Bài soạn môn Phương pháp phần tử hữu hạn

Phát biểu và chứng minh điều kiện cần cho nghiệm hiệu quả địa phương yếu x của bài toán (VP).. Phát biểu và chứng minh điều kiện đủ cho nghiệm hiệu quả địa phương x của bài toán (VP)[r]

BÀI SOẠN MÔN PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

(Tài liệu mang nh chất tham khảo – h p://nguyenchiphuong.WordPress.com )

Tài liệu này tổng hợp từ các nhóm và được mình tổng hợp lại, trong quá trình biên soạn lại

sẽ không tránh những sai sót do đó các bạn nên đối chiếu với bài soạn ở lớp một lần nữa trước khi học thuộc nhé

Câu 1: Cho X, Y là hai không gian Banach, ánh xạ :f X Y và xX

a Phát biểu định nghĩa đạo hàm gateaux của f tại x

b Cho ví dụ chứng tỏ rằng ánh xạ f có thể khả vi Gateaux tại x nhưng ánh xạ f không liên tục tại x

Trả lời :

a Định nghĩa : Ánh xạ : ⟶ được gọi là khả vi Gâteaux tại ∈ , nếu và chỉ nếu tồn tại ( ) ∈ ℒ( ; ), sao cho

lim

→

( + ℎ) − ( )

= ( )ℎ ∀ℎ ∈ Toán tử ( ) được gọi là đạo hàm của tại Nó thường được kí hiệu là ( ) Chúng

ta nói rằng là khả vi Gâteaux, nếu nó khả vi Gâteaux tại mọi ∈

b Cho ví dụ chứng tỏ ánh xạ có thể khả vi Gâteaux tại ̅ nhưng ánh xạ không liên tục tại ̅

Xét ánh xạ : ℝ ⟶ ℝ xác định bởi

( , ) = + ế ( , ) ≠ 0

0 ế ( , ) = 0

; ∀ = ( , ) ∈ ℝ

Khi đó (0, 0) = 0 nhưng không liên tục tại (0,0)

Thật vậy

+ Ta có :

lim →

[( , ) ( , )] ( , )

= lim →

( ) ( ) ( ) ( )

= lim

→ = 0 = (0, 0) (ℎ , ℎ )

⟹ (0, 0) = (0, 0)

Ta chứng minh không liên tục tại (0, 0)

Xét theo a ( , 0) → (0, 0) ( = 0) ta có

lim ( , ) →( , ) ( , ) = lim

( , ) →( , )

0

= 0

Xét theo a ( , ) → (0, 0) ( = ) ta có

lim ( , ) →( , ) ( , ) = lim

→ + =

1

2 Vậy ( , ) không liên tục (0, 0)

Câu 2: Cho , là hai không gian Banach, ánh xạ : → và ∈

a Phát biểu định nghĩa đạo hàm Fréchet của f tại

b Chứng minh rằng nếu ánh xạ khả vi Fréchet tại thì khả vi Gâteaux tại

c Cho ví dụ chứng tỏ rằng ánh xạ có thể khả vi Gâteaux tại nhưng không khả vi Fréchet tại

Trả Lời

a Định nghĩa: Ánh xạ f :X Y được gọi là khả vi Fréchet tại xX nếu tồn tại

( , )

AL X Y sao cho

0

( )

h

X

f x h f x A x h

h





Toán tử A được gọi là đạo hàm Fréchet của f tại ̅ và được ký hiệu là f 'F x , f được gọi là khả vi Fréchet nếu nó khả vi Fréchet tại mọi điểm ̅ ∈

b Chứng minh nếu khả vi Fréchet tại ̅ thì khả vi Gâteaux tại ̅

Giả sử f khả vi Fréchet tại ̅ Khi đó tồn tại AL X Y( , ) sao cho:

f x h  f x A x  h u x  h với

0

( , )

