Tiết 2: Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai A.Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối 1.kiÕn thøc c¬ b¶n: a Định nghĩa giá trị tuyệt đôí:.. Nếu cần --Khử d[r]
Trang 1Chương I: Phương trình và hệ phương trình.
Tiết 1: Phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai.
Tiết 2: Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai
A.Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
1.kiến thức cơ bản:
a) Định nghĩa giá trị tuyệt đôí: , 0
A neuA A
A neuA
,
( ),
a b neua b
a b
a b neua b
b) Một số tính chất của giá trị tuyệt đối:
a b a b a b a b
a b a b ab 0 0
0
a
a b a b
b
0
0
a
a b a b
b
a b a b b a b( ) 0
* A 0 với mọi A ; A A với mọi A
2.Các phương pháp giải:
Phương pháp chung: Đặt điều kiện cho phương trình ( Nếu cần)
Khử dấu giá trị tuyệt đối: -Bình phương 2 vế
-Dùng định nghĩa giá trị tuyệt đối -Phương pháp chia khoảng
-Đặt ẩn phụ
-Phương pháp hàm số
Kết luận
a) Cách bình phương hai vế:
ví dụ 1:Giải các phương trình: a) 3x 2 x 1 b) x 3 2x 1
ví dụ 2: Giải các phương trình: a) x 1 x2 2x 2 b)1 x2 2x2 x 5 c) x3 2x2 4x 3 x3 3x2 x 1
nhận xét: Nếu bình phương 2 vế sẽ dẫn đến phương trình bậc cao
b) Cách dùng định nghĩa giá trị tuyệt đối.
ví dụ2: giải các phương trình : a) x 1 x2 2x 2 b) 1 x2 2x2 x 5 c) x3 2x2 4x 3 x3 3x2 x 1
ví dụ 3: GiảI phương trình: 5 2 2
3
x
x x
3.các dạng phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:
*Dạng 1: f x( ) C (1) , với C là hằng số
Nếu C<0 thì (1) vô nghiệm
Nếu C=0 thì (1) f(x)=0 … giải… kết luận
Nếu C>0 thì (1) f(x)= C … giải….kết luận
*Dạng 2: f x( ) g x( ) (2)
Trang 2C1:Bình phương 2 vế: (2) 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x f x g x
C2:Dùng định nghĩa: f x( ) g x( ) ( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
Giải hai pt trên rồi lấy hợp hai tập nghiệm
ví dụ 4: giải phương trình: x 1 3 2x
c1:hai vế pt trên đều không âm,bình phương 2 vế ta được pt tương đương:
2
2 3 4
x x
Vậy pt trên có hai nghiệm là và 42
3 C2:Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có:
1 3 2
x x
2
3
4
x
Vậy pt đã cho có hai nghiệm là: và 42
3 C3: Sử dụng bảng phá dấu giá trị tuyệt đối:
*Dạng 3: f x( ) g x( ) (3)
C1: f x( ) g x( ) ( ) 0 (I) hoặc (II)
( ) ( )
g x
f x g x
( ) 0 ( ) ( )
g x
f x g x
GiảI hệ (I), (II) rồi lấy hợp của hai tập nghiệm
C2: f x( ) g x( )
2 2
( ) 0 ( ) ( )
g x
f x g x
ví dụ 5: GiảI phương trình: x2 5x 7 x 1
*Dạng 4: f x( ) g x( ) h x( ) k x( ) (4)
C3:Sử dụng bảng phá dấu giá trị tuyệt đối:
ví dụ 6: GiảI phương trình: x 3 2.x 1 4
ví dụ 7: GiảI phương trình: x 1 x 2 3x
ví dụ 7: GiảI phương trình: x 2 x2 4x 3 x 2 x 3
B.Phương trình vô tỷ-Phương trình chứa căn thức.
