Tìm giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau: - Nếu hai đường thẳng cắt nhau có cùng tung độ gốc thì giao điểm là điểm nằm trên trục tung cótung độ là tung độ gốc.. Tìm tọa độ giao điểm củ
Trang 1ÔN TẬP TOÁN 9 (ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC)
b Chia hai lũy thừa cùng cơ số ta giữ nguyên cơ số, lấy số mũ của lũy thừa bị chia trừ cho số mũcủa lũy thừa chia
a m : a n = a m – n (m n) VD: 57 : 55 = 57 – 5 = 52
c Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa
(x y) n = x n y n VD: (2 3)2 = 22 32 = 4 9 = 36 ; 32 52 = (3 5)2
d Tính lũy thừa của một lũy thừa ta giữ nguyên cơ số nhân hai số mũ
(x n ) m = x n m VD: (32)3 = 32 3 ; 210 = (22)5 = (25)2
e Lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa
3 CĂN BẬC HAI:
a Căn bậc hai của một số a không âm là một số x, sao cho x2 = a, kí hiệu căn bậc hai là “”
Trang 2VD: Số 4 có hai căn bậc hai là = 2 và - = - 2 Vì 22 = 4 và (- 2)2 = 4.
Số 3 có hai căn bậc hai là và -
b Số a không âm, số được gọi là căn bậc hai số học của số a
VD: Căn bậc hai số học của 16 là 4.
Căn bậc hai số học của 19 là
c So sánh hai căn bậc hai số học
Định lý: Với hai số a và b không âm, ta có: a < b
i Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương:
k Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương:
l Đưa thừa số ra ngoài căn:
m Đưa thừa số vào trong căn: ,
Trang 3b Tính chất:
5 CÁC DẠNG BÀI TẬP:
a Dạng 1: Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau:
Phương pháp: Nếu biểu thức có:
• Chứa mẫu số ĐKXĐ: mẫu số khác 0
• Chứa căn bậc chẵn ĐKXĐ: biểu thức dưới dấu căn 0
• Chứa căn thức bậc chẵn dưới mẫu ĐKXĐ: biểu thức dưới dấu căn > 0
• Chứa căn thức bậc lẻ dưới mẫu ĐKXĐ: biểu thức dưới dấu căn 0
b.
Dạng 2: Tính giá trị biểu thức:
Phương pháp: Thực hiện theo các bước sau:
• Bước 1: Trục căn thức ở mẫu (nếu có).
• Bước 2: Qui đồng mẫu thức (nếu có).
• Bước 3: Đưa một biểu thức ra ngoài dấu căn
• Bước 4: Rút gọn biểu thức.
Dạng toán này rất phong phú vì thế học sinh cần rèn luyện nhiều để nắm được “mạch bài toán”
và tìm ra hướng đi đúng đắn, tránh các phép tính quá phức tạp
c Dạng 3: Rút gọn biểu thức:
Phương pháp: Thực hiện theo các bước sau:
• Bước 1: Tìm ĐKXĐ nếu đề bài chưa cho.
• Bước 2: Phân tích các đa thức ở tử thức và mẫu thức thành nhân tử.
• Bước 3: Quy đồng mẫu thức.
o Chọn mẫu chung : là tích các nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất
o Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để được nhân tử phụ tương ứng
o Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung
o Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức
Phương pháp: Thực hiện theo các bước sau:
•Để tính giá trị của biểu thức biết x = a ta rút gọn biểu thức rồi thay x = a vào biểu thức vừa rút gọn.
•Để tìm giá trị của x khi biết giá trị của biểu thức A ta giải phương trình A = x.
