[r]
Trang 1Phòng GD-ĐT Hải Hậu
Trờng THCS B Hải Minh Đề thi thử vào lớp10 thpt
đề dùng cho hs thi vào trờng chuyên
(Thời gian làm bài 150 )’
Bài 1(1đ): Cho biểu thức
P= x√x − 3
x − 2√x − 3 −
2(√x − 3)
√x+1 +
√x+ 3
3−√x
Rút gọn P
Bài 2(1đ): Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng phơng trình:
x2 + (a + b + c)x + ab + bc + ca = 0 vô nghiệm
Bài 3(1đ): Giải phơng trình sau:
4√5 − x +6√2 x +7=x+25
Bài 4(1đ): Giải hệ phơng trình sau:
¿
2 x2− y2+xy + y −5 x+2=0
x2
+y2
¿ {
¿
Bài 5(1đ): Chứng minh rằng:
(√33+2√2+√33 −2√2)8> 36
Bài 6(1đ): Cho x, y, z> 0 thoả mãn: 1
1
1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P=√2 x2+y2
xy +√2 y2+z2
yz +√2 z2+x2
zx
Bài 7(1đ): Trong mặt phẳng 0xy cho đờng thẳng (d) có phơng trình
2kx + (k - 1)y = 2 (k là tham số) a) Tìm k để đờng thẳng (d) song song đờng thẳng y = x √3 Khi đó tính góc tạo bởi đờng thẳng (d) với 0x
b) Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đờng thẳng (d) lớn nhất
Bài 8(1đ): Cho góc vuông x0y và 2 điểm A, B trên Ox (OB > OA >0), điểm M bất kỳ trên
cạnh Oy(M O) Đờng tròn (T) đờng kính AB cắt tia MA,MB lần lợt tại điểm thứ hai:
C , E Tia OE cắt đờng tròn (T) tại điểm thứ hai F
1 Chứng minh 4 điểm: O, A, E, M nằm trên 1 đờng tròn
2 Tứ giác OCFM là hình gì? Tại sao?
Bài 9(1đ): Cho tam giác ABC nhọn có 3 đờng cao: AA1, BB1, CC1 đồng quy tại H.
Chứng minh rằng: HA
HA1+
HB
HB1+
HC
HC1≥ 6 Dấu "=" xảy ra khi nào?
Bài 10(1đ): Cho 3 tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng, đôi một vuông góc với nhau Lấy
điểm A, B, C bất kỳ trên Ox, Oy và Oz
a) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng: OH vuông góc với mặt phẳng ABC
b) Chứng minh rằng: S2 ABC
=S2 OAB
+S2 OBC
+S2 OAC
Đáp án:
Bài 1
(1 điểm) Điều kiện:¿
x ≥ 0
⇔0 ≤ x ≠ 9
¿ { {
¿
0.25
0.25
Trang 2* Rót gän:
¿
¿
¿
0.25 0.25
Bµi 2
(1 ®iÓm)
Ta cã: D =(a + b + c)2 - 4(ab + bc + ca) = a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca
* V× a, b, c lµ 3 c¹nh D Þ a2 < (b + c)a
b2 < (a + c)b
c2 < (a + b)c
Þ a2 + b2 + c2 < 2ab + 2ac + 2bc
Þ D < 0 Þ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
0.25 0.25
0.25 0.25
Bµi 3
(1 ®iÓm)
Bµi 4
(1 ®iÓm)
* §iÒu kiÖn:
¿
5 − x ≥ 0
2 x +7 ≥ 0
⇔− 7/2≤ x≤ 5
¿ {
¿
* Ph¬ng tr×nh
¿√2 x +7 − 3=0
√5 − x − 2=0
¿
⇔ x=1
⇔(√2 x +7 −3)2+(√5 − x −2)2=0
⇔
{
Gi¶i hÖ:
¿
2 x2+xy − y2−5 x+ y − 2=0 (1)
x2+y2+x + y − 4=0(2)
¿ {
¿
Tõ (1) Û 2x2 + (y - 5)x - y2 + y + 2 = 0
y −1¿2
¿
⇒
¿
x= 5 − y −3 ( y − 1)
4 =2 − y
¿
x= 5− y +3( y −1)
y +1
2
¿
¿
¿
¿
¿Δ x= ¿
0.25
0.25 0.25 0.25
0.25
* Víi: x = 2 - y, ta cã hÖ:
Trang 3x2
+y2
¿
⇔
⇔ x= y=1
¿ {
¿
*Với x= y+1
2 , ta có hệ:
¿
¿x= y +1
2
¿
⇔
⇒
¿
5
5
¿
¿ {
¿
Vậy hệ có 2 nghiệm: (1;1) và (−4
5;−
13
5 )
0.25
0.25
