Rút gọn P b.Tìm giá trị lớn nhất của P.. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì d1 luôn đi qua một điểm cố định.. Câu 83 điểm Cho hai đờng tròn O O, tiếp xúc ngoài tại A.
Trang 1Tr ờng THCS Đoàn Th ợng
ĐỀ 1 Đề thi học sinh giỏi cấp huyện lớp 9
Năm học 2010-2011 Môn : Toán
Câu 1:(1,5 điểm)
Cho aZ , chứng minh rằng a5 - a chia hết cho 30
1
1 2 2
1
2
x
x x
x x x
x
x x
a Rút gọn P
b.Tìm giá trị lớn nhất của P
c Tìm x để biểu thức Q =
P
x
2 nhận giá trị là số nguyên
Câu 3:(2 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có các cạnh là a , b , c Kẻ đờng cao AD Kẻ DE ,
DF tơng ứng vuông góc với AB và AC Đặt BE = m; CF = n ; AD = h Chứng minh rằng :
a)
3
b) 3h2 + m2 + n2 = a2
Câu 4(3 điểm): Giải các phơng trình :
a x x 1 x 2 7 b 7 5 2 12 38
c x 1 4 4 x 1 x 1 6 x 1 9 1
Câu 5(2 điểm) Tìm các cặp số nguyên (x,y) thoả mãn một trong các đẳng thức sau :
a xy 3x 2y 7= 0 b.2y2xxy 1 x2 2y2xy
Câu 6:(1,5 điểm) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng : a b c a c b 1
b c a c b a
Câu 7 (1,5 điểm) Cho 3 đờng thẳng
(d1): y = m2 1xm2 5 với m 1
(d2): y = x 1
(d3): y = x 3
a Chứng minh rằng khi m thay đổi thì d1 luôn đi qua một điểm cố định
b Chứng minh rằng (d1) // (d3) thì (d1) (d2)
c Xác định m để 3 đ ờng thẳng (d1), (d2), (d3) đồng quy
Câu 8(3 điểm) Cho hai đờng tròn (O) (O,) tiếp xúc ngoài tại A Gọi AB là đờng kính của đờng tròn (O), AC là đờng kính của đờng tròn (O,) , DE là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn D thuộc (O), E thuộc (O,), K là giao điểm của BD và CE
a) Tứ giác ADKE là hình gì ? vì sao ?
b) CMR: AK là tiếp tuyến chung của hai đ ờng tròn (O) và (O, )
c) Gọi M là trung điểm của BC
CMR: MK DE
Câu 9 (2 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 4 4 2 4 2 12 9
x x x x
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =
4
2 4 2
x x x
Câu 11 (1,5 điểm) Cho đờng tròn tâm I bán kính r nội tiếp tam giác ABC CMR: IA+IB+IC 6r
** *
Đáp án đề 1
Câu 1: (1,5 điểm)
a 5 -a = a(a4 -1) = a(a2 -1)(a2 +1) = a(a-1)(a+1)(a -4+5) 2
Trang 2= a(a-1)(a+1) a 2a25= a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)+5a(a-1)(a+1) (0.5đ)
Hạng tử thứ nhất chia hết cho 5 vì là tích của năm số nguyên liên tiếp Hạng tử thứ hai cũng chia hết cho 5 do đó : a -a 5 5 (0.25đ)
Ta thấy: a5 -a = a(a-1)(a+1)(a2 +1)
Do (a-1)a(a+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên nó chia hết cho 2 và 3 , tức là chia hết cho 6 vì (2,3) = 1 (0.5đ)
a 5 -a vừa chia hết cho 5 , vừa chia hết cho 6 mà (5,6) =1 nên a5 -a 30 (0.25đ)
Câu 2 (2 điểm) Câu a ,c mỗi câu 0,75 điểm, câu b 0,5 điểm
a) Điều kiện để P có nghĩa là x > 0, x 1 (0,25đ)
1
1 1
2 1 2 1
1 1
x
x x
x
x x x
x
x x x
x
(0,25đ)
= x x 1 2 x 1 2 x 2 x x 1 (0,25đ)
b) P = x- x +1=
4
3 4
3 2
1 2
x
P đạt GTNN là
4
3
khi x=
4
1
(0,5đ)
x x x
x
x P
1 1
2 1
2 2
(0,25đ)
Với x > 0 và x 1 á p dụng bất đẳng thức CôSi cho hai số d ơng
M = 1 1 1 0 Q 2
x
x (0,25đ)
Tìm đ ợc Q nguyên khi và chỉ khi Q = 1
2
5 3
7
x (0,25đ)
Câu 3 (2 điểm) Mỗi câu 1 điểm
a)
3 2
2
3
b) a2 = (BD + DC)2 = BD + 2 BD.DC + DC2 2 = m.c +2h2 + n.b