Trang 4Lưu ý: Tất cả mọi tính toán, biến đổi đều dựa vào biểu thức đã rút gọn.
x−
1 5
x x
−
1 7x 14 −
29) 2x 1 − 30)
3 x 7x 2
5
x x
Trang 553) 3x2 −6 54) 2−3x2 55)
2 4 2
5 2
7) 3 20−2 45+4 5 8) ( 2+2) 2−2 2 9) 5 1
115
34
+ +
13) ( 28−2 14+ 7) 7 +7 8 14) ( 14−3 2)2 +6 28 15) ( 6− 5)2 − 120
16) (2 3−3 2)2 +2 6+3 24 17) ( 1 − 2 ) 2 + ( 2 + 3 ) 2 18)
)319)(
5 7
+
− +
− +
22) x+2y− (x2 −4xy+4y2)2(x≥2y) 23) 4 x + ( x − 12 ) 2 ( x ≥ 2 ) 24) ( ) (2 )2
2 3 2
3 + + −25) ( ) (2 )2
3 2 3
2 − − + 26) ( )2 ( )2
3 5 3
5 − + + 27)
15 2 8 15
2
28) (5 + 2 6) + 8 − 2 15 29) 3 8
52
23
53
24324
+
30)
31 12 3 −
31)3 2 − 4 18 + 2 32 − 50 32) 50− 18+ 200− 162 33)5 5+ 20−3 4534)5 48 − 4 27 − 2 75 + 108 35)
48 2 75 5 1
2 − − 11 + 3
36)48
527
4
12
37) 12+5 3− 48 38)2 32+4 8−5 18 39)3 20−2 45+4 5
Trang 648 3
9 4 5 − − 9 + 80
2 4 6 2 2
3 + − −
Trang 8+ +
130) 20 14 23 + +3;20 14 2− 131)3 26 15 3 + − 3 26 15 3 − 132) 5 1
1 1 5
3
1 1
2
1
+
+ +
+ + 137) 4 + 8 2 + 2 + 2 2 − 2 + 2 138)
+ +
3 4
Trang 9160) ( 5−3)2 + ( 5−2)2 161) 7 5
5 7 5 7
5 7
+
− +
+ +
3 2 3
2 2
3 2
−
−
− +
+ +
+
1 2
5
1
−
+ +
189)(8 27 −6 48): 3 190) 7 2 10
15 2 8 6 2 5
+
− + +
191) 3 + 13 + 48
Trang 101 3
15 5 3 1 1 5 3
3 5 5 3
2
3
14
Trang 115 2
3 3
1
−
+ +
229) ( )2
3 2
6 3 2
−
−
231)1 2
2 2
+ +
33 75 2 48 2
1
1 1 1
x
x x
2)
) 1 ( : 1
1 1
1 2
x x
x x x
x x
3 :
1
8 1
1 1
1
x x
x x x
x x
x x
A
2
1 1
1 1
1 : 1
1 1
=
x
x x
x x
2
3 2
4
x
x x
x x
x x
Trang 122
−
− +
+
− + +
−
=
x
x x
x x x
x
x x
1
1 1
2
x x
x x
x
x
x x
− +
x x
x
x x
x A
3 2 1
2 3 3 2
11 15
− +
−
=
x
x x
x x
1 1
2 : 1
1 1
4 1
−
=
x
x x x
=
x
x x
x x
Q x
= +
2 :
1
1 1
x
x x
x x
x
A
x
x A
1 1
1 1
x
x x
x x
x x
x
x x x x
1 1
1
x
x x
x
x x
x x
x
x x
x A
2
3 2
4
x
x x
x x
x x
: 1
1 1
1 2
x x
x x
Trang 1325) − + + +
−
− +
− +
=
1
1 1
1 1
2 2 :
1
x x
x
x x
x
x x
A
x
x x
−
− +
=
x x
x x
x x
x x
3 :
2
2 3 2
=
x x x
x x
4
8 2