* Các phương pháp giảI phương trình vô tỷ:
I-Phương pháp biến đổi tương đương
1 Bỡnh phương 2 vế của phương trỡnh
a) Phương phỏp
Dạng 1: A B B 02
A B
Dạng 2:
0 0
A
A B
Dạng 3: A B C
Nếu C < 0 thì pt vô nghiệm
Trang 3Nếu C=0 thì 0 0
0
A
A B
B
Nếu C >0 thì A B C
2 2
0 0
A B
2 2
0 0
0 0
0
2
A A
B B
C A B
A B C A B
AB C A B
dạng 4: A B C A B C
2
0
0
0
A
B
A B C
C B A B C
2
Dạng 6: A B C D
-đặt điều kiện
-Bình phương 2 vế dẫn tới pt hệ quả: 2( AB CD) C D A B đưa về dạng 4 b) Vớ dụ :
ví dụ 1: GiảI phương trình: x 1 2x 1 5
Giải: x 1 2x 1 5
2
2
1 1
1
( 1 2 1) 25 2 ( 1)(2 1) 27 3
4( 1)(2 1) (27 3 )
x x
x
x
x
thử lại thấy x=5 thoả mãn.Vậy pt có nghiệm duy nhất x=5
ví dụ 2: GiảI phương trình: x2 9 x2 x 3 2
giải: x2 9 x2 x 3 2
2
3 0
x x
2
2
3 0
x x
2
15 16( 3) ( 8)
x
x
Thử lại thấy pt đã cho có 2 nghiệm là x=4 và x=-28/15
ví dụ 3: Giải phương trình: 3x 4 x 4 2 x
giải:
Trang 4Đk: ( *)
4
x x
Với điều kiện (*) ,bình phương 2 vế ta được:
4x 2 (3x 4)(x 4) 4 x (3x 4)(x 4) 0 (3x 4)(x 4) 0
4
3
Ta có giá trị x=-4/3 không thoả mãn Đk (*) nên loại
Giá trị x=4 thoả mãn đk(*) và là nghiệm của phương trình
Vậy pt có nghiệm duy nhất x=4
ví dụ 4: Giải phương trỡnh sau : x 3 3x 1 2 x 2x 2
Tìm cách giải: Đk x 0
Bỡnh phương 2 vế khụng õm của phương trỡnh ta được:
, để giải phương trỡnh này dĩ nhiờn là khụng khú
1 x 3 3x 1 x 2 x x2 1
nhưng hơi phức tạp một chỳt
Phương trỡnh giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trỡnh :
3x 1 2x 2 4x x 3
Bỡnh phương hai vế ta cú pt hệ quả: 6x2 8x 2 4x2 12x x 1(thoả man Đk)
Thử lại x=1 thỏa mãn phương trình
Vậy pt có nghiệm duy nhất x=1
Lời giải:
Đk x 0.Với đk trên ta có:
x x x x 3x 1 2x 2 4x x 3
Bình phương 2 vế của ptrình ta được pt hệ quả:
6x2 8x 2 4x2 12x x 1 (thoả man Đk)
Thử lại x=1 thỏa mãn phương trình
Vậy pt có nghiệm duy nhất x=1
Nhận xột : Nếu phương trỡnh : f x g x h x k x
Mà cú : f x h x g x k x , thỡ ta biến đổi phương trỡnh về dạng :
sau đú bỡnh phương ,giải phương trỡnh hệ quả
f x h x k x g x
ví dụ 5 Giải phương trỡnh sau :
3 1 2 (1)
3
x
x
Tìm lời giải:
Điều kiện : x 1
Bỡnh phương 2 vế phương trỡnh ?
Nếu chuyển vế thỡ chuyển như thế nào?
Ta cú nhận xột : 3 1 2 ( với đk ), từ nhận xột này
3
x
x
ta cú lời giải như sau :
Trang 5Giải: Điều kiện : x 1
3
2
1
3
x
x
1
x
x
Thử lại :x 1 3,x 1 3 đều thoả mãn điều kiện và là 2 nghiệm của ptrình
Qua lời giải trờn ta cú nhận xột :
