Giáo án phụ đạo Toán 10

Chứng minh rằng với mọi m đồ thị Pm luôn cắt đường thẳng y = x tại hai điểm phân biệt và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng hằng số.. Phương trình tiếp tuyến của Parabol Bài 14.[r]

PHẦN 1 HÀM SỐ BẬC NHẤT y ax b  

I Kiến thức cơ bản:

1 Hàm số y ax b a   0:

- Tập xác định D R

- Hàm số y ax b  đồng biến trên R a 0

- Hàm số y ax b  nghịch biến trên R a 0

- Đồ thị là đường thẳng qua A b B 0; , b;0

a

 

2 Hàm số hằng y b :

- Tập xác định D R

- Đồ thị hàm số y b là đường thẳng song song với trục hoành Ox và đi qua A b  0;

3 Hàm số y x :

- Tập xác định D R

- Hàm số y x là hàm số chẵn

- Hàm số đồng biến trên 0;

- Hàm số nghịch biến trên ;0

4 Định lý:  d y ax b:   và  d' :y a x b '  '

-  d song song  d ' a a ' và b b '

-  d trùng  d ' a a ' và b b '

-  d cắt  d ' a a '

Bài tập ví dụ:

1) Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng một hệ trục tọa độ: y2x; y2x2; y  x 3; y 2

Hàm số y2x Hàm số y2x2 Hàm số y  x 3

Chox  0 y 0, O 0;0 cho x   0 y 2, B0; 2  cho x  0 y 3, D 0;3

Chox  1 y 2, A 1;2 cho x  1 y 0 , C 1;0 cho x  1 y 2, A 1;2

Hàm số y 2 là đường thẳng song song với trục hoành Ox và đi qua điểm E 0;2

(Học sinh tự vẽ hình)

2) Tìm a,b để đồ thị hàm số y ax b  đi qua hai điểmA 2;1 vàB  1;3

Giải: Vì đồ thị hàm số y ax b  đi qua hai điểmA 2;1 vàB  1;4nên ta có hệ phương trình 2 1

4

a b

a b

 



  

 Giải hệ ta đượca   và1 b  Vậy hàm số cần tìm là 3 y  x 3

3) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số bậc nhất: tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của đồ thị

hai hàm số bậc nhất sau đây y2 1x và y 3 2x

Vậy giao điểm cần tìm là điểm M 1;1

4) Tìm a,b để đường thẳng y ax b  đi qua M  1;1 và song song với đường thẳng y3x2

Giải: Vì đường thẳng y ax b  song song với đường thẳng y3x2 nên ta có a  3

Vì y ax b  đi qua M  1;1 nên ta có 1 1.a b , thế a  ta tìm được 3 b  4

Vậy đường thẳng cần tìm là y3x4

5) Vẽ đồ thị hàm số cho bởi nhiều công thức:

Vẽ đồ thị hàm số   1, khi 1

2 , khi 1

y f x



 Với x  ta có 1 y x 1 Với x  ta có 1 y 2 x

Cho x  1 y 2, A 1;2 cho x  0 y 2,C 0;2

Cho x  2 y 3, B 2;3 cho x   1 y 3,D  1;3

BÀI TẬP

1 Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng một hệ trục tọa độ: y 2 x y ; 2 ; x y2x3 ; y2

2 Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) 1, khi 0

2 , khi 0

y



1, khi 1

y



4 2 , khi 2

y



2, khi 1

2 1, khi 1

y



e) y x 1 f) y 2x3 g) y x 1 h) y x  1 2

3 Tìm m để các hàm số:

a) ym1x3đồng biến trên R b) y2m3x6 nghịch biến trên R

c) ym1x3x2m tăng trên R d) y2m3x2x m giảm trên R

4 Tìm a,b để đồ thị hàm số y ax b  :

a) Đi qua hai điểm A  và 1; 3 B 2;3 c) Đi qua điểm M2; 1  và song song với

3

y x 

b) Đi qua gốc tọa độ và A 2;1 d) Đi qua gốc tọa độ và song song với

2 2009

y x

5 Tìm m để:

a) Đồ thị hàm số y3x5 cắt đồ thị hàm số ym2x5

b) Đồ thị hàm số y2x2 song song với đồ thị hàm số ym21x2m

c) Đồ thị hàm số y x 2 trựng với đồ thị hàm số y m x 2 2m

6 Tỡm tọa độ giao điểm nếu cú của đồ thị hai ham số:

a) y3 1x và y x 1 b) y3 1x và y x 1 c) y5x6 và y x 6

7 Tỡm m để đồ thị của ba hàm số sau đồng quy (cựng đi qua một điểm):

a) y2x và y  x 3 và y mx 1

b) y x 1 và y 3 x và y m x 2 3m2

c) y 2 x và y x m  3 và ym2x5

8 Cho hàm số y m x   1 2

a) Chứng minh rằng đồ thị hàm số trờn luụn đi qua một điểm cố định với mọi m

b) Tỡm m  để đồ thị hàm số 0 y m x   1 2 cắt Ox Oy, tại hai điểm A B, sao cho OAB cõn tại O