4
x
x A
−
=
3 4
1 1
−
− + +
x x
+ +
2 3
2 2
3 :
1
1
x x
x x
x x
x x
x A
3 : 1
3 2 1
1
x x
x x
x x x
−
−
− +
=
1
2 1
1 : 1
2 2 1
1
x x
x x x x
x x
: 1
1 1
1 2
x x
a a
a a
3 6
5
9 2
− + +
+
−
− +
3 15
2
25 :
1 25
5
x
x x
x x
x
x x
x x
3 6
9 : 1 9
3
x
x x
x x
x
x x
x x
3
2 2 : 9
3 3 3 3
2
x
x x
x x
x x
x A
37)
4
) 1 2 ( 2 : 1 1
x
x x x x
1 : 1
1 1
1 2
− +
+
=
2
1 6
5 3
Trang 14− +
=
1
2 2 : 1
2 1
1
x
x x x
x x x x
A
x
x A
+
−
=
2 1
−
− +
=
1
1 3
1 : 3
1 9
7 2
x x
x
x x
x x
1 :
1
1 1 1
a
a a
a a
A
+
− +
2
1
x x x
x x x
x
A
+ +
3
x
x x x
x x
A
1 1
2
− +
+
−
+ +
a a a
a A
1 : 1
2
1
a a a a
a a
a
a A
50) = + + − + +a− a −a a
a a
a
a A
1
2 1
1 : 1 1
3 :
1
1 1
8 1
1
x x
x x x
x x
x x
a
a a
a
A
1
1 1 1
1 2
=
a
a a a
a
a a a a a
a a A
−
+ +
3
2 2 : 9
3 3 3 3
2
a
a a
a a
a a
a A
55) = + − − − − 1 :1+ + 1
1 1
2
x
x x
x x x
x
x A
2 4 1
2 1 : 1 4 1
4
x
x x
x x
x x
A
Trang 1557) 4 4 1
1 :
2 1
1 1
4
5 2
2 1
+ +
−
=
x x
x x
x
x x
P
3 2 1
2 3 3 2
11 15
− +
−
=
x
x x
x x
1 :
1 1
1 :
1
1 1
x x
x x
P
− +
x x
x P
1
3 2 : 1
1 3 5 2
2
− + +
−
− +
x x x x x
x x
x x
P
1
2 1
1 2
:
1 1
1
− + +
+
−
− +
3 15
2
25 :
1 25
5
x
x x
x x
x
x x
x x
−
x
x x x
x
x x x
x x
P
1
1 1
1 : 1
3
22
:9
3333
2
x
x x
x x
x x
x P
x
x
5 2 2
2 2
1
−
+
− +
x x
1 :
1 1
1
a
a a
a a
a
x x
x x
x
4
4 2 2
− +
−
−
x x
x x
x
Trang 1673) 8
4 4 2
2 2
x
− +
− +
+
=
6
5 3
2
a a a
1 :
1 1
1
a
a a
a a
a
2 1
3 1
1
+
−
+ +
x x
−
−
3
1 2 2
3 6
1 :
Trang 171
2
1 2
2
a
a a
a a
a
P
a a
a a
a
a a
P
−
− + +
+
−
− +
− +
=
1
2 2
1 2
3 9 3
x x
x x
+
=
95)
1 1
1 1
1
+
−
+ +
=
a a
A
2 : 1 1
a a a a
a a
1 1
1
x
x x
x x x x
x x
A
99)
x x
x x
x x
−
− + +
+ +
=
1
1 1
1 2
+
− +
+ +
+
1 2
2 1 2
1 1
: 1 1 2
2 1 2
1
x
x x x
x x
x x x
Trang 18x− −2 +2+1 −
1 2
2 1
x x
x
−
+ + +
2 2 1
2 2
1 (
: )
1 1
a a
2
1
a a a
a a a a
3 3 2
11 15
−
x
x x
x x
x x
1 2 1 2
2 1
x x
Trang 19g)Tìm x để G nhận giá trị âm.
