Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác

ĐỊNH LÝ VỀ ĐƯỜN G TRUNG TUYẾ N Cho UABC coù trung tuyeá n AM thì:... DIEÄN TÍCH TAM GIAÙC Goï i.[r]

T 

T 

T r r  u u  n n  g t  t â â  m V  V ĩ ĩ  n n  h V  V i i  ễ ễ  n 

h 

h t t  t t  p p  : :  / /  / /  l l  a a  i i  s s  a a  c c  .   p p  a a  g g  e e  .   t t  l l 

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

I ĐỊNH LÝ HÀM SIN VÀ COSIN

Cho ΔABC có a, b, c lần lượt là ba cạnh đối diện của A, B, C, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC, S là diện tích ΔABC thì

= = =

= + − = + −

= + − = + −

= + − = + −

a b c 2R sin A sin B sin C

a b c 2bc cos A b c 4S.cotg

b a c 2ac cos B a c 4S.cotgB

c a b 2ab cos C a b 4S.cotg

A C

Cho ΔABC Chứng minh:

A 2B= ⇔a = b +bc

Ta có: a2 = b2 +bc ⇔ 4R sin A 4R sin B 4R sin B.sinC2 2 = 2 2 + 2

( )

⇔ − = ∨ − = π −

sin A sin B sin B sin C

1 1 cos 2A 1 1 cos 2B sin B sin C

cos 2B cos 2A 2 sin B sin C

2 sin B A sin B A 2 sin B sin C sin B A sin A B sin B sin C sin A B sin B do sin A B sin C 0

A B B A B B loại

A 2B

Cách khác:

sin A sin B sin B sin C

(s in A sin B) (s in A sin B) sin B sin C

2 cos sin 2 sin co s sin B sin C

( )

⇔ + − =

⇔ − = + = >

⇔ − = ∨ − = π −

⇔ =

sin B A sin A B sin B sin C

sin A B sin B do sin A B sin C 0

A B B A B B loại

A 2B

Bài 1

Cho ΔABC Chứng minh: ( ) 2 2

2

sin A B a b sin C c

− −

=

Ta có a2 −2b2 = 4R sin A 4R sin B2 2 2 − 2 2 2

c 4R sin C

−

−

+ = >

2

1 1 cos 2A 1 1 cos 2B

2 sin A B sin B A cos 2B cos 2A

2 sin C 2 sin C sin A B sin A B sin A B

sin C sin C

do sin A B sin C 0

Cho ΔABC biết rằng tgA tgB 1

2 ⋅ 2 = ⋅3 Chứng minh a b+ = 2c

Ta có : tgA ⋅tgB 1= ⇔3sin sinA B =cos cosA B

2 2 3 2 2 2 2

do cos 0,cos 0

⎛ > > ⎞

( )

2sin sin cos cos sin sin

B

Mặt khác: a b 2R sin A sin B+ = ( + )

( )

( )

=

=

4R sin cos

8R sin cos do *

4R sin A B 4R sin C 2c

Cách khác:

+ =

⇔ + =

a b 2c

2R sin A sin B 4R sin C

Bài 2

Bài 3

+ −

2 sin cos 4 sin cos

cos 2 sin 2 cos do sin cos

C 2

cos cos sin sin 2 cos cos 2 sin sin

3sin sin cos cos

B 2

⇔ tgA ⋅tgB 1=

2 2 3 Cho ΔABC, chứng minh nếu cotgA,cotgB,cotgCtạo một cấp số cộng thì

a , b ,c cũng là cấp số cộng

Ta có: cot gA, cot gB, cot gC là cấp số cộng⇔ cot gA cot gC 2 cot gB *+ = ( )

Cách 1:

( )

2 2

sin A C 2cosB

Ta có: * sin B 2sin A sin C cos B

sin A sin C sin B sin B cos A C cos A C cos A C sin B cos A C cos A C cos A C

1 sin B cos B cos 2A cos 2C

2 1 sin B 1 sin B 1 2sin A 1 2sin C

2 2sin B sin A sin C

+

⇔ = ⇔ =

⇔ = −⎡⎣ + − − ⎤ ⎡⎦ ⎣− + ⎤⎦

⇔ = + − − +

⇔ = − +

⎡ ⎤

⇔ = − − ⎣ − + − ⎦

⇔ = +

⇔ 22 22 22

2b a c 4R 4R 4R 2b a c

a , b ,c là câùp số cộng

= +

⇔ = +

⇔ •

Cách 2:

( )

⇔ = + − ⎜⎝ ⎟⎠

+ −

=

Ta có: a b c 2ab cos A

1

a b c 4 bc sin A cotgA

2

a b c 4S cot gA

b c a

Do đó cotgA

4S

Tương tự cotgB , cotgC

2b a c Bài 4

Cho ΔABC có sin B sin C 2sin A2 + 2 = 2

Chứng minh BAC 60 ≤ 0

( )

Ta có: sin B sin C 2sin A

4R 4R 4R

b c 2a *

A

Do định lý hàm cosin nên ta có

a = b +c −2bc cos

+ − − + −

⇔ = =

+

= ≥ =

≤

0

2 b c b c

b c a cos A ( do * )

2bc 4bc

b c 2bc 1 do Cauchy

4bc 4bc 2

Vạây : BAC 60

Cách khác:

định lý hàm cosin cho

= + − ⇒ + = +

a b c 2bc cos A b c a 2bc cos A

Do đó

+

1

Cho ΔABC Chứng minh :

R a b c cotgA+cotgB+cotgC

abc

+ +

= + −

= + − + −

= =

+ + + + + + = =

+ +

=

b c a

Ta có: cotgA

4S

a c b a b c Tương tự: cot gB , cot gC

4S 4S

a b c a b c

Do đó cot gA cot gB cot gC abc

4S 4

4R

a b c R

abc

2

Cho ΔABC có 3 góc A, B, C tạo thành một cấp số nhân có công bội q = 2 Giả sử A < B < C

Chứng minh: =1 1 1+

a b c

Bài 5

Bài 6

Bài 7

Do A, B, C là cấp số nhân có q = 2 nên B = 2A, C = 2B = 4A

2 4 Mà A B C nên A ,B ,C

7 7 7

π π π + + = π = = =

Cách 1:

π + π

=

π

=

Ta có:

b c 2R sin B 2R sin C

2R sin sin

sin sin

2R sin sin

3

2 sin cos

1 2 7 37 dosin4 sin3

cos

R 2 sin cos 2R sin A

1 a

Cách 2:

+

a b c sin A sin B sin C

sin A sin 2A sin 4A sin 2A sin 4A

1 2 sin 3A.cos A 2 cos A 2 cos A sin A sin 2A sin 4A sin 2A 2 sin A cos A

do : sin 3A sin sin sin 4A

Tính các góc của ΔABCnếu

sin A sin B sin C

1 = 3 = 2

Do định lý hàm sin: a b c 2R

sin A = sin B = sin C = nên : sin A sin B sin C *( )

1 = 3 = 2

Bài 8

a b c 2R 2R 3 4R

b c b a 3 a

2

3 c 2a

⇔ = =

⎧ =

⎪

⇔ = = ⇔ ⎨

=

⎪⎩

( )

( )

2

0 0

Ta có: c 4a a 3 a

c b a Vạây ABC vuông tạiC

Thay sin C 1 vào * ta được

sin A sin B 1

1 3 2

1 sin A

2 3 sin B

2

A 30

B 60

= = +

⇔ = + Δ

=

= =

⎧ =

⎪⎪

⇔ ⎨

⎪ =

⎪⎩

⎧ =

⎪

⇔ ⎨

=

⎪⎩

2

Ghi chú:

Trong tam giác ABC ta có

a b = ⇔ = ⇔ A B sin A sin B = ⇔ cos A cos B =

II ĐỊNH LÝ VỀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN

Cho UABC có trung tuyến AM thì:

2

AB AC 2AM

2 + = +

hay : 2 2 2 2

a

a

c b 2m

2 + = +

Cho UABC có AM trung tuyến, AMB = α, AC = b, AB = c, S là diện tích UABC Với 0 < < α 90 0

a/ Chứng minh: cotg b2 −c2

4S

α = b/ Giả sử α =450, chứng minh: cotgC – cotgB = 2

a/ UAHM vuông cotg HM MB BH

AH AH

−

⇒ α = =

( )

a BH cotg 1

2AH AH

⇒ α = −

Bài 9

Mặt khác: b2 c2 (a2 c2 2ac cosB) c

4S 2AH.a

+ − −

− = 2 Đặt BC = a

b c a c cos B a BH

4S 2AH AH 2AH AH

−

⇒ = − = − (2)

Từ (1) và (2) ta được : cotg b2 c2

4S

−

α = Cách khác:

Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích tam giác ABH và ACH

Aùp dụng định lý hàm cos trong tam giác ABH và ACH ta có:

+ −

α = 2 2

1

2

AM BM c cotg

4S (3) + −

− α = 2 2

2

2

AM CM b cotg

4S (4) Lấy (3) – (4) ta có :

−

α = b2 c2

cotg

4S ( vì S1=S2 =

S

2) b/Ta có: cotgC – cotgB = HC HB HC HB

AH AH AH

−

− = = (MH MC) (MB MH)

AH

+ − −

= 2MH 2cotg= α = 2 cotg 450 =2 AH

Cách khác:

Aùp dụng định lý hàm cos trong tam giác ABM và ACM ta có:

+ −

= 2 2

1

BM c AM cotg B

4S

2

(5) + −

= 2 2

2

CM b AM cotg C

4S

2

(6) Lấy (6) – (5) ta có :

−

− = b2 c2 = cotg C cot gB 2 cot g

2S α=2 ( vì S1=S2 =

S

2 và câu a )

Cho UABC có trung tuyến phát xuất từ B và C là m ,mb c thỏa

b

c

m

b = m ≠ Chứng minh: 2cotgA = cotgB + cotgC

Ta có: 2 2b

c

m

c

b = m

( )

)

+ −

+ −

2

2

1 a c b

c

b a

b c a c a b b c

1

a c a b c b

2 1

2

c 2a c b 1 do 1

b

Thay b2 +c2 = a2 +2bc cos A vào (1), ta có (1) thành

a2 =2bc cos A

⇔ = =

+

⇔ = =

a 4R sin A cos A

2bc 2 2R sin B 2R sin C

sin B C cos A sin A

2

sin A sin B sin C sin B sin C

+

⇔2 cotgA = sinBcosC sinCcosB = cotgC cotgB+

sin B sin C

Bài 194: Chứng minh nếu UABC có trung tuyến AA’ vuông góc với trung tuyến

BB’ thì cotgC = 2 (cotgA + cotgB)

UGAB vuông tại G có GC’ trung tuyến nên AB = 2GC’

Vậy AB 2C

3 ′

= C

c

2

9c 4m

c 9c 2 b a

2 5c a b

5c c 2abcosC

⇔ = + (do định lý hàm cos)

2

2

2c ab cosC

2 2R sin C 2R sin A 2R sin B cosC

Bài 10

⇔ =

⇔ =

2

2 sin C sin A sin B cos C

2 sin C cos C sin A sin B sin C

( + )

⇔ 2 sin A B =

cotgC sin A sin B

+

⇔ + =

2 sin A cos B sin B cos A

cotgC sin A sin B

2 cotg B cotgA cotgC

III DIỆN TÍCH TAM GIÁC

Gọi S: diện tích UABC

R: bán kính đường tròn ngoại tiếp UABC r: bán kính đường tròn nội tiếp UABC p: nửa chu vi của UABC

thì

1 1 1

S a.h b.h c.h

2 2 2

1 1 1

S absin C ac sin B bc sin A

2 2 2 abc

S 4R

S pr

S p p a p b p c

= = =

= = =

=

=

= − − −

Cho UABC chứng minh: sin 2A sin 2B sin 2C 2S2

R + + =

Ta có:

sin2A+ sin2B + sin2C

= sin2A + 2sin(B + C).cos(B - C)

= 2sinAcosA + 2sinAcos(B - C)

= 2sinA[cosA + cos(B - C)]

= 2sinA[- cos(B + C) + cos(B - C)]

= 2sinA.[2sinB.sinC]

= 3

a b c 1 abc

= 4

2R 2R 2R 2 R = 3 = 2

1 4RS 2S

2 R R

Cho UABC Chứng minh :