X

u x h h







Ta sẽ chứng minh f khả vi Gâteaux tại ̅ Thật vậy:

h

Vậy f khả vi Gâteaux tại ̅

c Ví dụ:

Xét ánh xạ : ℝ → ℝ xác định bởi  

3

1 2

1 2

1 2

( , ) (0, 0) ,

x x

neáu x x

neáu x x







 





 Với mọi (ℎ , ℎ ) ∈ ℝ ta có:

1 2

2 4 2

1 2

(0, 0) ( , ) (0, 0)



h h

h h

Vậy f G(0, 0)(0, 0)

Tuy nhiên, f không khả vi Fréchet tại (0, 0) Thật vậy, cho h( ,h h1 2)0 theo đường cong

2

1 2

h h Khi đó:

| (ℎ)|

‖ℎ‖ℝ =

|ℎ ℎ |

ℎ + ℎ .

1

ℎ + ℎ =

1

2.

|ℎ |

ℎ + ℎ

Do đó

lim

→

| (ℎ)|

‖ℎ‖ℝ =

1

2≠ 0 Vậy f không khả vi Fréchet tại (0, 0)

Câu 3: Cho là tập mở trong ℝ , hàm số : ⊂ ℝ → ℝ, ∈ ℝ

a Phát biểu định lý khai triển Taylor đến cấp dạng Peano và dạng Lagrange của

hàm tại

b Khai triển Taylor đến cấp 3 dạng Peano của hàm số : ℝ → ℝ xác định bởi

f x x  x  x x  x tại = ( , )

Trả lời:

a Phát biểu định lý

 Khai triển Taylor dạng Peano:

là 1 tập mở trong không gian ℝ , là điểm nằm trong lân cận điểm x (xx) Ký hiệu: ( )

U x

Ánh xạ : → ℝ có đạo hàm ( Fréchet ) đến cấp trên tập thì tồn tại o x x  sao cho

( )

k

k

k laàn

 Khai triển Taylor dạng Lagrange:

X là 1 tập mở trong khơng gian ℝ , là điểm nằm trong lân cận điểm x (xx) Ký hiệu: ( )

U x và : ⊂ ℝ → ℝ cĩ đạo hàm ( Fréchet ) đến cấp + 1 trên thì tồn tại c sao cho:

c x  x x với  sao cho

 











( )

( 1)

, , ( 1)!

1

c

k

k

k lần k

f

k

k lần

b Khai triển Taylor đến cấp 3 dạng Peano

1 2

1 2

' (1,1)( 1) ' (1,1)( 1) ( , ) (1,1)

1!

'' (1,1)( 1) 2 '' (1,1)( 1)( 1) '' (1,1)( 1)

2!

f x x f



3!

(1,1)(   (1,1)(  (   (1,1)(  (   (1,1)( 

3

( )

o

Ta cĩ:

+ (1,1) = 1

+

+ f x'2( ,x x1 2) 6x x13 226x22  f x'2(1,1)0

( , )12 12  (1,1) 0

+ f x x1 2'' ( ,x x1 2) 18x x12 22  f x x''1 2(1,1) 18

( , ) 12 12  (1,1)0

( , ) 12 12  (1,1) 0

( , )24 12  (1,1)12

+ 2 2

1 2( ,1 2) 36 1 2  1 2(1,1) 36

( , ) 36  (1,1) 36

( , ) 12 12  (1,1) 0

Từ đó ta có:

1 2 1 1) 18 1 1) 2 1) 2 1 1) 18 1 1) 2 1) 18 1 1) 2 1) ( ) ( , ) 1 2(    (  (   (   (  (   (  (  o 

Câu 4: Cho ⊂ ℝ , hàm số : ℝ → ℝ Xét bài toán ( ) : min ( )0

x X



a Phát biểu và chứng minh điều kiện cần cấp 1 cho nghiệm cực tiểu địa phương x

của bài toán ( )P0 (Định lý 3.2.2)

b Phát biểu và chứng minh điều kiện đủ cấp 2 cho nghiệm cực ểu địa phương chặt

x của bài toán ( )P0 (Định lý 3.2.5 i)