1:
1
11
+
−
x x
x
x x
x
x
Với x ≥ 0 ; x ≠ 1a)Rút gọn biểu thức trên b) Chứng minh rằng P > 0 với mọi x ≥ 0 và x ≠ 1
11.1
12
2
12
2
1
2 2
a)Tìm a để Q tồn tại b) Chứng minh rằng: Q không phụ thuộc vào giá trị của a
x x x y xy
x y
+
1 2
2
2 2
−
+
5 2 1 : 16
2 4 4 4
3
a
a a
a a
a a
a
(Với a ≥ 0; a ≠ 16)a)Rút gọn P b) Tìm a để P = - 3 c)Tìm các số tự nhiên a để P là số nguyên tố
Trang 20a)Rút gọn P b) Tính giá trị của P khi x 1 3 2 2( )
2
.21)Cho biểu thức: P =
≤.28)Cho biểu thức: P=
2 2
Trang 21−
.c)Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a+ b 4=
Trang 23b) Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó
2 3
≤.53)Cho A =
Trang 24a)Rút gọn A b) So sánh A với
1
A 58)Cho A =
Trang 252 4
4 2
2
x x
x x x
x x
x x
a)Rút gọn P b) Tìm các số nguyên của x để P chia hết cho 4
x x
x x
x x
: 1
1 3 1
1
2
1 2
2
a
a a
a a
a P
a)Rút gọn P b) Tìm giá trị của a để P > 0
72)Cho biểu thức: 1 1
1 1
−
+ +
=
a a
x x
a a a a
a a A
a)Tìm điều kiện để A có nghĩa
x x x x
x x A
a)Rút gọn A b) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên
1 1
1
x
x x
x A
với x≥0;x≠1
Trang 26a)Rút gọn A b) Tìm giá trị nguyên của a để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
x x
x x
−
− + +
+ +
=
1
1 1
1 2
− +
+
=
6
5 3
2
a a a
a P
a
−
2 1
a)Rút gọn P b) Tìm giá trị của a để P < 1
79)Cho biểu thức: P = − +
+ +
−
+ +
2 3
2 2
3 :
1
1
x x
x x
x x
x x
−
−
−
1 3
2 3 1 : 1 9
8 1 3
1 1 3
1
x
x x
x x
x x
a)Rút gọn P b) Tìm các giá trị của x để P = 5
6
.81)Cho biểu thức: P = + + − − + − − 1
2 1
1 : 1
1
a a a a
a a
a
a
a)Rút gọn P
+ +
+
1 2
2 1 2
1 1
: 1 1 2
2 1 2
1
x
x x x
x x
x x x
2
x
x x
x x x x
−
+
a a
a a
a
a a
a
1
1 1
1
3 a)Rút gọn P b) Xét dấu của biểu thức P 1−a
85)Cho biểu thức: P =
1
1 1
1 1
2 :
+ +
−
+
x
x x
x
x x
x x
3 3 3 3
2
x
x x
x x
x x
x
a)Rút gọn P
Trang 27b) Tìm x để P < 2
1
.c)Tìm giá trị nhỏ nhất của P
3 6
9 : 1 9
3
x
x x
x x
x
x x
x x
a)Rút gọn P b) Tìm giá trị của x để P < 1
3 2 1
2 3 3 2
11 15
− +
−
x
x x
x x
x x
a)Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P = 2
1
.c)Chứng minh P 3
2
+
+
− +
−
+
a
a a a
a
a a
1 2
1 2
2
a
a a
a a
1
1 1 1
+
−
x x
x
x x
x x
a)Rút gọn P b) Chứng minh rằng P > 0, ∀x ≠ 1.92)Cho biểu thức: P = + +
: 1
1 1
2
x x
x x
x x
x x
a)Rút gọn P b) Tính Pkhi x =5+2 3
93)Cho biểu thức: P =
x x
x
x
1 : 2 4
2 4
2 3 2
1 : 1
a)Rút gọn P b) Tìm giá trị của x để P = 20
1
2 1
1 2
a
a a a
a
a a a a a
a a
a)Rút gọn P
Trang 28-a)Tìm điều kiện để Q có nghĩa b) Rút gọn Q.
c) Tính giá trị của Q khi
49
x =
1 2
Q =
-.e) Tìm những giá trị nguyên của x để giá trị của Q nguyên
Trang 29a a
b b
+
= + thì N có giá trị không đổi.
101)Cho biểu thức:
2 2
(2 3)( 1) 4(2 3) ( 1) ( 3)
.
x K
a)Tìm điều kiện của x để biểu thức K xác định
b) Rút gọn biểu thức K và tìm giá trị của x để K đạt giá trị lớn nhất
105)Cho biểu thức:
2 2
Trang 30115)Cho biểu thức:B= 16x+16− 9x+9+ 4x+4+ x+1, với x ≥ -1
a)Rút gọn biểu thức B b) Tìm x sao cho B có giá trị là 16
1 1
1
1
a
a a
a a
a Q
Trang 31
a)Rút gọn Q với a > 0, a ≠ 4 và a ≠ 1. b) Tìm giá trị của a để Q dương
Bài tập 5 Tìm x, biết :
1) (2x− 1)2 = 3 2) x x 3 15x
1 2 15 15
- Hàm số y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất như sau:
+ Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến trên R (Hàm số có đồ thị là đường thẳng, nếu x tăng thì ytăng)
+ Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến trên R (Hàm số có đồ thị là đường thẳng, nếu x tăng thì ygiảm)
VD: Hàm số y = 3x + 1, đồng biến trên R (vì a = 3 > 0).