S = Diện tích (UABC) = 1 a sin2B b sin2A( 2 2 )

4 +

Bài 11

Bài 12

Ta có : S = dt ABC( ) 1absin C

2

Δ =

= ab sin A B1 ( + )

2

= ab sin A cos B sinB cos A1 [ + ]

2

+

= ab sin B cos B sin A cos A (do đl hàm sin)

1

= a sin B cos B+ b sin A cos A

2

1

= a sin 2B b sin 2A

4

: Cho ΔABC có trọng tâm G vàGAB = α,GBC = β,GCA = γ

Chứng minh: 3 a( 2 b2 c2)

cotg + cotg +cotg =

4S

+ +

α β γ

Gọi M là trung điểm BC, vẽ MH ⊥ AB

AH AMH cos

AM

BH 2BH BHM cos B

Ta có: AB = HA + HB

( )

a

c AM cos cos B

2

cos c cos B 1

Mặt khác do áp dụng định lý hàm sin vào ΔAMB ta có :

MB AM sin 1 MBsin B a sin B (2)

sinα = sin B ⇔ α = AM = 2AM

Lấy (1) chia cho (2) ta được :

− −

α =

a

c cos B 2c a cos B 2

cotg =

asin B a. b

2 2R

+ − + −

2

R 4c 2ac cos B

R 4c 2a cos B = =

ab abc 3c b a 3c b a = abc =

4S R

Bài 13

Chứng minh tương tự :

3a c b cotg

4S 3b a c cotg

4S

+ −

β =

+ −

γ =

2

2

Do đó:

α + β + γ

+ − + − + −

= + +

+ +

cotg cotg cotg

3c b a 3a c b 3b a c

4S 4S 4S

3 a b c =

4S

2

3

m m m a b c (*)

4 + + = + +

Δ

+ − + −

α = =

2

a

a ABM

a

c m 4c 4m a

4 cotg (a)

4S 8S

Tương tự cotg 4a2 4m2b b2(b),cotg 4b2 4m2c c2 (c)

8S 8S

+ − + −

β = γ = Cộng (a), (b), (c) và kết hợp (*) ta có:

α + β + γ =

3 a b c cotg cotg cotg

4S

IV BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN

Gọi R bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC

và r bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC thì

=

R

2 sin A 4S S

r p

r p a tg p b tg p c tg

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC

Chứng minh:

Bài 14

A B C a/ r 4R sin sin sin

2 2 b/ IA.IB.IC 4Rr

=

=

2

a/ Ta có : IBH cotgB BH

2 IH

Δ ⊥⇒ =

B

BH rcotg

2

⇒ = Tương tự HC r cotg= C

2

Mà : BH + CH = BC

nên

⎛ + ⎞ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

+

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⇔ =

⇔ =

⇔ =

⇔ =

B C

r cotg cotg a

2 2

B C

r sin

2 a

B C sin sin

2 2

A B C

r cos 2R sin A sin sin

2 2 2

A A A B C

r cos 4R sin cos sin sin

2 2 2 2 2

A B C A

r 4R sin sin sin (do cos >0)

2 2 2 2

b/ Ta có : sin IK

IA

Α

Δ ⊥ ΑΚΙ ⇒ =

2

r

IA A sin 2

⇒ =

Tương tự IB = r

B sin 2

; IC= r

C sin 2

Do đó : IA.IB.IC A r3B C

sin sin sin

2 2

=

2

r3 4Rr (do kết quả câu a)2

r 4R

= =

: Cho ΔABC có đường tròn nội tiếp tiếp xúc các cạnh ΔABC tại A’, B’, C’ ΔA 'B'C'có các cạnh là a’, b’, c’ và diện tích S’ Chứng minh:

Bài 15

⎛ ⎞

=

a/ 2 sin sin sin

b/ 2 sin sin sin

a/ Ta có : C'A 'B' 1C'IB' 1( A) 1(B C)

2 2 2

= = π − = + Áp dụng định lý hình sin vào ΔA 'B'C'

a ' 2r

sin A ' = (r: bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC)

B C

a ' 2r sin A ' 2r sin (1)

