
Câu 5 (2,5 điểm)
Cho đờng tròn tâm O, và một điểm A nằm bên ngoài đờng tròn Qua A kẻ hai
đ-ờng thẳng cắt đđ-ờng tròn O tại các điểm B,C và D,E tơng ứng (B nằm giữa A và C, D nằm
gữa A và E) Đờng thẳng qua D và song song với BC cắt đờng tròn O tại điểm thứ hai F
Đờng thẳng AF cắt đờng tròn O tại điểm thứ hai G Hai đờng thẳng EG và BC cắt nhau tại
M Chứng minh:
a) AM2 = MG.ME
b) 1 1 1
AM = AB+ AC
C
F
G
E
D
A O
B
M
Trang 5a, Từ hình vẽ ta có ∠MAF =∠AFD (so le trong)
∠MEA = ∠ AFD ( cùng chắn cung DG) =>∠MAF = ∠MEA
Xét ∆MAG và ∆MEA có ∠M chung
∠MAF = ∠MEA => ∆MAG : ∆MEA (g-g)
nên MA MG MA2 ME MG
ME = MA ⇒ = (1)
0,5
0,25
b, Xét ∆MBG và ∆MCE có : ∠MBG =∠MEC (cùng bù với ∠CBG)
∠M chung
=> ∆MBG ∼∆MCE (g-g) nên MB MG MB MC ME MG
ME = MC ⇒ = (2)
0,5
Từ (1) và (2) => MA2 = MB.MC hay MA2 = (AB-AM) (AC-AM)
= AB.AC- AM(AB+AC) + AM2 => AB.AC = AM(AB+AC)
AB AC
AM AB AC AC AB
+
0,5
0,25
Câu 6 (1,0 điểm)
Với các số a,b,c là các số thực dơng thoả mãn điều kiện abc = 1
a b c
ab a + bc b + ca c ≥
+ +
áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-Côpski, ta có:
2
a b c
0,25
Do abc =1 nên ta có :
2
1
;
1,
1
abc ab a a ab ca c a bc abc ab a ab
ab a bc b ca c
a b c
dpcm
a b c
+ +
0,25
0,25
0,25
Trang 6Lu ý: Trên đây chỉ là đáp án sơ lợc của một cách giải, học sinh làm cách khác mà vẫn đúng thì cho tối đa theo thang điểm trên.
Tổ chấm có thể chia nhỏ điểm đến 0,25 Điểm bài thi của học sinh là tổng
điểm của toàn bài không làm tròn.