Hàm số y = - 2x + 5, nghịch biến trên R (vì a = – 2 < 0)
Trang 32y = 2x + 1
-1
1 2
3 y
x O
+ Cắt trục hoành Ox tại điểm có hoành độ bằng - , A(- ; 0)
+ Cắt trục tung Oy tại điểm có tung độ bằng b, B(0; b)
+ Song song với đường thẳng y = ax, nếu b 0
+ Trùng với đường thẳng y = ax, nếu b = 0
- Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) còn gọi là đường thẳng y = ax + b
+ b là tung độ gốc của đường thẳng
+ a là hệ số gốc (a = tan )
d Cách vẽ đồ thị:
- Khi b = 0 thì y = ax có đồ thị đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và điểm A (1; a)
- Khi b≠0 thì y = ax + b có đồ thị là một đường thẳng đi qua hai điểm Ta sẽ tìm hai điểm thuộc
đồ thị để vẽ đường thẳng như sau:
+ Cho x = 0, ta được y = b, ta có điểm A(0; b) nằm trên trục Oy
+ Cho y = 0, thì ax + b = 0 x = , ta có điểm B (; 0) thuộc trục Ox
+ Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A và B ta được đồ thị hàm số y = ax + b
1
−
; 0) thuộc đồ thị
Đồ thị hàm số y = 2x + 1 là đường thẳng PQ
e Nhận biết điểm thuộc hay không thuộc đồ thị hàm số.
- Điểm M(xM; yM) là một điểm thuộc đồ thị hàm số y = ax + b, nếu với x = xM thì y = yM
VD: Điểm A(-1; -1) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1, vì x = -1 ta có: y = 2.(-1) + 1 = -1.
- Điểm M(xM; yM) là một điểm không thuộc đồ thị hàm số y = ax + b, nếu với x = xM thì y yM
VD: Điểm B(2; 3) không thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1, vì x = 2 ta có: y = 2 2 + 1 = 5 3.
g Nhận biết (hay điều kiện để) hai đường thẳng (d 1 ): y = ax + b (a 0) và (d 2 ): y = a’x + b’ (a’
0) cắt nhau hay song song hay trùng nhau qua các hệ số.
- Cắt nhau khi và chỉ khi: a a’
Trang 33- Cắt nhau trên trục tung Oy khi và chỉ khi: a a’; b = b’.
- Song song khi và chỉ khi: a = a’; b b’
- Trùng nhau khi và chỉ khi: a = a’; b = b’
- Vuông góc nhau khi và chỉ khi: a a’ = - 1
h Tìm giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau:
- Nếu hai đường thẳng cắt nhau có cùng tung độ gốc thì giao điểm là điểm nằm trên trục tung cótung độ là tung độ gốc
- Nếu hai đường thẳng khác tung độ gốc, ta lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đườngthẳng Giải phương trình tìm được hoành độ giao điểm, thay hoành độ giao điểm vào một trong haihàm số để tìm tung độ giao điểm
VD: Cho hai hàm số y = 2x – 1 và y = 4x + 2 Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng trên và
Cách tính góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox là dựa vào tỉ số lượng giác tan = a
- Trường hợp: a > 0 thì góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox là góc nhọn
- Trường hợp: a < 0 thì góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox là góc tù (1800 - )
y
x
-1/2 1/2
-3
3
2 1
O D
C
B A
-4
-2 -1
2 1
^
>
Trang 34VD: Tính góc tạo bởi đường thẳng y = 2x + 1 với trục Ox
Giải:
Ta có: tan = 2 = tan 630 = 630
Vậy góc tạo bởi đường thẳng y = 2x + 1 với trục Ox là: = 630
VD: Tính góc tạo bởi đường thẳng y = - 2x + 1 với trục Ox.