Trả lời:

a Định lý 3.2.2: Giả sử xint( )X là một điểm cực ểu địa phương ( hoặc cực đại địa

phương) của hàm f trên tập ⊂ ℝ , nếu : → ℝ là khả vi tại x thì f x( ) 0

Chứng minh:

- Nếu x là điểm cực ểu địa phương của hàm f trên tập ⊂ ℝ thì ta có y f x ( ) 0 với

y là hướng chấp nhận được từ x

- Nếu x là điểm cực đại địa phương của hàm f trên tập ⊂ ℝ thì ta có y f x ( ) 0 với

y là hướng chấp nhận được từ x

Vì xint( )X nên mọi hướng từ x là chấp nhận được và do đó ta được

( ) 0

y f x  và  y f x( ) 0 , ∀ ∈ ℝ Suy ra y f x ( ) 0 , ∀ ∈ ℝ ⇒f x( ) 0

b Định lý 3.2.5i: Giả sử xint( )X và giả sử f là khả vi liên tục đến cấp 2 tại x Nếu

( ) 0

f x

  và ( ̅) > 0, ∀ ∈ ℝ , ≠ 0 thì f có một điểm cực ểu địa phương

chặt tại x

Chứng minh:

Với xN x ( ), x  x thì khai triển Taylor cấp 2 dạng Piano của f tại x là

2

2

1

2 1

2

T T

f x f x f x x x x x Hf x x x O x x

x x Hf x x x O x x

Vì x  x nên 0 ( )T ( )( ) 0

xx   xx Hf x xx 

 f x( ) f x( ) 0,  x N x ( ) và x  x Vậy x là điểm cực ểu đại phương chặt của f

Câu 5: Cho ⊂ ℝ , hàm vecto : ℝ → ℝ và ⊂ ℝ là nón lồi, đóng sao cho 0 C Trên ⊂ ℝ , định nghĩa một quan hệ thứ tự xyx y C  Xét bài toán ( ) : min ( )

x S



a Phát biểu và chứng minh điều kiện cần cho nghiệm hiệu quả địa phương yếu x

của bài toán (VP) (Định lý 6.6.1)

b Phát biểu và chứng minh điều kiện đủ cho nghiệm hiệu quả địa phương x của bài toán (VP) (Định lý 6.6.2)

Trả lời:

a Định lý 6.6.1: Nếu x là một nghiệm hiệu quả địa phương yếu của bài toán (VP) với f khả vi tại x thì Jf x y( )  int ,C  y T S x( , )

Chứng minh:

Với y T S x ( , ) { }x k S x, k  xsao cho lim k

n k

x x

y

x x







Bằng cách khai triển Taylor dạng Piano của hàm f trong lân cận x ta được

1

1!

Chia hai vế (*) cho x k x ta được

Jf x



Cho qua giới hạn khi k   ta được

( ) ( )

k

k

Jf x y







 , y T S x( , )

Do x là một nghiệm hiệu quả địa phương yếu của bài toán (VP) và ⊂ ℝ là nón lồi,

đóng, khi đó int C là nón lồi nên ( f x k) f x( ) intC

Do int C mở nên int C mở, suy ra ℝ \−int đóng,

( ) − ( ̅)

‖ − ̅‖ ∈ ℝ \−int à

( ) − ( ̅)

‖ − ̅‖

→

⎯ ( ̅)

Suy ra ( ̅) ∈ ℝ \−int hay Jf x y( )  intC,

b Định lý 6.6.2: Với điều kiện Jf x y( )  C, y T S x( , ) \ {0}là đủ để x là một nghiệm hiệu quả địa phương của bài toán (VP)

