129 đề HSG toán 7 huyện thạch thành 2017 2018

6,0 điểm Cho tam giác ABC vuông tại.. A Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE Gọi.. I là giao điểm của BE và CD Chứng.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN THẠCH THÀNH

ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7

MÔN TOÁN 7 NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1 (4,5 điểm)

1) Tính giá trị các biểu thức sau:

a) 3 4 : 7 4 7 : 7

7 11 11 7 11 11

A     

b)

 

12 5 6 2 6

2 3 4 9

2 3 8 3



2) Cho

3 5

x  y Tính giá trị biểu thức

10 3

C







Câu 2 (4,5 điểm)

1) Tìm các số , ,x y z biết:

a) ;

2 3 5 7

x  y y  z và x  y z 92

b)  2016  2016 2017

x  y  x yz 

2) Tìm ,x y nguyên biết: xy3x y 6

Câu 3 (3,0 điểm)

1) Tìm đa thức A biết:  2 2 2

A xy y  x  xy y

2) Cho hàm số y f x( )ax2có đồ thị đi qua điểm  2 

1;

A a a a

a) Tìm a

b) Với a vừa tìm được, tìm giá trị của x thỏa mãn f 2x 1 f 1 2 x

Câu 4 (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE Gọi I là giao điểm của BE và CD Chứng minh rằng:

)

a BECD

b) BDElà tam giác cân

0

) 60

c EIC  và IA là tia phân giác của DIE

Câu 5 (2,0 điểm)

1) Tìm số hữu tỉ ,x sao cho tổng của số đó với nghịch đảo của nó có giá trị là

một số nguyên

2) Cho các số , ,a b c không âm thỏa mãn : a3c2016;a2b2017.Tìm giá

trị lớn nhất của biểu thức P  a b c

ĐÁP ÁN Câu 1

 

 

12

12 5 6 2

6

7 11 11 7 11 11 7 11 7 7 11 7

2

2 3 4 9

)

2 3 8 3

a A

A

b B

          

                





   

12 4

12 5

.3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 1

2 3 2 3 2 3 3 1

2 3 2 3

2 3 2 1

2 3 4 6



5

3 5

x k

x y

k

y k





    

 Khi đó:

   

   

5 3 3 5

8

10 3 10 3 3 5 90 75 15

C



Câu 2

a) Ta có: 2 3 10 15

10 15 21

5 7 15 21

x y z

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau và x  y z 92,ta được:

92 2

10 15 21 10 15 21 46

2

15

42 2

x

x y

y z z

 

 

 









   

 



b) Ta có:  2016

x  x;  2016

2y1  0 y; 2017

x yz  x y z

 2016  2016 2017

        Dấu " " xảy ra

 

2016

2016 2017

2

x

z







2 Ta có: xy3x  y 6 x y  3 y  3 6 3

x 1y 3 3 1.3 3.1        1 3 3 1

            Ta có bảng sau:

1

3

Vậy     x y;  2;0 ; 4; 2 ; 0;6 ;     2; 4 

Câu 3 1) Ta có:

4 4

A x xy y

2)

a) Vì đồ thị hàm số y f x( )ax2đi qua điểm  2 

1;

A a a a nên:

 

a  a a a  a  a a   a a  a

b) Với a  1 y f x( ) x 2

2 1 1 2 2 1 2 1 2 2

2

f x  f  x  x    x   x

Câu 4

a) Ta có:

1

2

90 60 90 150

90 60 90 150

DAC A

DAC BAE BAE A





Xét DAC và BAEcó: DABA gt DAC( ); BAE cmt AC( );  AE gt( )

( )

DAC BAE c g c BE CD

      (hai cạnh tương ứng)

b) Ta có : A3 A1BAC A2 3600

A

2

1 2

2

1

3 2 1

E

D

B

Xét DAEvà BAEcó: DABA gt A( ); 3 DAC cmt AE( ); chung

( )

DAE BAE c g c DE BE BDE

        cân tại E

c) Ta có: DAC BAE cm( câu a)E1 C1(hai góc tương ứng)

Lại có: I1E2ICE1800(tổng 3 góc trong ICE)

0

1

180

120 180 ( )

60

I

 

Vì DAE BAE cm( câu b)E1E2(hai góc tương ứng)EAlà tia phân giác của DEI (1)

Vì DAC BAE DAC DAE D1 D2

DAE BAE

  

 (hai góc tương ứng)DAlà tia phân giác của EDC (2)

Từ (1) và (2)  A là giao điểm của 2 tia phân giác trong DIE IAlà đường

phân giác thứ 3 trong DIE IAlà tia phân giác của DIE

Câu 5

1) Gọi x mm n, ,n 0,m n,  1 

n

    Khi đó:

1

(1)

x



Để x 1

x

 nguyên thì m2 n mn2

2

m n m

n m n m

Mà  ,  1 1

1

m

m n

m





    



*)Với m1:

Từ (1), ta có:

1

x

x

 nguyên thì 1n n2 1 nhay 1

n 

*)Với m 1:

Từ (1), ta có:  

 

1

1

x

1

x x

 nguyên thì 2  

1n ( n) 1 n

hay n 1

Khi đó 1 1 1 1

1 1 1 1

m

x

n

  hay x 1 2) Ta có: a3c2016(1)và a2b2017(2)

Từ (1)  a 2016 3 c

Lấy (2)  1 ta được 2 3 1 1 3

2

c

b c  b 

Khi đó:

P   a b c  c    c       

Vì a b c không âm nên , , 20161 2016 ,1

c

2

MaxP  c