2

+

⇒ = =

ABC

Δ có : a BC BA ' A 'C= = +

a r cot g r cot g

B C sin 2

a r B C (2) sin sin

+

⇒ =

Lấy (1)

(2) ta được a

B 2sin sin

a 2

′

= C

2

Tương tự b' 2sin sinA C

b = 2 2

Vậy a ' b' 2sinC sin A sinB

b/ Ta có: A 'C'B' 1.B'IA ' 1( C) 1(A B)

2 2 2

= = π − = +

Vậy sin C' sinA B cosC

2 2

+

= =

Ta có: ( )

1 a'b'sinC'

dt A 'B'C'

1

S dt ABC absin C

2

Δ

Δ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⇒ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⋅

⋅ ⋅

2

S ' a ' b ' sin C '

S a b sin C

C cos

B C A 2 = 4 sin sin sin C C

2 2 2 2sin cos

2 2

B C A = 2 sin sin sin

2 2 2

Cho ΔABC có trọng tâm G và tâm đường tròn nội tiếp I Biết GI vuông góc với đường phân giác trong của BCA Chứng minh:

a b c 2ab

3 a b

+ + =

+ Vẽ GH AC,GK⊥ ⊥ BC,ID AC⊥

IG cắt AC tại L và cắt BC tại N

Ta có: Dt( CLN) 2Dt( LIC)Δ = Δ

=ID.LC = r.LC (1) Mặt khác:

Dt( CLN) Dt( GLC) Dt( GCN)

1 GH.LC GK.CN (2)

2

Δ = Δ + Δ

= +

Do ΔCLN cân nên LC = CN

Từ (1) và (2) ta được:

1 rLC LC GH GK

2 2r GH GK

= +

⇔ = +

Gọi h , ha b là hai đường cao ΔABC phát xuất từ A, B

Ta có:

a

h = MA = 3 và b

GH 1

h = 3

Do đó: ( a b)

1 2r h h (3) 3

= +

Bài 16

Mà: ( ) a b

1 1

S Dt ABC pr a.h b.h

2 2

= Δ = = =

Do đó: ha 2pr

a

= và hb 2pr

b

=

Từ (3) ta có: 2r 2pr 1 1

= ⎜ + ⎟

+

⎛ ⎞

⇔ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠ + + +

⇔ = ⋅

+ +

⇔ = +

1 a b

1 p

3 ab

a b c a b 3

2 a 2ab a b c

a b 3

b

BÀI TẬP

1 Cho ΔABC có ba cạnh là a, b, c R và r lần lượt là bán kính đừơng tròn ngoại tiếp và nội tiếp ΔABC Chứng minh:

a/ (a b cotg) C (b c cotg) A (c a cotg) B 0

2 2 2

− + − + − =

b/ r1 cos A cos B cosC

R

+ = + +

c/ Nếu Acotg ,cotg ,cotgB

2 2

C

2 là cấp số cộng thì a, b, c cũng là cấp số cộng d/ Diện tích ΔABC R r sin A sin B sin C= ( + + )

e/ Nếu : a4 = b4 +c4 thì ΔABC có 3 góc nhọn và 2sin A tgB.tgC2 =

2 Nếu diện tích (ΔABC) = (c + a -b)(c + b -a) thì tgC 8

15

=

3 Cho ΔABC có ba góc nhọn Gọi A’, B’, C’ là chân các đường cao vẽ từ A, B,

C Gọi S, R, r lần lượt là diện tích, bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp ABC

Δ Gọi S’, R’, r’ lần lượt là diện tích, bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của ΔA 'B'C' Chứng minh:

a/ S’ = 2ScosA.cosB.cosC

b/ RR '

2

=

c/ r’ = 2RcosA.cosB.cosC

4 ΔABC có ba cạnh a, b, c tạo một cấp số cộng Với a < b < c

Chứng minh :

a/ ac = 6Rr

b/ A Ccos 2sinB

2 2

− = c/ Công sai d 3r tgC tgA

5 Cho ΔABC có ba góc A, B, C theo thứ tự tạo 1 cấp số nhân có công bội q = 2 Chứng minh:

a/ 1 1 1

a = b c+

b/ cos A cos B cos C2 2 2 5

4 + + =