Nếu phương trỡnh : f x g x h x k x
Mà cú : f x h x k x g x. thỡ ta biến đổi f x h x k x g x
2 Dùng biểu thức liên hợp.
2.1 Dùng biểu thức liên hợp để xuất hiện nhõn tử chung
a)Phương phỏp
Một số phương trỡnh vụ tỉ ta cú thể nhẩm được nghiệm , như vậy phương trỡnh x0
luụn đưa về được dạng tớch x x A x 0 0 Khi đó ta cú thể giải phương trỡnh
hoặc chứng minh vụ nghiệm , chỳ ý điều kiện của phương trỡnh
0
ban đầu để ta cú thể đỏnh gớa A x 0 vụ nghiệm
b)Vớ dụ
ví dụ 1: Giải PT 2x 3 x 2x 6
lời giải: Điều kiện: x 3 , với Đk đó pt tương đương với:
2
( 3) 2 1 0
x
1
2 3
x Thoamandieukien
xét pt : 2 1 =0 (2)
2x 3 x
từ đk: 3 1 suy ra >0 Do đó pt (2) vô nghiệm
2
2x 3 x
Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=3
ví dụ 2:Giải phương trỡnh sau : 3x2 5x 1 x2 2 3x2 x 1 x2 3x 4
Giải: Đk: ( *)
2 2 2 2
2 0
3 4 0
x x x
Trang 6Ta nhận thấy : 3x2 5x 1 3x2 3x 3 2x 2 và
x2 2 x2 3x 4 3x 2
Vậy pt 3x2 5x 1 3(x2 x 1) x2 2 x2 3x 4
Với đk (*) pt tương đương với
x
x=2 ( thoả mãn (*))
Vậy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trỡnh
ví dụ 3:GiảI PT x2 9x 20 2 3 x 10
lời giải: Điều kiện: 10, khi đó pt đã cho tương đương với:
3
x
2 9 18 2 3 10 2
x x x (x 3).(x 6) 2( 3 x 10 1)
6
3 10 1
x
6
3 10 1
x thoamandieukien
x
x
xét (3),ta có:
.Nếu x 3 thì x+6 >3 còn 6 3 nên pt (3) vô nghiệm
3x 10 1
Nếu 10 3 thì x+6<3 còn nên (3) vô nghiệm
3 x
3x 10 1
Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=-3
ví dụ 4: Giải phương trỡnh sau x2 12 5 3 x x2 5
Tìm lời giải.: Để phương trỡnh cú nghiệm thỡ : 2 2 5
3
Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trỡnh , như vậy phương trỡnh cú thể phõn tớch về dạng
, để thực hiện được điều đú ta phải nhúm , tỏch như sau :
x 2 A x 0
x x x
Trang 7Dễ dàng chứng minh được :
3 0,
3
x
Lời giải: Để phương trỡnh cú nghiệm thỡ : 2 2 5(*)
3
Pt x2 12 4 3( x 2) ( x2 5 3)
3( 2)
x
3( 2)
x
x
x Thoamandieukien
Mà do Đk: 5 (*) suy ra x+2>0
3
x
(x+2).[ ]-3 < 0.Do đó pt (4) vô nghiệm
Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=2
ví dụ 5: Giải pt:
2
6 4
2 4 2 2
4
x
x
Giải: Đk: 2 x 2, khi đó pt tương đương với:
2
( 2 4 2 2 )( 2 4 2 2 ) 2(3 2)
2(3 2) 2(3 2)
2
x
2
2
3
x thoamandieukien
xét (5); Bình phương 2 vế của phương trình (5) ta được:
(6)
4 2(2 x)(2 x) (2 x x)( 4) 0 2 x4 2(2 x) ( x 4) 2 x 0
x=2 ( thoả mãn)
hoặc 4 2(2 x) ( x 4) 2 x =0 ( loại do 4 2(2 x) ( x 4) 2 x>0 với 2 x 2) Vậy pt (6) có một nghiệm x=2
Kết luận : pt có hai nghiệm x=2/3 hoặc x=2
2.2 Nhân và chia với lượng liên hợp đưa về hệ.
a) Phương phỏp
Nếu phương trỡnh vụ tỉ cú dạng A B C , mà : A B C
ở dõy C cú thể là hàng số ,cú thể là biểu thức của Ta cú thể giải như sau :x
, khi đó ta cú hệ:
A B
A C
Trang 8 Nếu phương trình vô tỉ có dạng: f x( ) g x( ) h x( ) k x( ) (*)
mà ( ) ( ) , với a,b là các hằng số thì nhân và chia mỗi vế của (*) với
( ) ( )
f x g x a
h x k x b
lượng liên hợp của chúng ta được:
( ( ) ( ))( ( ) ( )) ( ( ) ( ))( ( ) ( ))