PHẦN 2

Hàm số bậc hai - một số dạng toán liên quan



Dạng 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

Bài 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a)y= x2- 6x+ 3 b)y= x2- 4x+ 3 c)y= -x2 + 5x- 4

d) y= 3x2+ 7x+ 2 e) y= -x2- 2x+ 4

Bài 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) y x 4x 3 2  b) y x 4x 3 2  c) y x 24 x 3

d) y x 4 x 3 2  e) y x 24x 3

Bài 3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:

a) y = x2 -5x + 7 trên đoạn [-2;5] b) y = -2x2 + x -3 trên đoạn [1;3]

c) y = -3x2 - x + 4 trên đoạn [-2;3] d) y = x2 + 3x -5 trên đoạn [-4; -1]

Bài 4 Tìm m để các bất phương trình sau đúng với mọi giá trị của m:

a) x2 - 3x + 1 > m b) -x2 +2x - 1 > 4m c) 2x 2  x 1 2m 1

d) 3x 2  x 3 3m e) x 1 x 2 x 3 x 4        f) m x 22x 1 m m  2

g) x 3 x 5 x 2 x 4       3m 1

Dạng 2 Lập phương trình của parabol khi biết các yếu tố của nó

Bài 5 Xác định phương trình các parabol:

a) y= x2+ ax+ b đi qua S(0; 1)

b) y= ax2+ x+ b đi qua S(1; -1)

c) y= ax2+ bx- 2 đi qua S(1; 2)

d) y= ax2+ bx+ c đi qua ba điểm A(1; -1), B(2; 3), C(-1; -3)

e) y= ax2+ bx+ c cắt trục hoành tại x1= 2và x2= 3, cắt trục tung tại: y= 6

f) y= ax2+ bx+ c đi qua hai điểm m(2; -7), N(-5; 0) và có trục đối xứng x= -2

g) y= ax2+ bx+ c đạt cực tiểu bằng –6 tại x= -3 và qua điểm E(1; -2)

h) y= ax2+ bx+ c đạt cực đại bằng 7 tại x= 2 và qua điểm F(-1; -2)

i) y= ax2+ bx+ c qua S(-2; 4) và A(0; 6)

Bài 6 Tìm parabol y=ax2+ bx+ 2 biết rằng parabol đó:

a) Đi qua hai điểm A(1; 5) và B(-2; 8) b)Cắt trục hoành tại x1= 1 và x2= 2

c) Đi qua điểm C(1; -1) và có trục đối xứng x= 2 d)Đạt cực tiểu bằng 3/2 tại x= -1

e) Đạt cực đại bằng 3 tại x= 1

Bài 7 Tìm parabol y= ax2+ 6x+ c biết rằng parabol đó

a) Đi qua hai điểm A(1; -2) và B(-1; -10) b)Cắt trục hoành tại x1= -2 và x2= -4

c) Đi qua điểm C(2; 5) và có trục đối xứng x= 1 d)Đạt cực tiểu bằng -1 tại x= -1

e) Đạt cực đại bằng 2 tại x= 3

Bài 8 Lập phương trình của (P) y = ax2 + bx + c biết (P) đi qua A(-1;0) và tiếp xúc với đường thẳng (d) y = 5x +1 tại điểm M có hoành độ x = 1