Ta có: tan (1800 – ) = 2 = tan 630 1800 – = 630 = 1170
Vậy góc tạo bởi đường thẳng y = - 2x + 1 với trục Ox là: = 1170
3 CÁC DẠNG BÀI TẬP:
a Dạng1: Xác dịnh các giá trị của các hệ số để hàm số đồng biến,
nghịch biến, Hai đường thẳng song song; cắt nhau; trùng nhau
Phương pháp:
- Hàm số đồng biến trên R: a > 0
- Hàm số nghịch biến trên R: a < 0
- Hai đường thẳng (d1): y = ax + b; (d2): y = a’x + b’
+ Song song nhau:
+ Trùng nhau:
+ Cắt nhau: a a’
+ Cắt nhau trên trục Oy:
+ Vuông góc nhau: a a’ = -1
Trang 35- Đường thẳng qua hai điểm A(0; b) và B( a
- Lập phương trình hoành độ giao điểm: ax + b = a’x + b’
- Giải phương trình ta tìm được giá trị của x
- Thay giá trị của x vào (d1) hoặc (d2) ta tính được giá trị của y
- Cặp giá trị của x và y là toạ độ giao điểm của hai đường thẳng
d Dạng 4: Tính chu diện tích của các hình tạo bởi các đường thẳng: các trục hoành Ox, trục tung
Oy; (d1): y = ax + b; (d2): y = a’x + b’
Phương pháp:
- Dựa vào các tam giác vuông và định lý Pytago để tính độ dài các đoạn thẳng không tính trựctiếp được
- Rồi tính chu vi tam giác bằng cách cộng các cạnh
- Dựa vào công thức tính diện tích tam giác để tính S
e Dạng 5: Tính góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox.
- Trường hợp: a > 0 thì góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox là góc nhọn
- Trường hợp: a < 0 thì góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox là góc tù (1800 - )
g Dạng 6: Điểm thuộc đồ thị; điểm không thuộc đồ thị:
Phương pháp:
- Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b Xét điểm M (x1; y1) có thuộc đồ thị không?
- Thay giá trị của x1 vào hàm số; tính được y0
- Nếu y0 = y1 thì điểm M thuộc đồ thị Nếu y0 y1 thì điểm M không thuộc đồ thị
h Dạng 7: Viết phương trình đường thẳng: y = ax + b đi qua điểm A(x0; y0) và điểm B(x1; y1)
Phương pháp:
- Thay x0; y0 vào y = ax + b ta được phương trình y0 = ax0 + b (1)
- Thay x1; y1 vào y = ax + b ta được phương trình y1 = ax1 + b (2)
- Giải hệ phương trình ta tìm được giá trị của a và b
- Thay giá trị của a và b vào y = ax + b ta được phương trình đường thẳng cần tìm
i Dạng 8: Chứng minh đường thẳng đi qua một điểm cố định hoặc chứng minh đồng quy:
Phương pháp:
- Chứng minh đường thẳng (d): y = a(m)x + b(m) đi qua một điểm cố định A(x0; y0):
Trang 36+ Thế toạ độ điểm A vào đường thẳng (d), ta được: y0 = a(m)x0 + b(m) (1).
+ Biến đổi (1) thành: A(m) + B = 0
+ Giải hệ phương trình trên tìm x0; y0
+ Vậy điểm A(x0; y0) là điểm cố định mà đường thẳng (d) đi qua
- Chứng minh đường thẳng (d1), (d2), (d3) đồng quy:
+ Tìm hoành độ giao điểm của (d1) và (d2) (hoặc (d1) và (d3), hoặc (d2) và (d3))
+ Thế điểm đó vào đường thẳng còn lại
+ Chứng minh điểm đó là điểm đồng quy
VD: Cho các đường thẳng: (d1): y = (m2 - 1)x + m2 - 5 (Với m 1; m -1)
a) Gọi điểm cố định mà đường thẳng (d1) đi qua là A(x0; y0) thay vào PT (d1) ta có:
y0 = (m2 - 1)x0 +m2 - 5 (Với mọi m) m2(x0 + 1) - (x0 + y0 + 5) = 0 với mọi m
Điều này chỉ xảy ra khi:
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4)
b) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng trên với trục tung và trục hoành
Bài 2: Cho hàm số: y = (m – 2)x + m + 3.