Chứng minh

Chứng minh phản chứng, giả sử rằng x không là nghiệm hiệu quả địa phương của bài toán (VP) Khi đó tồn tại một dãy { } x k S x, k  x sao cho

f x  f x  C  C(nón, đóng)

Từ khai triển Taylor của hàm f trong lân cận x ta được

( )

Bằng cách cho qua giới hạn khi k   và có thể chọn dãy con của { } x k ta được ( )

Jf x y C với một phần tử y T S x ( , ) \ {0}điều này mâu thuẫn với giả thiết

Vậy Jf x y( )  C, y T S x( , ) \ {0}là đủ để x là một nghiệm hiệu quả địa phương của bài toán (VP)

Câu 6 Cho f : R n R là hàm số Lipschitz địa phương tại x  R n

a Phát biểu định nghĩa dưới vi phân Clarke của hàm số f tại x ký hiệu C f  x



b Cho f : n m

R

R  là hàm véc tơ Lipschitz địa phương tại x  R n. Phát định nghĩa

Jacobian suy rộng theo nghĩa Clarke của hàm véc tơ f tại x , ký hiệu C f  x

c Các ví dụ về tính dưới vi phân Clarke và Jacobian suy rộng theo nghĩa Clarke Trả lời:

a Phát biểu định nghĩa dưới vi phân Clarke của hàm số f tại x ký hiệu C f x



Định nghĩa: Cho f : R R là hàm số Lipschitz địa phương tại x  R Dưới vi phân

Clarke của f tại x là :

C

R u u x f u R

x



trong đó 0

0

( , ) lim sup

t x x

t



 



b Cho f : n m

R

R  là hàm véc tơ Lipschitz địa phương tại x  R n Phát định nghĩa

Jacobian suy rộng theo nghĩa Clarke của hàm véc tơ f tại x , ký hiệu C f  x

Định nghĩa: f : n m

R

R  là hàm véc tơ Lipschitz địa phương tại x  R n Jacobian suy rộng

theo nghĩa Clarke của f tại x được định nghĩa là:

 x col f x x x x

i

C

















R R L

với  là tập điểm của v mà f khả vi

c Các ví dụ về nh dưới vi phân Clarke và Jacobian suy rộng theo nghĩa Clarke

 Ví dụ dưới vi phân Clarke

0,

u u







R

R

f :  ( n = 1 )

Khi u  0:  u  u    1

Khi u  0:  u   u     1

1



Vậy:  fC   0    1 , 1 

 Ví dụ Jacobian suy rộng theo nghĩa Clarke

: R ( ( , ))

F

+ Hàm f Lipschitz tại x =0

2 2 2

2 1 1 2



 x1  y12 x2  y22 1 x y ( vì  2  2

Tương tự:    2

2 2

2 2

+ Tính C f   x :       2 2 

C

i



( )

f x







 





 









































































1 0

0 1 , 1 0

0 1 , 1 0

0 1 , 1 0

0 1 0

f

 









































































1 0

0 1 , 1 0

0 1 , 1 0

0 1 , 1 0

0 1

f

C





























1 , 1 ,

; 0

0









Câu 7: Cho f : Rn  Rm là hàm véc tơ liên tục tại x  R n

a Phát biểu định nghĩa tựa Jacobian véctơ tại x

b Chứng minh rằng: “ Nếu f : Rn  Rm là một hàm véc tơ liên tục và khả vi

Gaateaux tại x  R n thì   f   x  là một tựa – Jacobian của tại x Ngược lại, nếu

có 1 tựa – Jacobian đơn trị tại x, thì khả vi Gâteaux tại xvà fG'  x   f   x ”

c Các ví dụ về tựa-Jacobian

Trả lời:

a Phát biểu định nghĩa tựa-Jacobian véctơ tại x

Định nghĩa: Cho f : Rn  Rm là hàm véc tơ liên tục Một tập đóng khác rỗng

   n m

R R

L

x

 là một tựa_Jacobian của f tại x nếu  u  Rn,  v  Rm, ta có:

  v M   u Sup

u x vf

x f M

, ,









với   vf x v1f1 x v2f2 x v m f m x

       

t

x vf tu x vf Sup u

x

vf

t











0

lim ,

b Chứng minh rằng: “ Nếu f : Rn  Rm là một hàm véc tơ liên tục và khả vi Gâteaux tại

n

R

x  thì   f   x  là một tựa – Jacobian của f tại x Ngược lại, nếu f có 1 tựa – Jacobian đơn trị tại x, thì f khả vi Gaateaux tại xvà fG'  x   f   x ”