0.25
Bài 5
(1 điểm)
Đặt a = x + y, với: x=√3 3+2√2 ; y=√33 −2√2
Ta phải chứng minh: a8 > 36
Ta có:
x3
+y3 =6
x y =1
¿
x+ y¿3=x3+y3+3 xy (x+ y)=6+3 a
¿
¿
¿ {
¿
= ¿
(vì: x > 1; y > 0 ị a > 1)
ị a9 > 93.a Û a8 > 36 (đpcm)
0.25 0.25 0.25 0.25
Bài 6
(1 điểm)
* áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky cho: 1, √2 và 1
x ,√
2
y
(1 2
+√2 2
)(x12+
2
y2)≥(1x+
2
y)2
⇒√2 x2+y2
xy =√y22+
1
x2≥
1
√3(1x+
2
y)(1)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y
Tơng tự:
0.25
0.25
Trang 4√2 y2+z2
1
√3(1y+
2
z)(2)
√2 z2+x2
1
√3(1z+
2
x)(3)
Từ (1), (2), (3) ⇒ P ≥ 1
√3(3x+
3
3
Suy ra: Pmin = 3 khi: x = y = z = √3
0.25
0.25
Bài 7
(1 điểm)
1).* Với k = 1 suy ra phơng trình (d): x = 1 không song song:
y = √3 x
* Với k 1: (d) có dạng: y=− 2 k
k − 1 x +
2
k −1
để: (d) // y = √3 x Û − 2 k
k −1=√3 ⇒k=√3(2 −√3) Khi đó (d) tạo Ox một góc nhọn a với: tga = √3 ị a = 600
2)* Với k = 1 thì khoảng cách từ O đến (d): x = 1 là 1
* k = 0 suy ra (d) có dạng: y = -2, khi đó khoảng cách từ O đến (d) là 2
* Với k 0 và k 1 Gọi A = d ầ Ox, suy ra A(1/k; 0)
B = d ầ Oy, suy ra B(0; 2/k-1)
Suy ra: OA = |1k|; OB=|k −12 |
Xét tam giác vuông AOB, ta có :
1
OH 2 = 1
OA 2 + 1
OB 2
2
√5(k −1
5)2+ 4 5
2
√5
=√5
Suy ra (OH)max = √5 khi: k = 1/5
Vậy k = 1/5 thì khoảng cách từ O đến (d) lớn nhất
0.25 0.25
0.25
0.25
Bài 8
(1điểm) y M
a) Xét tứ giác OAEM có: F
O❑+E❑=2 v E (Vì: E❑=1 v góc nội tiếp )
Suy ra: O, A, E, M B
cùng thuộc đờng tròn
O A x
C
b) Tứ giác OAEM nội tiếp, suy ra: M❑1=E❑1
*Mặt khác: A, C, E, F cùng thuộc đờng tròn (T) suy ra: E❑1=C❑1
Do đó: M❑1=C❑1⇒OM // FC⇒ Tứ giác OCFM là hình thang
0.25
0.25
0.25 0.25
Bài 9 b)* Do tam giác ABC nhọn, nên H nằm trong tam giác
1
1
1
Trang 5* Đặt S = SDABC; S1 = SHBC; S2 = SHAC; S3 = SHAB A
Ta có: C1 B1
S
S1=
1
2 AA1 BC 1
2 HA1 BC
= AA1
HA1=1+
HA
HA1 H
Tơng tự: S
HB
HB1 B A1 C
S
HC
HC1 Suy ra:
HA
HA1+
HB
HB1+
HC
HC1=S(S11+
1
S2+
1
S3)− 3
(S1 +S2 +S3 )(S11+
1
S2+
1
S3)−3
Theo bất đẳng thức Côsy:
¿ =(S1+S2+S3)(S11+
1
S2+
1
S3)≥ 9
⇒HA
HA1+
HB
HB1+
HC
HC1 ≥9 − 3=6
Dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC đều
0.25
0.25
0.25 0.25
Bài 10
(1điểm)
a) Gọi AM, CN là đờng cao của tam giác ABC
Ta có: AB ^ CN
AB ^ OC (vì: OC ^ mặt phẳng (ABO)
Suy ra: AB ^ mp(ONC) ị AB ^ OH (1)
Tơng tự: BC ^ AM; BC ^ OA, suy ra: BC ^ mp (OAM) ị OH ^ BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra: OH ^ mp(ABC)
b) Đặt OA = a; OB = b; OC = c
Ta có: S Δ ABC= 1
2CN AB⇒ S Δ ABC2 = 1
4CN
2 AB 2
= 1
4(OC
2
+ ON 2
) (OA 2
+ OB 2
) Mặt khác: Do tam giác OAB vuông, suy ra:
1
ON2=
1
OA2+
1
OB2=
1
a2+
1
= a2b2
a2+b2
4(c2+ a2b2
a2
+b2)(a2+b2)= 1
4 a
2
b2+ 1
4c
2
b2+ 1
4a
2
c2= ¿SOBC2 +SOAB2 +SOAC2
0.25 0.25
0.25
0.25