Bài soạn Đường Elip

Khoảng cách 2c được gọi là tiêu cự của elip... Phương trình chính tắc của elip• Cho elip E như trong định nghĩa trên.. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc là trung điểm của đoạn thẳng F1F2..

§5 : ĐƯỜNG ELIP

TIẾT : 58 I.Giới thiệu

Trái đất quay xung quay

mặt trời theo quỹ đạo hình

elip

( J.Keple )

HĐ1 : Hãy quan sát hình sau và nhận xét về :

• Chu vi tam giác

MF 1 F 2 và độ dài

đoạn dây kín?

Chu vi tam giác

MF 1 F 2 luôn bằng độ dài của sợi dây kín.

Tổng MF 1 + MF 2 cũng không đổi do khoảng cách F 1 F 2

không đổi.

• Tổng MF 1 + MF 2 ?

I Định nghĩa

• Cho hai điểm cố định F1 và F2 với F1F2 = 2c (c > 0 ).

• Đường elip ( còn gọi là elip ) là tập hợp các điểm M sao cho MF 1 +MF 2 = 2a, trong đó a là số cho trước lớn hơn c.

• Hai điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của elip

Khoảng cách 2c được gọi là tiêu cự của elip.

2

M

II Phương trình chính tắc của elip

• Cho elip (E) như trong định nghĩa trên Chọn hệ trục tọa độ

Oxy có gốc là trung điểm của đoạn thẳng F1F2 Trục Oy là

đương trung trực của F1F2 và F2 nằm trên tia Ox

Với cách chọn hệ trục tọa độ như vậy thì tọa độ của

hai tiêu điểm là gì ?

Tọa độ các tiêu điểm là

F1 (-c ; 0)

F2 (c ; 0)

a

6 4 2

-2 -4 -6 -8

f y ( ) = a -y

a A = -10.04

y B 2(0,b ) = 6.04

M

HĐ 2 : Giả sử M(x;y) nằm trên elip (E) Tính giá trị

MF 1 2 -MF 2 2 r i k t h p đ nh ngh a ồ ế ợ ị ĩ MF1 + MF2 =2a

đ tính ể MF1 - MF2 T ừ đó hãy suy ra giá trị của

MF 1 và MF 2 ?

Ta có :

MF 1 2 -MF 2 2 = ((x + c ) 2 + y 2 ) - ((x - c ) 2 + y 2 )) = 4cx

=> (MF 1 – MF 2 )( MF 1 + MF 2 ) =4cx

⇒(MF 1 – MF 2 ).2a = 4cx

2

MF MF a

MF a= + a MF = −a a

Các đoạn thẳng MF1, MF2 được gọi là bán kính qua tiêu

của điểm M

Lập phương trình của elip (E) đối với hệ trục tọa độ đã chọn như trên Ta có

MF a x c y

a

= + = + + hay (a + cx a )2 = +(x c)2 + y2

Rút gọn đẳng thức trên ta được :

2

a

− + = − x22 2y2 2 1

a a c

−

Vì a 2 – c 2 > 0 nên ta có thể đặt a 2 – c 2 = b 2 ( với b > 0 )

và ta được :

2 2

Ngược lại, có thể chứng minh được rằng : Nếu điểm M có tọa độ (x ; y) thõa mãn (1) thì :

Và do đó MF 1 + MF 2 =2a , tức là M thuộc elip (E)

Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip

đã cho

III Một số ví dụ

a) Hãy viết phương trình chính tắc của elip có tiêu điểm là F1, F2

và đi qua I

b) Khi M chạy trên elip đó, khoảng cách MF1 có giá trị nhỏ nhất

và giá trị lớn nhất là bao nhiêu

Ví dụ 2 Viết phương trình chính tắc của elip đi qua hai điểm

M(0 ; 1) và N ( 1 ; )3

2

VI Củng cố