Dạng 3 Sự tương giao của parabol và đường thẳng

Bài 9 Tìm toạ độ giao điểm của các hàm số sau:

a) y= x- 1 và y= x2- 2x- 1 b) y=-x+ 3 và y= -x2- 4x +1

c) y= 2x- 5 và y=x2- 4x+ 4 d) y= 2x+ 1 và y=x2- x- 2

e) y= 3x- 2 và y= -x2- 3x+ 1 f) y=

-4

1x+ 3 và y=

2

1x2+ 4x+ 3

Bài 10 Tìm toạ độ giao điểm của các hàm số sau:

a) y= 2x2+3x+ 2 và y= -x2+ x- 1 b) y= 4x2- 8x+ 4 và y= -2x2+ 4x- 2

c) y= 3x2+ 10x+ 7 và y= -4x2+ 3x+ 1 d)y= x2- 6x+ 8 và y= 4x2- 5x+ 3

e)y= -x2+ 6x- 9 và y= -x2+ 2x+ 3 f) y= x2- 4 và y= -x2+ 4

Bài 11 Biện luận số giao điểm của đường thẳng (d) với parabol (P)

a) (d): y= mx- 1 và (P): y= x2- 3x+ 2

b) (d): y= x- 3m+ 2 và (P): y= x2- x

c) (d): y= (m- 1)x+ 3 và (P): y= -x2+ 2x+ 3

d) (d): y= 5x+ 2m+ 5 và (P): y= 5x2+ 3x- 7

Bài 12 Cho họ (Pm) y = mx2 + 2(m-1)x + 3(m-1) với m0 Hãy viết phương trình của parabol thuộc họ (Pm) tiếp xúc với Ox

Bài 13Cho họ (Pm) y = x2 + (2m+1)x + m2 – 1 Chứng minh rằng với mọi m đồ thị (Pm) luôn cắt

đường thẳng y = x tại hai điểm phân biệt và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng hằng số

Dạng 4 Phương trình tiếp tuyến của Parabol

Bài 14 Viết phương trình tiếp tuyến của (P) y = x2 - 2x +4 biết tiếp tuyến:

a) Tiếp điểm là M(2;4) b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d1) y = -2x + 1

c) Tiếp tuyến đi qua điểm A(1:2) d) Tiếp tuyến vuông góc với (d2) y = 3x + 2

Bài 15 Viết phương trình tiếp tuyến của (P) y = -2x2 + 3x -1 biết tiếp tuyến:

a) Tiếp điểm là M(-1;3) b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d1) y = 3x -2

c) Tiếp tuyến đi qua điểm A(-3:2) d) Tiếp tuyến vuông góc với (d2) y = -3x -1

Dạng 5 Điểm đặc biệt của Parabol

Bài 16 Tìm điểm cố định của (Pm): y = mx2 + 2(m-2)x - 3m +1

Bài 17 Tìm điểm cố định của (Pm): y = (m+1)x2 - 3(m+1)x - 2m -1

Bài 18 Tìm điểm cố định của (Pm): y = (m2 - 1)x2 - 3(m+1)x - m2 -3m + 2

Dạng 6 Quĩ tích điểm

Bài 19 Tìm quĩ tích đỉnh của (Pm) y = x2 - mx + m

Bài 20 Tìm quĩ tích đỉnh của (Pm) y = x2 - (2m+1)x + m-1

Bài 21 Cho (P) y = x2

a) Tìm quỹ tích các điểm mà từ đó có thể kẻ được đúng hai tiếp tuyến tới (P)

b) Tìm quỹ tích tất cả các điểm mà từ đó ta có thể kẻ được hai tiếp tuyến tới (P) và hai tiếp tuyến

đó vuông góc với nhau

Dạng 7 Khoảng cách giữa hai điểm liên quan đến parabol

4

  và điểm M(0;-2) Gọi (d) là đường thẳng qua M có hệ số góc k a) Chứng tỏ với mọi m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B

b) Tìm k để AB ngắn nhất

Bài 23 Cho (P) y = x2, lấy hai điểm thuộc (P) là A(-1;1) và B(3;9) và M là một điểm thuộc cung

AB Tìm toạ độ của M để diện tích tam giác AMB là lớn nhất

Bài 24 Cho hàm số y = x2 +(2m+1)x + m2 - 1 có đồ thị (P)

a) Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị (P) luôn cắt đường thẳng y = x tại hai điểm phân biệt và khoảng cách giữa hai điểm này không đổi

b) Chứng minh rằng với mọi m, (P) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định Tìm phương trình

đường thẳng đó

Bài 25 Cho (P) y 2x 2 x 3 Gọi A và B là hai điểm di động trên (P) sao cho AB=4 Tìm quĩ tích trung điểm I của AB

