Khoảng cách 2c được gọi là tiêu cự của elip.. Phương trình chính tắc của elip M M Câu hỏi: Trong cách vẽ đường elip ở trên, gọi vị trí đầu bút trì là M.Khi M thay đổi,có nhận xét g
Trang 21 Định nghĩa đường elip
BÀI 5:
Định nghĩa
M
Cho hai điểm cố định F 1 và F 2
với F 1 F 2 = 2c(c>0)
Đường elip (còn gọi là elip) là
tập hợp các điểm M sao cho
MF 1 + MF 2 =2a, trong đó a là
số cho trước lớp hơn c
Hai điểm F 1 và F 2 gọi là các
tiêu điểm của elip Khoảng
cách 2c được gọi là tiêu cự
của elip
2 Phương trình chính tắc của elip
M
M
Câu hỏi: Trong cách vẽ
đường elip ở trên, gọi vị
trí đầu bút trì là M.Khi M
thay đổi,có nhận xét gì về
và tổng khoảng cách
MF1 + MF2?
Trang 42.Phương trình chính tắc của elíp
M
Cho hai điểm F 1 và F 2 , F 1 F 2 = 2c(c>0)
(E) = {M: MF 1 + MF 2 = 2a, a>c}, Hai điểm
F 1 , F 2 gọi là các tiêu điểm của elip, F 1 F 2
= 2c gọi là tiêu cự của elip.
Cho (E) như trong định nghĩa
trên Ta chọn hệ trục toạ độ OXY
có góc là trung điểm của đoạn
thẳng F 1 F 2, Trục oy là đường
trung trực của F 1 F 2 và F 1, F 2 nằm
trên tia ox
y
x O
c, 0 c, 0
Câu hỏi : Với cách trọn hệ trục toạ độ
như vậy hãy cho biết toạ độ của hai tiêu
điểm F 1 và F 2
(X,Y)
Giả sử điểm M(x,y) nằm trên (E)
Hảy tính: MF 1 2 – MF 2 2 =
((x+c )2 + y 2 ) – ((x-c )2 + y) = 4cx
=> (MF 1 - MF 2 )(MF 1 +MF 2 ) = 4cx
=> (MF 1 - MF 2 ) 2a = 4cx
<=> MF 1 - MF 2 = a
cx
2
=> MF 1 = , MF 2 =
a
cx
a
a
cx
a
C ác đoạn MF 1 và MF 2 được gọi là bán kính qua tiêu
Trang 51 Định nghĩa đường elip
BÀI 5:
2 Phương trình chính tắc của elip M
y
x O
c, 0 c, 0
MF 1 = ; MF 2 =
C ác đoạn MF 1 và MF 2 được gọi
là bán kính qua tiêu
a
cx
a
a
cx
a
(X,Y)
Ta có:
cx a
MF1 (x c)2 y2
2 2
2
c a
y a
x
Vì a 2 – c 2 > 0 nên ta đặt a 2 – c 2 = b 2 (b>0) và được:
) 1 (
1
2
2 2
2
b) (a
b
y a
x
Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc
của elip đã cho
Chú ý:
Ví dụ1
Trang 6Chú ý : Chỉ có phương trình: (a>b)
mới được gọi là phương trình chính tắc của elip Ngoài ra ta thường quy ước đặt tiêu điểm F 1 nằm bên trái trục tung.
Như vậy phương trình: (a<b)
cố nhiên cũng là phương trình của elip (với tiêu điểm nằm
trên oy) nhưng không gọi là phương trình chính tắc của elip
1
2
2 2
2
b
y a
x
1
2
2
2
2
b
y a
x
M
y
x O
c, 0 c, 0
(X,Y)
Trang 7Phương trình chính tắc của elip
VD1: Cho ba điểm F1( 5 , 0 ), và F2( 5 , 0 ) N ( 0 , 3 )
Viết phương trình chính tắc của elip có tiêu điểm là F 1 , F 2 và đi
qua N
2 2
2 2
1 2
1 2
2 2
2
, 2 ),
0 , ( );
0 , (
), (
1 a b F c F c F F c a b c b
y a
x
Bài giải:
x
y
5
N
3
(E) Có phương trình chính tắc:
1
2
2 2
2
b
y a
x
Vì N(0,3) thuộc (E) => 0 32 1
2
b
a => b 2 = 9
Theo giả thiết ta có: 2 5
2
1F
F 2 c c 5 a2 b2 c2 14
Vậy (E) cần tìm có phương trình chính tắc là: 1
9 14
2 2
y x
Trang 81 Định nghĩa đường elip
BÀI 5:
2 Phương trình chính tắc của elip
M 1
y
x O
) 1 (
1
2
2 2
2
b) (a
b
y a
x
Ví dụ1
3.Hình dạng của elip
M 2
M 4
M 3
x o
y o
-y o
-x o
Cho elip có phương trình (1) và
một điểm M 1 (x o ,y o ) nằm trên (E)
Hỏi các điểm M 2 (x o ,-y o ),M 3 (-x o ,-y o )
và M 4 (-x o ,y o )
Vì M 1 (x o ,y o ) thuộc (E) nên:
a)Tính đối xứng của elíp
1 2
2 2
2
b
y a
Xét: ( 2 ) 1
2 2
2
b
y a
xo o
1
2
2 2
2
b
y a
x o o M2( xo, yo) ( E )
Tương tự các điểm M 3 (-x o ,-y o ),M 4 (-x o ,y o ) thuộc (E) ở trên
Vậy: Elíp có phương trình (1)
nhận các trục toạ độ làm trục
đối xứng và góc toạ độ làm
tâm đối xứng
Trang 9Phương trình chính tắc của (E) có dạng:
Phương trình chính tắc của elip
VD2: Viết phương trình chính tắc của (E) đi qua hai điểm P(0;1) và Q(1; ) Xác định toạ độ các tiêu điểm của (E)
đó
2 2
2 2
1 2
1 2
2 2
2
, 2 ),
0 , ( );
0 , (
), (
1 a b F c F c F F c a b c b
y a
x
2 3
Bài giải:
x
y
Q
1
P
2 3
1
1
2
2 2
2
b
y a
x
Vì (E) đi qua P(0,1) nên: 0 12 1
2
b
a b2 1
Vì (E) đi qua Q (1 , )23 nên: 1
4
3
1
2
b
a a2 4
1 4
2 2
y x
F 1
3
F 2
Trang 101 Định nghĩa đường elip
BÀI 5:
2 Phương trình chính tắc của elip
y
x O
3.Hình dạng của elip
a)Tính đối xứng của elíp
b)Hình chử nhật cơ sở
B 1
B 2
Bốn điểm A 1 ,A 2 ,B 1 và B 2 gọi là
các đỉnh của (E)
A 1 A 2 =2a gọi là độ dài trục lớn.
B 1 B 2 = 2b gọi là độ dài trục bé.
a
b
b
R S
Hình chữ nhật PQRS được
gọi là hình chữ nhật cở sở
của elip.
c) Tâm sai của elip
d) Elip và phép co
Nếu xét điểm M(x,y) nằm
trên elip thì giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất của x là
bao nhiêu? giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất của y là
bao nhiêu?
Trả lời:
+Giá trị nhỏ nhất của x là -a và lớn nhất của x là
a.
+Giá trị nhỏ nhất của y là –b và lớn nhất của y
là b.
y
x
M
y
x M
y
x M
x
y
M
Mọi điểm của elip nếu
không phải là đỉnh điều
nằm trong hình chữ nhật
cơ sở Bốn đỉnh của elip
là trung điểm các cạnh
của hình chữ nhật cơ
sở
Trang 11Tỉ số giửa tiêu cự và độ dài trục lớn của elip gọi là tâm sai của elip và được kí hiệu là e, tức là
c) Tâm sai của elip
Với 0<e<1 hơn nửa 2 2 1 e2
a
c
a a
b
a
c
e
4
3
* e
4
2
* e
4
1
* e
Trang 12d) Elip và phép co đường tròn
Bài toán : Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường tròn
M’.
Bài giải:
Từ x’ = x, y’ = ky => x = x’, y = y’/k Điểm M(x,y) thuộc (C) <=> x2 + y2 = a2 hay
2 2
2 ' 2
k
y
)
2 ' 2
2 '
ka
y a
x
) (
1
2
2 ' 2
2 '
ka
b b
y a
x
Vậy tập hợp các điểm M’ là một (E) có phương trình chính tắc:
1
2
2 2
2
b
y a
x
Người ta nói: Phép co trục hoành theo hệ số k biến đường tròn (C) thành (E).
x
y
O
M(x,y)
M(x,y/4)
)
(
)
( (E)
)
(E
x
y
O
M(x,y)
M(x,y/2)
Hình 1 Phép co về trục
hoành theo hệ số k=1/2
biến đường tròn (C)
thành (E)
Hình 2 Phép co về trục hoành theo hệ số k=1/4 biến đường tròn (C)
thành (E)
Trang 13y
O
M(x,y)
M(x,y/4)
)
(
)
( (E)
)
(E
x
y
O
M(x,y)
M(x,y/2)
Hình 1 Phép co về trục
hoành theo hệ số k=1/2
biến đường tròn (C)
thành (E)
Hình 2 Phép co về trục hoành theo hệ số k=1/4 biến đường tròn (C) thành (E)
Trang 15Câu hỏi: Trong cách vẽ đường elip ở trên, gọi vị trí đầu bút trì là M.Khi M thay đổi,có nhận xét gì