Chứng minh:

Vì f khả vi Gâteaux tại x  n m

R R L



    n

t

x f tu x f











lim

0

và khi đó '  

G

u x f v t

x f tu x f

lim





u x f v t

x f tu x f

t

x f v tu

x f v t

x f tu x

f

G

=

  v Mu

Sup

x f M

,





với  f   x   fG'  x 

Ngược lại :

   

 































Mu v Mu v u

x

vf

Mu v Mu v Sup u

x

vf

x f M

x f M

, ,

inf ,

, ,

,

Tương tự, ta có: v  R m,    

Mu v t

x f tu x f Sup v

lim ,



0

lim

t

Sup

t



 = Mu,  u (do f là hàm liên tục)

  sao cho     Mu u

t

x f tu x f

lim

0

 

'

G

c Các ví dụ về nh tựa –Jacobian:

Ví dụ 1: Cho f : R2  R xác định bởi f ( x1, x2)  x1  x2 và x   0 , 0 

Ta có : f x LR2,R   R2 * R2

 Tính C f   x :

Dãy x1,x20,0, ta có thể xét 4 trường hợp:

+ TH1: x x1, 2 0 f x x 1, 2x1x2  f 0, 0  1, 1 

+ TH2: x1 0,x2 0 f x x 1, 2x1x2  f 0, 0  1, 1

+ TH3: x10,x2 0 fx1,x2x1 x2 f0,0  1,1

+ TH4: x1 0,x2 0 f x x 1, 2 x1x2  f 0, 0  1, 1

0, 0  1, 1 ,  1, 1 , 1, 1 ,    1, 1 

C

 f0,0   1,1, 1,1 

2

R

t

vf tu

tu vf Sup t

vf tu vf

Sup u

x

vf

t t

0 , 0 ,

lim 0

0 lim

0 0

















 

2 1

0

t

tu tu v Sup





Mu

v, với M  L  R2, R   R2 và M   f   x

Ta kiểm tra  

 

2

, ,

)

,

f vf

x f M

















 

 

2 2

1 u Sup v.Mu, v R, u R u

v

x f M

















 + TH1:u1 0,u2 0

   























































1 , 1 0

1 , 1 0

2 1 2

1

2 1 2

1

M v

khi Mu

v Sup u

u v u u v

VT

M v

khi Mu

v Sup u

u v u u v

VT

x f M

x f M

+ TH2: u1 0,u2 0:  

Sup u

u v VT

x f M















,

2 1

+ TH3: u1 0,u2 0:  

Sup u

u v VT

x f M

















,

2 1

+ TH4: u10,u2 0:













































0 ,

0 ,

2 1 2

1

2 1 2

1 2

1

v VP u

u v u u v VT

v VP u

u v u u v VT u

u

v

VT

v VP

   

Sup u

x vf thì

R u R

v

x f

M 











       1 , 1 ,  1 ,  1  

 x f

 Tương tự:  x f      1 ,  1   ,  1 , 1   cũng là 1 tựa- Jacobian

Ví dụ 2: Cho hàm vecto 2 2

:

f R R xác định bởi

22

0

0, 0

0

a

f

a

với |a11| , |a22| ; ,  R cố định ( , ) = ( , ), ( , ) =  |x1|, |x2|)