Dạng 8 ứng dụng của đồ thị trong giải phương trình, bpt

Bài 26 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

a) x2 + 2x + 1 = m b) x2 -3x + 2 + 5m = 0 c) - x2 + 5x -6 - 3m = 0

Bài 27 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

a) x 5x 6 3m 1 2    b) x 24 x 3  2m 3 c) 2x 2 x 4m 3 0 

x 2x 4 x 2x 5 m 

Bài 29 Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x 2  x 2 4m 3

Bài 30 Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:     x 2 x 2 5 2m

Bài 31 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của y f x ( )x 44x 3x 210x 3 trên đoạn [-1;4]

Bài 32 Cho x, y, z thay đổi thoả mãn x2 + y2 + z2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P= x +

y + z + xy+ yz + zx

Bài 33 Tìm m để bất đẳng thức x 22x 1 m  20 thoả mãn với mọi x thuộc đoạn [1;2]

PHẦN III

Phương trình bậc hai & hệ thức Vi-ét

Bài tập 1 : Định giá trị của tham số m để phương trình

x2m m( 1)x5m20 0

Có một nghiệm x = - 5 Tìm nghiệm kia

Bài tập 2 : Cho phương trình

x2mx 3 0 (1)

a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có một nghiệm bằng 1? Tìm nghiệm kia

Bài tập 3 : Cho phương trình

x28x m  5 0 (1)

a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia? Tìm các nghiệm của phương trình trong trường hợp này

Bài tập 4 : Cho phương trình

(m4)x22mx m  2 0 (1)

Bài tập 5 : Cho phương trình

x22(m1)x m  4 0 (1)

b) m =? thì (1) có hai nghiệm trái dấu

c) Giả sử x x1, 2 là nghiệm của phương trình (1) CMR : M = 1x x2 1 1 x x1 2 không phụ thuộc m

Bài tập 6 : Cho phương trình

x22(m1)x m  3 0 (1)

1 2

x x (x x1, 2 là nghiệm của phương trình (1)) Tìm min M

Bài tập 7: Cho 3 phương trình

2 2 2

1 0(1);

1 0(2);

1 0(3)

x ax b

x bx c

x cx a

   

Chứng minh rằng trong 3 phương trình ít nhất một phương trình có nghiệm

Bài tập 8: Cho phương trình

x2 (a 1)x a 2  a 2 0 (1)

a) Chứng minh (1) có hai nghiệm trái dấuvới mọi a

b) x x1, 2 là nghiệm của phương trình (1) Tìm min B = 2 2

1 2

x x

Bài tập 9: Cho phương trình

x22(a1)x2a 5 0 (1)

a) Chứng minh (1) có hai nghiệm với mọi a

b) a = ? thì (1) có hai nghiệm x x1, 2 thoả mãn x1 1 x2

c) a = ? thì (1) có hai nghiệm x x1, 2 thoả mãn 2 2

1 2

x x = 6

Bài tập 10: Cho phương trình

2x2(2m1)x m  1 0 (1)

a) m = ? thì (1) có hai nghiệm x x1, 2 thoả mãn 3x14x2 11

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x x1, 2không phụ thuộc m

Gợi ý: Giả sử (1) có hai nghiệm dương -> vô lý

Bài tập 11: Cho hai phương trình

2

2

x m n x m

x m n x

Tìm m và n để (1) và (2) tương đương

Bài tập 12: Cho phương trình

ax bx c2  0(a0) (1)

điều kiện cần và đủ để phương trình (1) có nghiệm này gấp k lần nghiệm kia là

2 ( 1)2 0( 0)

kb  k ac k

Bài tập 13: Cho phương trình

mx22(m4)x m  7 0 (1)

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2thoả mãn x12x20

c) Tìm một hệ thức giữa x x1, 2 độc lập với m

Bài tập 14: Cho phương trình

x2(2m3)x m 23m 2 0 (1)

b) Tìm m để phưong trình có hai nghiệm đối nhau

c) Tìm một hệ thức giữa x x1, 2 độc lập với m

Bài tập 15: Cho phương trình

(m2)x22(m4)x m( 4)(m2) 0 (1)

a) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có nghiệm kép

b) Giả sử phương trình có hai nghiệm x x1, 2 Tìm một hệ thức giữa x x1, 2 độc lập với m

c) Tính theo m biểu thức

1 2

A

d) Tìm m để A = 2

Bài tập 16: Cho phương trình

x2mx 4 0 (1)

a) CMR phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi

2 2

1 2

2(x x ) 7

A

x x



c) Tìm các giá trị của m sao cho hai nghiệm của phương trình đều là nghiệm nguyên

Bài tập 17: Với giá trị nào của k thì phương trình x2kx 7 0 có hai nghiệm hơn kém nhau một đơn vị

Bài tập 18: Cho phương trình

x2(m2)x m  1 0 (1)

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

c) Tìm m để phương trình có nghiệm âm

Bài tập 19: Cho phương trình

x2(m1)x m 0 (1)

b) Gọi x x1, 2là hai nghiệm của phương trình Tính 2 2

1 2

x x theo m

c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x x1, 2 thoả mãn 2 2

1 2

x x = 5

Bài tập 20: Cho phương trình

x2(2m1)x m 23m0 (1)

a) Giải phương trình (1) với m = -3

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm và tích hai nghiệm đó bằng 4 Tìm hai nghiệm đó

Bài tập 21: Cho phương trình

x212x m 0 (1)

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 toả mãn 2

2 1

x x

Bài tập 22: Cho phương trình

(m2)x22mx 1 0 (1)

a) Giải phương trình với m = 2

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 thoả mãn 1 2 x11 2 x2 1

Bài tập 23: Cho phương trình

x22(m1)x m  3 0 (1)

a) Giải phương trình với m = 5

b) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiêm phân biệt với mọi m

1 2

x  x theo m

d) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm đối nhau

Bài tập 24: Cho phương trình

(m2)x22mx m  4 0 (1)

a) Tìm m để phương trình (1) là phương trình bậc hai

2

c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt không âm

Bài tập 25: Cho phương trình

x2px q 0 (1)

a) Giải phương trình khi p =  3 3 ; q = 3 3

b) Tìm p , q để phương trình (1) có hai nghiệm : x1 2,x2 1

c) CMR : nếu (1) có hai nghiệm dương x x1, 2thì phương trình qx2px 1 0 có hai nghiệm dương x x3, 4

d) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 3x va x1 3 2 ; 2

1

1

x và 2

2

1

x ; 12

x

x và 21

x x

Bài tập 26: Cho phương trình

x2(2m1)x m 0 (1)

a) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiêm phân biệt với mọi m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn : x x1 21;

c) Tìm m để 2 2

1 2 6 1 2

x x  x x đạt giá trị nhỏ nhất

Bài tập 27: Cho phương trình

x22(m1)x2m10 0 (1)

a) Giải phương trình với m = -6

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x x1, 2 Tìm GTNN của biểu thức 2 2

1 2 10 1 2

A x x  x x

Bài tập 28: Cho phương trình

(m1)x2(2m3)x m  2 0 (1)

a) Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu

b) Tìm m để (1) có hai nghiệm x x1, 2 Hãy tính nghiệm này theo nghiệm kia

Bài tập 29: Cho phương trình

x22(m2)x m( 22m 3) 0 (1)

Tìm m để (1) có hai nghiệm x x1, 2 phân biệt thoả mãn 1 2

1 2

1 1

5

x x

x x



 

Bài tập 30: Cho phương trình

x2mx n 0 có 3m2= 16n

CMR hai nghiệm của phương trình , có một nghiệm gấp ba lần nghiệm kia

Bài tập 31 : Gọi x x1, 2 là các nghiệm của phương trình 2x23x 5 0 Không giải phương trình , hãy tính : a)

1 2

x  x ; b) (x x1 2)2 ;

1 2

x  x d) x x1 2

Bài tập 32 : Lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng :

a) 3 và 2 3 ; b) 2 - 3 và 2 + 3

Bài tập 33 : CMR tồn tại một phương trình có các hệ số hữu tỷ nhận một trong các nghiệm là :

a) 3 5



 ; b)



 ; c) 2 3

Bài tập 33 : Lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng :

a) Bình phương của các nghiệm của phương trình x22 1 0x  ;

b) Nghịch đảo của các nghiệm của phương trình x2mx 2 0

Bài tập 34 : Xác định các số m và n sao cho các nghiệm của phương trình

x2mx n 0 cũng là m và n

Bài tập 35: Cho phương trình

x22mx m( 1)30 (1)

a) Giải phương trình (1) khi m = -1

b) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt , trong đó một nghiệm bằng bình phuơng nghiệm còn lại

Bài tập 36: Cho phương trình

2x25 1 0x  (1)

Tính x x1 2 x x2 1( Với x x1, 2là hai nghiệm của phương trình)

Bài tập 37: Cho phương trình

(2m1)x22mx 1 0 (1)

a) Xác định m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng ( -1; 0 )

b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 thoả mãn 2 2

1 2 1

x x 