f x g x f x g x h x k x h x k x
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x h x k x
f x( ) g x( ) a.( h x( ) k x( )) (**)
b
Từ (*) và (**) suy ra 2 f x( ) a b. h x( ) b a. k x( )
Đưa về dạng 5:
2
b)Vớ dụ
ví dụ 1:GiảI pt: x 9 x 2 7 (8)
x
với đk trên ,pt tương đương với: ( 9 2)( 9 2) 7
(9)
x 9 x 2 1
Từ (8) và (9) ta có hệ :
7
9 16
x x
ta thấy giá trị x=7 thoả pt (8) , vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=7
ví dụ 2 Giải phương trỡnh sau : 2x2 x 9 2x2 x 1 x 4
Giải:
để phương trình có nghiệm thì x 4 0 x 4
Ta thấy : 2x2 x 9 2x2 x 1 2x 8 2(x 4)
.x 4 khụng phải là nghiệm
.Xột x 4, khi đó pt đã cho tương đương với:
4
x
( do )
Vậy ta cú hệ:
2
Trang 92 2 2 2 2
0 8 7
x x
Thử lại thỏa; vậy phương trỡnh cú 2 nghiệm : x=0 và x=8
7
ví dụ 3: GiảI pt: 2x 16 2x 1 2x 9 2x 4 (6)
8
2
2
x x
x x
x x
x x
x
Với Đk: 1,pt đã cho tương đương với:
2
x
(7)
2x 16 2x 1 3( 2x 9 2x 4)
Từ (6) và (7) ta có:
2 16 2 1 2 9 2 4
2x 16 2 2 x 9 2x 4 2x 16 2x 4 2 2x 9
2x 16 2x 4 2 (2x 16)(2x 4) 4(2x 9)
2
4 40 64 (2 8)
x
0
x
Ta có x=0 thoả mãn điều kiện và là nghiệm của pt (6)
Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=0
Bài tập đề nghị
Giải cỏc phương trỡnh sau :
x x x x
4 3 10 3 x x 2
2 2 x 5 x x 2 x 10 x
2
3 x 4 x 1 2x 3
3 x 1 3x 2 3x 2
2x 11x 21 3 4 x 4 0
2x 1 x 3x 2 2x 2x 3 x x 2
2x 16x 18 x 1 2x 4
2 15 3 2 2 8
x x x
-CĐ HảI Quan 1996
3 2x 1 3 x 1 3 3x 2
3 Phương trỡnh biến đổi về tớch
Sử dụng đẳng thức
au bv ab vu u b v a
2 2
A B
ví dụ 1 Giải phương trỡnh : 3 x 1 3 x 2 1 3 x2 3x 2
Trang 10Giải: 3 3 0
1
x
x
Thử lai thoả mãn, vậy pt đã cho có 2 nghiệm x=0 hoặc x=-1
ví dụ 2 Giải phương trỡnh : 3 x 1 3 x2 3 x 3 x2 x
Giải:
+ x 0, khụng phải là nghiệm
+ x 0, ta chia hai vế cho x:
Thử lại thoả mãn, vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=1
ví dụ 3 Giải phương trỡnh: x 3 2x x 1 2x x2 4x 3
Giải: dk x: 1
0
x
x
thử lại thấy thoả mãn, vậy pt đã cho có 2 nghiệm là x=0 hoặc x=1
ví dụ 4 Giải phương trỡnh : 3 4 4
3
x
x
Giải:
Đk: x 0, Chia cả hai vế pt cho x 3 ta được pt tương đương
2
( thoả mãn điều kiện )
3 3
3
x
x
x
Thử lại thấy thoả mãn, vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=1
Dựng hằng đẳng thức
Biến đổi phương trỡnh về dạng :A k B k
ví dụ 1 Giải phương trỡnh : 3 x x 3 x
Giải:
Đk: 0 x 3 khi đú pt đ cho tương đương :x3 3x2 x 3 0
3
ví dụ 2 Giải phương trỡnh sau :2 x 3 9x2 x 4
Giải:
Đk:x 3 khi đó phương trỡnh tương đương : 2 x 3 x 3 1 9x2
2
2
1
3 1 0
1 1
3
2 9
x
x x
x
vậy (1) có nghiệm x=1
Trang 11xét (2) : 2
2
1
3 1 0
3 ( 3 1)
x x
1 3
5 97 18
5 97 18
x x x
5 97
18
x
vậy (2) có nghiệm 5 97
18
x
ta có cả 2 giá trị x=1 và 5 97 đều thoả mãn điều kiện
18
x
3
x
thử lại cả 2 giá trị này đều thoả mãn pt, vậy pt có 2 nghiệm x=1 hoặc 5 97
18
x
ví dụ 3 Giải phương trỡnh sau : 3 2 3 2
2 3 9 x x 2 2x 3 3x x 2
3 x 2 3 3x 0 x 1
Bài 1: Giải phương trỡnh:
a) x2 1 x 1
b) x 2x 3 0
c) x2 x 1 1
e) 3x 2 x 1 3
f) 3 x 2 x 1
