Bài soạn DE THI HSG TOAN 7 (CUC HAY)

Hỏi có thể làm để trên bảng chỉ còn lại số 1 được không?. Câu 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH.. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác ABE và ACF vuông cân tại A.. T

PHÒNG GD&ĐT VĨNH TƯỜNG

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2009-2010

Môn thi : Toán 7

Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 16/3/2010

-Câu 1: Tìm các số x, y, z biết.

a/ (x – 1)3 = - 8 b/ 9 7  x  5x 3

c/ x - 3 x = 0 d/ 12x = 15y = 20z và x + y + z = 48

Câu 2:

a/ Tìm số dư khi chia 22011 cho 31

b/ Với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6 Chứng minh rằng: 4a + a + b chia hết cho 6

c/ Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 6x2 + 5y2 = 74

Câu 3:

a/ Cho tỉ lệ thức a b

b c Chứng minh rằng ta có tỉ lệ thức: a22 b22 a







b/ Trên bảng có ghi các số tự nhiên từ 1 đến 2008, người ta làm như sau: lấy ra hai

số bất kì và thay vào bằng hiệu của chúng, cứ làm như vậy đến khi còn một số trên bảng thì dừng lại Hỏi có thể làm để trên bảng chỉ còn lại số 1 được không? Giải thích?

Câu 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH Vẽ về phía ngoài tam giác

ABC các tam giác ABE và ACF vuông cân tại A Từ E và F kẻ đường vuông góc EK và

FN với đường thẳng HA

a/ Chứng minh rằng: EK = FN

b/ Gọi I là giao điểm của EF với đường thẳng HA Tìm điều kiện của tam giác ABC

để EF = 2AI

Câu 5:

a/ Cho bốn số không âm thỏa mãn điều kiện a + b + c + d = 1 Gọi S là tổng các giá trị tuyệt đối của hiệu từng cặp số có được từ bốn số a, b, c, d Hỏi S có thể đạt được giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu

b/ Cho tam giác nhọn ABC với BAC = 600 Chứng minh rằng BC2 = AB2 + AC2 – AB AC

-Hết -(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO VĨNH TƯỜNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU SINH GIỎI NĂM HỌC 2009-2010

MÔN: TOÁN 7

========================================

1

(2đ)

a 0,5đ (x – 1)3 = - 8 => x – 1 = - 2 => x = - 1 Vậy x = - 1 0,5

b

0,5đ

9 7  x  5x 3 Điều kiện: x  3

5

=> 9 79 7 x x53 5x 3x

 =>122x x612 x x13

  (Thỏa mãn điều kiện) Vậy x = 1 hoặc x = 3

0,5

c

0,5đ

x - 3 x = 0 Điều kiện x  0

=> x x  3 = 0 => x = 0 hoặc x = 9 (thỏa mãn điều kiện)

d

0,5đ

12x = 15y = 20z =>

x y z x y z 

2

(2,5đ) a, 1đ

Ta có 25 = 32 1 (mod31) => (25)402  1 (mod31)

=> 22011  2 (mod31) Vậy số dư khi chia 22011 cho 31 là 2 1

b

0,75đ

Vì a nguyên dương nên ta có 4a 1 (mod3) => 4a + 2 0 (mod3)

Mà 4a + 2 0 (mod2) => 4a + 2  6 Khi đó ta có 4a + a + b = 4a + 2 + a +1 + b + 2007 – 2010  6 Vậy với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6 thì 4a + a + b chia hết cho 6

0,25 0,25 0,25

c

0,75đ

Từ 6x2 + 5y2 = 74 => 6x2  74 => x2  74

6

mà x nguyên => x2  0;1; 4;9 Mặt khác ta có x2 + 1 = 75 – 5x2 – 5y2

 5 => x2 = 4 hoặc x2 = 9 Nếu x2 = 4 => y2 = 10 (loại vì y nguyên)

Nếu x2 = 9 => y2 = 4 => (x, y)  (3, 2);(3, 2);( 3, 2);( 3, 2)     

0,25

0,25 0,25

3

1,75 đ a

1đ

Ta có a

c = a b.

b c => a

c =



    = a22

b = b22

c = a22 b22



Vậy nếu có tỉ lệ thức a b

b c ta có tỉ lệ thức: a22 b22 a







0,75 0,25

b

0,75đ

Gọi S là tổng tất cả các số được ghi trên bảng

Ta có S = 1 + 2 + 3 + … + 2008 = 2008.2009

2 = 1004.2009 là một số chẵn Khi lấy ra hai số a, b và thay vào bằng hiệu của hai

số thì tổng S bớt đi (a + b) – (a – b) = 2b là số chẵn

Nên tổng mới phải là một số chẵn

Vậy trên bảng không thể còn lại số 1

0,25

0,25 0,25

a 1,5

Chứng minh KAF = HBA ( ch – gn) => EK = AH Chứng minh NFI = HCA ( ch – gn) => FN = AH Suy ra EK = FN

0,5 0,5 0,5

b

0,75đ

Chứng minh KEI = NFI ( c.g.c) => EI = FI = EF

2

Mà AI = EF

2 (gt) => AI = EI = FI => IEA IAE  và IAF IFA  

=> EAF = 900 => BAC = 900

Vậy EF = 2AI khi tam giác ABC vuông tại A

0,25

0,25 0,25

5

(1,25đ)

a 0,75đ

Giả sử a b c d    0

Ta có S = a b b c  c d  a c  a d  b d

=> S = a – b + b – c + c – d + a – c + a – d + b – d

=> S = 3a + b – (c + 3d)

Mà c + 3d  0 => S  3a + b Mặt khác a + b + c + d = 1 => a  1

Suy ra S = 3a + b = 2a + a + b  2.1 + 1 = 3 Dấu bằng xảy ra khi

c 3d 0

1 1

a b c d a







 



<=> a b c d1 0

  



Vậy S lớn nhất bằng 3 khi trong bốn số a, b, c, d có một số bằng

1 còn ba số bằng 0

0,25 0,25

0,25

b

0,5đ

Kẻ BH AC

Vì BAC 600 => ABH = 300 => AH =

2

AB

(1)

Áp dụng dịnh lí Pytago ta có

AB2 = AH2 + BH2 và BC2 = BH2 + HC2

=> BC2 = AB2 – AH2 + CH2 => BC2 = AB2 – AH2 + (AC – AH)2

=> BC2 = AB2 – AH2 + AC2 – 2AH.AC + AH2

=> BC2 = AB2 + AC2 – 2AH.AC (2)

Từ (1) và (2) => ĐPCM

0,25

0,25

Ghi chú: Đáp án trên chỉ là một trong những cách làm đúng, nếu học sinh làm đúng bằng cách khác cho điểm tối đa

K I

H

E

C B

A

H

C B

A