= m(EA + m) + n(AF + n) +2h2 = m2 + n2 +2h2 + m.EA +n.AF
= m2 + n2 + 2h2 + ED + FD2 2 = m + n2 2 +2h2 + AF2 + FD2
= m2 + n2 + 2h2 + h2 = m2 + n + 3h2 2 (đpcm)
Câu 4 (3 điểm) mỗi câu 1 điểm
a) Đặt x x 1 x 2 7 (1) Xét 4 tr ờng hợp :
x > 0 : (1) x =
3
4
-1 x 0: (1) x = 4 Loại (0,25đ)
-2 x < -1: (1) x=-6 Loại (0,25đ)
x < - 2: (1) x=
3
10
(0,25đ)
Vậy nghiệm của ph ơng trình là : x =
3
4
; x=
3
10
(0,25đ) b) Điều kiện 5 x 7 (0,25đ)
áp dụng BĐT CôSi cho hai số không âm ta có
B
A
F
C D
E m
n
h
Trang 3 2
2
1 5 2
1 7 1 5 1
7 x x
x x
Đẳng thức xảy ra
1 5 1 7
x x
x= 6 (0,25đ) Mặt khác : x2 -12x +38 = 62 2 2
x Đẳng thức xảy ra x= 6 (0,25đ) Vậy ph ơng trình có nghiệm x= 6 (0,25đ)
c) x 1 22 x 1 32 1
x 1 2 + x 1 3 = 1 (1) (0,25đ)
Nếu 1 x < 5 thì x = 5 loại (0,25đ)
5 x 10 từ (1) 0x=0 ph ơng trình vô số nghiệm
x >10 từ (1) x = 10 loại (0,25đ)
Vậy ph ơng trình có nghiệm 5 x 10 (0,25đ)
Câu 5 (2 điểm) mỗi câu 1 điểm
a) xy+3x-2y-7= 0 (x-2)(y+3)= 1 (0,25đ)
1 3
1 2
y
x
hoặc
1 3
1 2
y x
(0,25đ)
Do đó :
2 3
y
x
hoặc
4 1
y x
(0.25đ) Hai cặp số cần tìm là : (1;-4) và (3;-2) (0,25đ)
b) 2y x +x+y+1 = x2 2 +2y +xy (1)2
2y2 (x-1) - x(x-1) - y(x-1) +1=0 (0,25đ) Vì x= 1 không phải là nghiệm nên chia cả hai vế cho x-1 ta có
2y 2 - x-y+
1
1
x = 0 (2) (0,25đ)
Để (1) nguyên thì
1
1
x phải nguyên Nên x-1 = 1
0
2
x
x
(0,25đ) Thay x = 2 và x= 0 vào (2) ta có y nguyên khi y= 1
Vậy ph ơng trình đã cho có hai nghiệm nguyên (2;1) và (0;1) (0,25đ)
Câu 6 (1,5 điểm) Đặt
1 1
M
a c b c b a
abc
(0,5đ)
Vì a ,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên
1
1
abc
(0,75đ)
Vậy M < 1 (đpcm) (0,25đ)
Câu 7 (1,5 điểm) Mỗi câu 0.5 điểm
a) y= (m2 -1)x+(m2 -5) = m2 (x+1)-x-5 (0,25đ) Với mọi m khi x=-1 thì y = -4
Vậy (d1) luôn đi qua điểm cố định là (-1;-4) (0,25đ) b) Vì (d1) // (d3)
3 5 1 1
2 2
m m
m = 0 (d1): y = -x+5 (0,25đ) Hai đ ờng thẳng (d1) và (d2) có (-1).1 = -1 nên (d1) (d2) (0,25đ)
c) Hai đ ờng thẳng (d2),(d3) có hệ số góc khác nhau nên chúng cắt nhau tại M Tìm toạ độ M : x+1 = -x +3 x = 1 Vậy M(1;2) (0,25đ)
Để (d1),(d2),(d3) đồng quy tại M thì d1 phải đi qua M m = 2 (0,25đ)
Câu 8(2,5 điểm) mỗi câu 0.5 điểm
a)Theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có
K D
’
E
1 2
1
1
12
1
1
Trang 4 O = 21' C
Mà 01 + 0ˆ1= 180o B +C = 90o
K = 90o Trong BDA có OD =
2
1
AB
BDA vuông D = 90o
T
ơng tự : E = 90 o
Tứ giác ADKE có K = D = E = 90o ADKE là hình chữ nhật
b) Có A1 +A2 =D1+D2 = 90o AK BC
Vậy AK là tiếp tuyến chung của hai đ ờng tròn
c) MKC cân tại M K1 = C
EKD = KEA E1 = EKA
Mà C + EKA = 90o Từ đó : K1 + E 1= 90o MK DE
Câu 9(2 điểm ) mỗi câu 1 điểm
x x x x x x 1 2x 3 2x 1 2x 3 2x = 4 (0,25đ)
(0,5đ)
Vậy GTNN là 4
0 3 2
0 2 1
x x
2
3 2
1
x (0,25đ)
b) P=
5 2
1 4
1
1
2 2
2
4
2
x x x x
x
x
x
(0,5đ)
GTLN của P là
5
1
khi x = 2 (0,5đ)
Câu 11(1,5 điểm)
Học sinh không vẽ hình không chấm điểm
Đặt BC = a , AC = b, AB = c
Kẻ BB’ ,CC’ vuông góc với AI
Ta có : IMA BB A’
AI IM'
AB BB c.r = IA.BB
’ T
ơng tự b.r = IA.CC’
Nên: (b+c)r = IA(BB’ + CC’ ) IA a
b a r
IC b
c a r
IB a
c
b
r
a
c c
a b
c c
b b
a a
b r
IC
IB
IA+IB+IC 6r
B
C
A
M
B
’ C
’
I
r B