g) x 9 5 2x 4
h) 3x 4 2x 1 x 3
i) (x 3) 10 x2 x2 x 12
II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ
Cú 3 bước cơ bản trong phương phỏp này :
- Đặt ẩn phụ và gỏn luụn điều kiện cho ẩn phụ
- Đưa phương trỡnh ban đầu về phương trỡnh cú biến là ẩn phụ
Tiến hành giải quyết phương trỡnh vừa tạo ra này Đối chiếu với điều kiện để chọn
ẩn phụ thớch hợp
- Giải phương trỡnh cho bởi ẩn phụ vừa tỡm được và kết luận nghiệm
* Nhận xột :
- Cỏi mấu chốt của phương phỏp này chớnh là ở bước đầu tiờn Lớ do là nú quyết định đến toàn bộ lời giải hay, dở , ngắn hay dài của bài toỏn
1.Phương phỏp đặt ẩn phụ thụng thường :
-Nếu bài toỏn cú chứa f x( ) và f x( ) khi đú đặt t f x( ) (với điều kiện là t 0)
Bài 2: Tỡm m để phương trỡnh sau cú nghiệm: x2 3x 2 2m x x 2
Bài 3: Cho phương trỡnh: x2 1 x m
-Giải phương trỡnh khi m=1
-Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm
Bài 4: Cho phương trỡnh: 2x2 mx 3 x m
-Giải phương trỡnh khi m=3
-Với giỏ trị nào của m thỡ phương trỡnh cú nghiệm
Trang 12-Nếu bài toỏn cú chứa f x( ), g x( ) và f x( ). g x( ) k (với k là hằng số ,k > 0) khi đú cú thể đặt : t f x( ), t 0 khi đú g x( ) k
t
-Nếu bài toỏn cú chứa f x( ) g x( ) ; f x g x( ) ( ) với f x( ) g x( ) k khi đú cú thể đặt: t f x( ) g x( ) suy ra ( ) ( ) 2
2
t k
-Nếu bài toán có chứa f x g x( ) ( ) và ( ). ( ) thì có thể đặt suy ra
( )
g x
f x
f x
( ) ( ).
( )
g x
t f x
f x
t2 f x g x( ) ( )
-Nếu bài toỏn cú chứa a2 x2 thỡ đặt x asint với hoặc
với 0 t
-Nếu bài toỏn cú chứa x2 a2 thỡ đặt với hoặc
sin
a x
t
2 2
t
a x
t
với 0; \
2
t
-Nếu bài toỏn cú chứa x2 a2 ta cú thể đặt x a.tant với ;
2 2
t
Hoặc x a.cott với t0;
-Nếu bài toán chứa a x hoặc thì có thể đặt x=acos2t
a x
a x
a x
-Nếu bài toán chứa (x a b x )( ) đặt x=a+(b-a).sin2t
ví dụ 1: GiảI pt: 3x x 2x 8 x 0
Giải: Điều kiện : x 0(*)
Với điều kiện (*) , đặt t x, đk: t 0
Thay vào pt trở thành: 3 2 2
0 4
3 2;( )
t
t loai
Với t=0 x 0 x 0,(thoaman)
t x x thoaman
Vậy pt đã cho có 2 nghiệm là x=0 hoặc x=16/9
ví dụ 2: GiảI pt: 6 2 10
6
2
2
6
2 0
6 0
x
x
x
x
x x
với điều kiện (*), Đặt 6 ,
2
x t x
t0
2 1 6
x
Trang 13thay vào, pt trở thành: 2 ( cả 2 đều thoả mãn t>0)
1
1 10
t
với t=3, ta có: 6 3 6 9 6 9 18 3 ( thoả mãn đk (*))
với t=1/3 ta có: 6 1 6 1 9 54 2 7 ( thoả mãn đk (*))
vậy pt đã cho có 2 nghiệm x=3 hoặc x=-7
ví dụ 3: GiảI pt : x 1 3 x x2 2x 3 2
giải : pt x 1 3 x (x 1)(3 x) 2
4 2 ( 1)(3 ) ( 1)(3 )
2
t
4;( ) 2
t thoaman t
t loai
Với t=2 thay vào ( 1)(3 ) 2 4
2
t
( 1)(3 ) 0 ( 1)(3 ) 0
Cả 2 giá trị này đều thoả điều kiên(*) và là các nghiệm của pt đã cho
Vậy pt đã cho có 2 nghiệm x=-1 hoặc x=3
ví dụ 4: Giải pt: x2 3x 4 x2 3x 6 18
3 33 2
3 6 0
3 33 2
x
x
Pt x2 3x 6 4 x2 3x 6 12
đặt y x2 3x 6, đk của y là: y 0
2
y
y
Vì y 0 nên y=-6 (loại); y=2 thoả mãn
2
x
x
thoả man (*))
Vậy pt đã cho có 2 nghiệm là: x=-5 hoặc x=2
ví dụ 5: GiảI pt: x 4 3x 1 2 3x2 13x 4 51 4 x (1)
giải: pt x 4 3x 1 2 (x 4)(3x 1) 51 4 x