0

lim sup

t

t





= 1 1 2 2 1 1 2 2



=sign v 1 tu1  v2 tu2 

 

 

2 2

11

22

( , ) à

0 , |a | ,|a | 0

a

22

0 0

a

a

11 22

1 11 1 2 22 2

| | ,| |

sup

v a u v a u



+ TH1: ,  0 VT  ; v 1 , v 2  0 VT VP0

1, 2 0

u u  chọn a11,a22v a u1 11 1v a u2 22 2 0VP 

1 0, 2 0

u  u  chọn a11 ,a22   v a u1 11 1v a u2 22 2 0VP 

1 0, 2 0

u  u  chọn a11 ,a22  v a u1 11 1v a u2 22 2 0VP 

1 0, 2 0

u  u  chọn a11 ,a22   v a u1 11 1v a u2 22 2 0VP 

1 2

+ TH2: v 1 , v 2 <0VT  

Chọn a11,a22 sao cho a u11 1 0,a u22 2 0 v a u1 11 1v a u2 22 2 0VP 

+ TH3: 1 2

0, 0

0, 0







Chọn a11,a22 sao cho v1 u1 v2 u2 0VP 







+ TH4: 1 2

0, 0

0, 0







Chọn a11,a22 sao cho v1 u1 v2 u2 0VP 





( , ), ( , )

     thì VT VP; ,  cố định

  11

22

0 , |a | ,|a | 0

a

Câu 8: Cho ,X Y là các KGĐC, ánh xạ đa trị F X : 2Y và ( , ) ∈

a Phát biểu 2 định nghĩa tương đương, dạng Limsup và dạng dãy, của đạo hàm

contingent cấp 1 và 2 của hàm F tại ( , )

b Chứng minh rằng nếu :f X Y khả vi Rréchet tại thì

 

DF x x u  f x u  u X

c Các ví dụ về đạo hàm contingent cấp 1 và 2

Trả lời:

a Định nghĩa: X Y, là hai không gian định chuẩn, F X : 2Y và x y0, 0grF

 Đạo hàm contingent cấp 1 và hàm F tại x y0, 0 được định nghĩa là:

'

'

0 0

0,

,

F x tu y

DF x y u LimSup

t

 

+ Dạng dãy:

( , ) = ∈ |∃ ↓ 0, ∃ → , ∃ ∈ ( + ) −

à →

= { ∈ |∃ ↓ 0, ∃( , ) → ( , ), ∀ : + ∈ ( + )}

 Đạo hàm contigent cấp 2 của F tại x y0, 0grF tương ứng với u v1, 1X V là ánh

xạ đa trị được định nghĩa bởi:

'

2 '

2

0,

, , ,

F x tu t u y tv

D F x y u v u LimSup

t

 

+ Dạng dãy:

( , , , )( )

à →

= { ∈ |∃ ↓ 0, ∃( , ) → ( , ), ∀ ∶ + + ∈ ( + + )}

b Chứng minh rằng nếu :f X Y khả vi Rréchet tại thì

 

DF x x u  f x u  u X Định lý:

Hàm :f X Y khả vi Rréchet tại '    

x X  f x L X Y sao cho

0

h

X

f x h f x f x h

h h



Chứng minh:

 

 0, 0    n 0,  n, n  , :  0 n n  0 n n

yDF x f x u t   u y  u y f x t y  f x t u

 

0

n

t

Đặt h n t u n n 0 Do giới hạn của dãy là duy nhất nên '  

0

F

y f x u

    '       '   

Ta cần chứng minh:    

n

f x t u f x

t

 

'

'

'

'

n

n

n

n

n X n

n n X

n X n

n X

f x t u f x f x t u

t

f x t u f x f x t u

t

f x t u f x f x t u

u

t u

f x h f x f x h

u h









Vì VT     '  

n X

f x h f x f x h

h

 *

 đúng  đpcm

c Các ví dụ về đạo hàm con ngent cấp 1 và 2

Ví dụ: