Đề ôn tập học kỳ II Toán 7 – Số 14

Nếu G là một đồ thị liên thông có q cạnh thì hành trình ngắn nhất trong G có chiều dài q + mG, trong đó mG là số cạnh mà hành trình đi qua hai lần và được xác định như sau: Gọi V0G là tậ[r]

CHƯƠNG IV

ĐỒ THỊ EULER VÀ ĐỒ THỊ HAMILTON

4.1 ĐƯỜNG ĐI EULER VÀ ĐỒ THỊ EULER.

Có

“bài toán

vùng

Kneiphof và

G

Dân thành

G C hình trên

Bài toán tìm

phát

T ' các 4V

4.1.1 Định nghĩa: Chu trình

Thí dụ 1:

_  không ^ Euler

_  ^ Euler

A D

B

C

C B

_  Euler

_  Euler _  ^ Euler

khi ông

là  lý + tiên 1 lý   ;

4.1.2 Định lý:

1 G * có $a b;

Chứng minh:

khác,

* có $a b;

4.1.3 Bổ đề:

Z;

nhiên Vì

trong  v1 là i+1 là i và vi+1  vi-1 (có 

2 C a vì deg(vi)  2), v0 = v Do

tiên  vk=vi (0i<k) Khi i, vi+1, , vk-1, vk (= vi) là

tìm

chu trình

G và rõ ràng

trình Euler trong G C sau:

thông CZ# [# trong H, Quá trình f  thúc khi ta /, * U LT phát, [ là thu

4.1.4 Hệ quả: _  liên thông G là ^ Euler (mà không là Euler) khi và U khi có

`# hai U $a t trong G

duy T trong G có $a t;

Euler

Euler P u  v trong G hay G là ^ Euler

4.1.5 Chú ý: Ta có

1

2 Không bao

C

theo

(y,w), (y,z),

(z,y) và z)

(x,v)

4.1.6 Bài toán người phát thư Trung Hoa:

Bài toán CD nhà toán 2 Trung Hoa Guan nêu lên + tiên (1960), vì a

Cho

trong G Trong các hành trình  hãy tìm hành trình #Q T [ là qua ít 4 T;

Rõ ràng

trong G (qua

là hành trình

Ta quy

GT, có

qua hai +; Bài toán \ ra CD C * bài toán sau:

Trong các   Euler GT, tìm   có % 4 ít T (khi  chu trình Euler trong   này là hành trình #Q T:;

Định lý (Gooodman và Hedetniemi, 1973)

q + m(G), trong

0(G) là a= D= các U $a t (2k U: 1 G Ta phân 2k =+ ^ 1 G

Ta

i):

m(G)=min d(Pi).

Thí

G GT

<a= D= các U $a t VO(G)={B, G, H, K} và a= D= các phân  4 \= là P={P1, P2, P3}, trong 

P1 = {(B, G), (H, K)}  d(P1) = d(B, G)+d(H, K) = 4+1 = 5,

P2 = {(B, H), (G, K)}  d(P2) = d(B, H)+d(G, K) = 2+1 = 3,

P3 = {(B, K), (G, H)}  d(P3) = d(B, K)+d(G, H) = 3+2 = 5

m(G) = min(d(P1), d(P2), d(P3)) = 3

Do  GT có CD P G $F# cách thêm vào 3 4R (B, I), (I, H), (G, K) và GT là

T:

A, B, C, D, E, F, K, G, K, E, C, J, K, H, J, I, H, I, B, I, A

4.1.7 Định lý:

U 1 G * có $a vào $F# $a ra

4.1.8 Bổ đề:

Z 1 thì G [ chu trình Z;

4.1.9 Hệ quả: _  có C # liên thông  G là ^ Euler (mà không là Euler) khi

và

dego(x) = degt(x)+1, degt(y) = dego(y)+1, degt(v) = dego(v), vV, v  x, v  y

Chứng minh: [# minh CZ# W C , o! S' 4.1.4.

4.2 ĐƯỜNG ĐI HAMILTON VÀ ĐỒ THỊ HAMILTON.

vòng quanh

Cho

D

F

chéo

tìm

ô LT phát

Bài toán này

Vandermonde,

quy

%#  là ít T;

trình

Trò

Hamilton

4.2.1 Định nghĩa: Chu trình

Hamilton)

Thí dụ 3: 1)

Hamilton A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, A

2) Trong

C

J

T

F

S R

Xét

trong hai cung (u,v)

G cho ta W Q= L= + tìm

3)

Euler qua

khó

4.2.2 Định lý (Rédei):

Hamilton

D

T

1,v2, ., vk-1, vk) là

, vk-1, vk)

thì ta chen v vào i và vi+1 2=(v1, v2, , vi, v, vi+1, , vk)

, vk-1, vk, v)

4.2.3 Định lý (Dirac, 1952):

2

n

Hamilton Ta thêm vào G

ta

trình Hamilton BC a G’ có n+k U;

còn y là

Ngoài ra,

ngay a’ trong chu trình P thì b’ không

thay P

T d T 1 k

không

2

n

a

b’

a' b y

2 nào

2

n

+k)=n+2k, mâu

[# minh

4.2.4 Hệ quả:

Z thì G là   ^ Hamilton

2

1



n

Do  theo _ lý 2

1



n

4.2.3, trong G’ có

4.2.5 Định lý (Ore, 1960):

không

2

n

Thí dụ 4:

_  G này có 8 U U nào †# _  G’ này có 5 U $a 4 và 2 U

có $a 4, nên theo _ lý 4.2.3, G là $a 2 * nhau nên @# % $a 1 hai U

  Hamilton không * nhau $T x $F# 7  \ 8, nên theo _ lý 4.2.5, G’ là   Hamilton

e

f

g

h

b

a

e

f

g

d

a

 \ 3 (> 3/2), nên theo _ lý 4.2.6, nó là 

 Hamilton

4.2.7 Bài toán sắp xếp chỗ ngồi:

Có n

quanh

quen

Xét

1 Kn (hai chu trình Hamilton

Định lý: _  + 1 Kn chu trình Hamilton phân

2

1



n

Chứng minh: Kn có

2

) 1 (n

n

2

1



n

n là 1, 2, , n

Hamilton

, 2 , 3 , , , 1

3600



3600



3600



3



n

1

3600



n

2

3



n

2

1



n

Hamilton phân

Thí

Có (111)/2=5 cách

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1

1 3 5 2 7 4 9 6 11 8 10 1

1 5 7 3 9 2 11 4 10 6 8 1

1 7 9 5 11 3 10 2 8 4 6 1

1 2

3

4 5

n

1 9 11 7 10 5 8 3 6 2 4 1

1

a) chu trình Euler ? b)

4 [# minh /F#   a= =CZ# Q n là

các chu trình Hamilton 1   a= =CZ# Q3

5 Trong

bên

6

n sinh viên

viên

 quen

7.

cùng

Hãy tìm

1

2

3

7 5

1 9

8 6

1 2

3

9 1 4

1

1 2

3

9 1 4

6

1 8

3

1 9

7 5

4

1

2 3

9

4

1

9.

10. [# minh /F#   G cho trong

hình sau có

C# không có chu trình Hamilton

2 1

15

19

a e

b g

a) Tìm b)

a

c

b

s

r

f e d

g

h

11. Cho thí As *R

1)

2)

không trùng nhau;

3)

4)

12.

5 x 5 ô vuông,