Bài soạn PHUONG TRINH DUONG THANG

Phương pháp chung Xác định hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng đó và viết phương trình 2 mặt phẳng đó... Giải: Gọi d’ là hình chiếu vuông góc của d lên mp P VD4: cho mp P và đường thẳ

y z

o

-12x + 14y + 5z + 25 = 0

 12 x 3 14(y 1) 5(z 5) 0     

P

Q

Kiểm tra bài cũ

Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC Biết

A( 3 ; -1 ; 5 ) ; B ( 4 ; 2 ; -1 ) ; C ( 1 ; -2 ; 3 )

Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng

a) (P) qua A và vuông góc với BC

b) (Q) qua ba điểm A ;B ;C

Giải

a) Mặt phẳng (P) qua A( 3 ; -1 ; 5) và có VTPT là    

BC ( 3; 4 ;4) phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là

 3 x 3 4(y 1) 4(z 5) 0     

-3x – 4y + 4z – 15 = 0 b) Mặt phẳng (Q) có cặp VTCP là AB (1;3; 6)   

và AC ( 2; 1; 2)     

n AB, AC ( 12 ;14 ;5 )

        

là VTPT của mặt phẳng (Q) phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) là





A

PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG























0 ' ' ' '

0

D z C y B x A

D Cz By Ax

P

Q









Ax + By + Cz + D = 0

O

x

y

z

2 2 2

A  B  C 0 ;A'2  B'2  C'2  0

' ' '

A : B : C A : B : C

Điều kiện :

(1)

gọi là phương trình tổng quát

của đường thẳng Δ

nằm trên đường thẳng d hoặc nằm

trên đường thẳng song song với d

được gọi là vectơ chỉ phương của d

1) Vec tơ chỉ phương của đường thẳng :

u  

u

d

a

b

u a,b

 

  

2.Phương trình tổng quát của đường thẳng :

Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng

(P): Ax + By + Cz +D =0

(Q):A’x + B’y + C’z + D’ =0

(P) Cắt (Q) theo giao tuyến là đường thẳng Δ

hệ phương trình

(P) (Q)

p

Phương pháp chung

Xác định hai mặt phẳng

cùng chứa đường thẳng

đó và viết phương trình 2

mặt phẳng đó.

Để lập phương trình tổng quát của một đường thẳng ta làm

như thế nào?

1.Phương trình tổng quát của đường thẳng :

x

y

z

X = 0

y = 0

Z = 0

Chú ý :

y 0 0x :

z 0











Phương trình các trục tọa độ

x 0

;0y :

z 0











x 0

;0z :

y 0











O

Q

Ví dụ :

Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC Biết

A( 3 ; -1 ; 5 ) ; B ( 4 ; 2 ; -1 ) ; C ( 1 ; -2 ; 3 )

Tìm phương trình tổng quát của đường cao

Kẻ từ A của tam giác ABC

Giải

Mặt phẳng (P) qua A( 3 ; -1 ; 5) và có VTPT là    

BC ( 3 ; 4 ;4) PTTQ của mp (P) là:  3 x 3 4(y 1) 4(z 5) 0       

-3x – 4y + 4z – 15 = 0 Gọi (Q) là mp qua 3 điểm A,B,C

Mặt phẳng (Q) có cặp VTCP là AB (1;3; 6)   

và AC ( 2; 1; 2)      ( 12 ;14 ;5 )

n AB, AC 

       

là VTPT của mặt phẳng (Q) PTTQ của mặt phẳng (Q) là

-12x + 14y + 5z + 25 = 0

 12 x 3 14(y 1) 5(z 5) 0     





A

Gọi (P) là mp qua A( 3 ; -1 ; 5) và (P)  BC

Gọi d là đường cao kẻ từ A

d (P) (Q)  

d :



-3x – 4y + 4z – 15 = 0

-12x + 14y + 5z + 25 = 0

d

PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG

2.Phương trình tổng quát của đường thẳng :

3.Phương trình tham số, phương trinh chính tắc của đường thẳng







Ax + By + Cz + D = 0

A’x + B’y + C’z + D’ = 0

2 2 2

; A  B  C 0 ;A'2  B'2  C'2  0

' ' '

A : B : C A : B : C

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d đi qua điểm

và có một VTCP là M (x ; y ;z )O 0 0 0 u (a;b;c) 

1) Vec tơ chỉ phương của đường thẳng :

 







0 0 0

x x at

y y bt

z z ct

Phương trình tham số,chính tắc của đường thẳng

O 0 0 0

M (x ; y ;z )

o

x

y

z

d

 u

0

M M

u (a; b;c)  

Cho đường thẳng d đi qua điểm

Và có vectơ chỉ phương

M ( x ; y ; z ) nằm trên đường thẳng d Khi và chỉ khi M M0 Cùng phương với u 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

M M tu

Nghĩa là tồn tại một số t sao cho

M M (x x ;y y ;z z )





tu (at ; bt ; ct)

(1)

(1)





   

  



0 0 0

x x at

y y bt

z z ct















  













0

0

0

x x t

a

y y t

b

z z t

c

Khử t

Ta được PT

x x y y z z

a b c Gọi là phương trình chính tắc của d

Gọi là phương trình tham số của d

PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG

2.Phương trình tổng quát của đường thẳng :

3.Phương trình tham số, phương trinh chính tắc của đường thẳng







Ax + By + Cz + D = 0

A’x + B’y + C’z + D’ = 0

2 2 2

; A  B  C 0 ;A'2  B'2  C'2  0

' ' '

A : B : C A : B : C

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d đi qua điểm

và có một VTCP là M (x ; y ;z )O 0 0 0 u (a; b;c) 

 Hệ phương trình

0

x = x 







  



0 0

at

2 2 2

t là tham số

Quy ước: Nếu a =0 thì x x0 0

2 2 2

gọi là phương trình tham số của đường thẳng d

 Hệ phương trình

gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng

d

nên d có VTCP VTCP

u ( 3 ; - 1; 5 )

4.Các ví dụ:

VD1:viết phương trình tham

số của đường thẳng d trong

các trường hợp sau :

a) Đi qua điểm A(1;-2;3) và

vuông góc với mặt phẳng

(P) : -2x + 3y – z + 7 = 0

b) Đi qua điểm M( -1;0;2) và

song song với đường thẳng

d’ có phương trình:

x 1 2t

y 2 3t

z 3 t

 





 



  



Đường thẳng d’ có VTCP là :

1 -1 -1 2 2 1

u ; ; (3;-1;5)

2 1 1 -1 -1 2



Phương trình tham số của d’ là d’





 





nên d cóVTCP là ( -2; 3;-1)

d qua A (1;-2;3)

u

Giải

u 

P

a)(P) có VTPT ( -2; 3;-1)u 

 

b)

/

d d

d

'

d

M

d

A

Phương trình tham số của d là :

và d đi qua điểm M(-1; 0; 2)

Ví dụ 2 :

1 -1 -1 2 2 1

2 1 1 -1 -1 2



2x y z 1 0

d :

x 2y z 2 0

   







Đường thẳng d qua A(-3;0;-5)

và có VTCP là :

Phương trình tham số của d là

Cho

Viết phương trình tham số và

chính tắc của đường thẳng d

Giải

x 3 3t

z 5 5t

 







  



Phương trình chính tắc của d là



Ví dụ 3 :

Cho

x 2 2t

d : y 3 t

z 2 3t

 





 



  



Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d dưới dạng giao của hai mặt phẳng song song với các trục Ox và Oz

Phương trình chính tắc của d là

d :

 phương trình tổng quát của d là

3y z 11 0

d :

x 2y 4 0







(song song Ox) (song song Oz)



Giải: Gọi d’ là hình chiếu

vuông góc của d lên mp (P)

VD4: cho mp (P) và đường thẳng (d) có phương trình :

Viết phương trình đường thẳng d’

là hình chiếu vuông góc của đường

thẳng d trên mặt phẳng (P)

(P) : 2x 4y z 2 0.

(d) :



d

d’

Mặt phẳng (Q) có VTPT là:

4 -1 -1 -2 -2 4

n ; ; (15;6;-6)

1 4 4 2 2 -1





(Q): 15x+6y-6z- 9=0

mp (Q) đi qua điểm A(1;-1;0) trên d

và có cặp vectơ chỉ phương là

n ( 2;4; 1) và u (2    ; 1;4)

P

Q

Gọi (Q) là mp chứa d và d’

Thì : d' (P) (Q)

Vậy PTTQ của d’ là

PT TQ của mp (Q) là :

Chú ý :cho

A ( ; ; )xA yA zA và B ( ; ; )

B

x yB zB

A

A

x

A

z

B

x  yB yA zB zA PTCT của đường thẳng đi qua 2 điểm AB là :

PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG

2.Phương trình tổng quát của đường thẳng :

3.Phương trình tham số, phương trinh chính tắc của đường thẳng







Ax + By + Cz + D = 0

A’x + B’y + C’z + D’ = 0

2 2 2

; A  B  C 0 ;A'2  B'2  C'2  0

' ' '

A : B : C A : B : C

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d đi qua điểm

và có một VTCP là M (x ; y ;z )O 0 0 0 u (a; b;c) 

 Hệ phương trình

0

x = x 







  



0 0

at

2 2 2

t là tham số

Quy ước: Nếu a =0 thì x x0 0

2 2 2

gọi là phương trình tham số của đường thẳng d

 Hệ phương trình

gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng

d

(P)

A

(Q)

n  AB , AC 



 

   

Đường cao của tam giác