Trang 37a) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến.
b) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3
c) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = - x + 2 ; y = 2x – 1 đồngquy
Bài 3: Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 3.
a) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = - 2x + 1
b) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1; - 4)
c) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m
Bài 4: Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; - 1).
a) Viết phương trình đường thẳng AB
b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đườngthẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2)
Bài 5: Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 3.
a) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5)
b) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m Tìm điểm cốđịnh ấy
c) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2 1 −
Bài 6: Tìm giá trị của k để các đường thẳng sau: y = ; y = và y = kx + k + 1 cắt nhau tại một
điểm
Bài 7: Giả sử đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b Xác định a, b để (d) đi qua hai điểm
A(1; 3) và B(-3; -1)
Bài 8: Cho hàm số: y = x + m (D) Tìm các giá trị của m để đường thẳng (D):
a) Đi qua điểm A(1; 2010)
b) Song song với đường thẳng x – y + 3 = 0
Bài 9: Cho hàm số y = (m - 2)x + n (d) Tìm giá trị của m và n để đồ thị (d) của hàm số:
a) Đi qua hai điểm A(-1; 2) và B(3; - 4)
b) Cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng 1 - và cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 2 +
c) Cắt đường thẳng - 2y + x – 3 = 0
d) Song song vối đường thẳng: 3x + 2y = 1
Bài 10: Cho đường thẳng (d): y = x – 3
a) Vẽ (d) Tính diện tích tam giác được tạo thành giữa (d) và hai trục toạ độ
b) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d)
Trang 38Bài 11: Cho hàm số: y = |x – 1| (d)
a) Nhận xét dạng của đồ thị Vẽ đồ thị (d)
b) Dùng đồ thị, biện luận số nghiệm của phương trình: |x – 1| = m
Bài 12: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng: (d): y = (m – 1)x + 2, (d’): y = 3x – 1.
a) Song song với nhau b) Cắt nhau c) Vuông góc với nhau
Bài 13: Tìm giá trị của a để ba đường thẳng: (d1): y = 2x – 5; (d2): y = x + 2; (d3): y = ax – 12đồng quy tại một điểm trong mặt phẳng toạ độ
Bài 14: CMR khi m thay đổi thì (d): 2x + (m – 1)y = 1 luôn đi qua một điểm cố định
Bài 15: Cho hàm số: y = 3x 2 m
1 + +
−
(d)
a) Cmr với mọi m thì (d) luôn nghịch biến
b) Cmr góc của (d) với Ox không phụ thuộc vào m
c) Tính góc của (d) với Ox
Bài 16: Cho hàm số 2) x 2m 3
1 (m
y = − + −
(d)
a) Tìm m để (d) đi qua (- 2; 3)
b) Tìm m để (d) song song với đ.thẳng y = 2x – 2
c) Tìm m để (d) đồng biến với mọi x > 3
Bài 17: Cho hàm số y = (2m – 1)x + 4m2 – 1 (d)
a) Tìm m để (d) cắt đường thẳng y = - 3x + 1
b) Tìm m để (d) và hai đường thẳng y = 2x -1; y = 3x +1 đồng qui
c*) Tìm m để (d) cắt hai trục tọa độ theo một tam giác cân
Bài 18: Cho hàm số y = (3m + 1).x – 2m – 2 (d).
a) Tìm m để (d) đi qua điểm - 3 trên trục Ox
b) Tim m để (d) vuông góc với đ.thẳng y = 2x + 1
c*) Tìm tất cả những điểm trên đường thẳng y = 3 mà (d) không thể đi qua với mọi m
Trang 39b) Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến.
c) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; 3)
d) Tìm m để đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 9
e) Tìm m để đồ thị đi qua điểm có hoành độ bằng 10 trên trục hoành
g) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = 2x – 1
h) Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m
Bài 21: Cho đường thẳng y = 2mx + 3 – m – x (d) Xác định m để:
a)Đường thẳng d qua gốc toạ độ
b) Đường thẳng d song song với đường thẳng 2y – x = 5
c)Đường thẳng d tạo với Ox một góc nhọn
d) Đường thẳng d tạo với Ox một góc tù
e)Đường thẳng d cắt Ox tại điểm có hoành độ 2
g)Đường thẳng d cắt đồ thị Hs y = 2x – 3 tại một điểm có hoành độ là 2
h) Đường thẳng d cắt đồ thị Hs y = - x + 7 tại một điểm có tung độ y = 4
i)Đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thảng 2x – 3y = - 8 và y = - x + 1
Bài 22: Cho hàm số y = (m - 2)x + m + 3.
a) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn luôn nghịch biến
b) Tìm điều kiện của m để đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3
c) Tìm m để đồ thị hàm số y = - x + 2, y = 2x – 1 và y = (m – 2)x + m + 3 đồng quy
d) Tìm m để đồ thị h/số tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 2
Bài 26: Cho ba đường thẳng (d1): -x + y = 2; (d2): 3x - y = 4 và (d3): nx - y = n - 1; n là tham số.a) Tìm tọa độ giao điểm N của hai đường thẳng (d1) và (d2)
b) Tìm n để đường thẳng (d3) đi qua N
Bài 27: Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b trong mỗi trường hợp sau:
a)a = - 1 và đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng – 2
b) a = 3 và đồ thị của hàm số đi qua điểm A(2; 5)
c)Đồ thị của hàm số song song với đường thẳng y = x và đi qua điểm B(1; + 3)
d) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(-1; 2) và B(2; - 3)
e)Đồ thị hàm số đi qua M(2; - 3) và vuông góc với đường thẳng y = x – 2
Bài 28: Với điều kiện nào của k và m thì hai đường thẳng: (d1): y = (k – 2)x + m – 1 và (d2):
y = (6 – 2k)x + 5 – 2m
Bài 29: Cho hàm số y = (a – 1)x + a
a)Xác định giá trị của a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng – 3
b) Xác định giá trị của a để đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2
Trang 40c)Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với giá trị của a tìm được ở các câu a và b trên cùng một hệ trụctoạ độ Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng vừa vẽ được.
Bài 30: Cho đường thẳng y = (m – 2)x + n (m ≠ 2) (d) Tìm các giá trị của m và n trong cáctrường hợp sau:
a)Đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(-1; 2) và B(3; 4)
b) Đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1+ và cắt trục hoành tại điểm cóhoành độ bằng 2 +
Bài 32: Cho hàm số y = (1 – 2m)x + m + 1 (1).
a)Tìm m để hàm số (1) đồng biến, nghịch biến
b) Tìm m để hàm số (1) song song với đường thẳng y = 3x – 1 + m
c)Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (1) luôn đi qua một điểm cố định duynhất Tìm điểm cố định đó
Bài 33: Cho hai đường thẳng: y = - 4x + m – 1 (d1) và y = x + 15 – 4m (d2)
a) Tìm m để hai đường thẳng (d1) và (d2) cắt nhau tại điểm trên trục tung
b) Với m ở trên hãy tìm toạ độ giao điểm A, B của hai đường thẳng (d1) và (d2) với trục hoành.c) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC
d) Tính các góc của tam giác ABC
Bài 34: Cho hàm số y = (m – 3)x + k (d) Tìm giá trị của m và k để đường thẳng (d):
a) Đi qua hai điểm A(1 ; 2) và B(-3 ; 4)
b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 – và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 1 +
c) Cắt đường thẳng 2y – 4x + 5 = 0
d) Song song với đường thẳng: y – 2x – 1 = 0
e) Trùng với đường thẳng 3x + y – 5 = 0
Bài 35: Viết phương trình đường thẳng (d) biết:
a) (d) đi qua A(1; 2) và B(- 2; - 5)
b) (d) đi qua M(3; 2) và song song với đường thẳng (∆): y = 2x – 5
1